2022年高考數學考前押題

1.如圖，在三棱錐P-ABC中，出，底面ABC,/BAC=90°.點。，E,N分別為棱以，

PC,BC的中點，M是線段AO的中點，%=AC=4,AB=2.

(1)求證：MN〃平面瓦圮；

(2)求平面CME和平面NME所成交角的正弦值；

V7

(3)已知點”在棱附上，且直線N4與直線BE所成角的余弦值為一，求線段A"的

【分析】以A為原點，AB,AC,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標

系，

(1)根據建立的坐標系可得法=(0，2,0),DB=(2,0,-2),設平面的一個

法向量為幾=(x，y>z),解得n=(l,0,1),由MN?n=0得證；

(2)求出平面CEM的一個法向量為茄=(1,0,0),平面EMN的一個法向量為：=

(-4,1,-2),由此可得cosd,t>,再根據同角三角函數的關系即可解答；

(3)設AH=/?(0W/zW4),貝ijH(0,0,〃)，由此可得而=(-1,-2,h),BE=

(-2,2,2),接下來利用已知條件建立關于"的方程，解出即可.

【解答】解：如圖，以A為原點，AB,AC,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空

間直角坐標系，

依題意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),

E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0),

(1)證明：DE=(0,2,0),而=(2,0,-2),

’TT

設平面BDE的一個法向量為％=(x,y,z),則［=2y=0,可取彳=

n-DB=2x-2z=0

(1,0,1),

又加=(1,2,-1),可得嬴?[=(),

又MMf平面BDE,

〃平面BDE；

(2)易知平面CEM的一個法向量為蔡=(1,0,0),設平面EMN的一個法向量為Z=

(a,b,c),則足一少二。，

&?MN=0

又扇=(0,-2,-1),MN=(1,2,-1),

5c=°，可取Z=(-4,1,-2),

la+2b-c=0

—>—>

TT77l,t4

COSt>=-z;~~=7=,

\m\\t\v21

??1/105

??sin<m,t>=.I.

(3)依題意，設A〃=/z(0<〃<4),則“(0,0,/?),由此可得遍=(一1,一2,八)，

BE=(-2,2,2),

..1A7九\NH-BE\\2h-2\0

..\cos<NH,BE>\=-^~=r-=/~~!-=亓

\NH\\BE\12+5x2百

；.10力2-21/?+8=0,

h=卷或h=I，即線段AH的長為:或土

【點評】本題主要考查直線與平面平行，二面角，異面直線所成角等基礎知識，考查利

用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力，運算求解能力和推理論證能

力，屬于中檔題.

2.如圖，在四棱臺A3CQ-A181cl￡>|中，底面為矩形，平面A41C1D工平面CCiCiC,且

CC1=C￡)=D￡>|=|C1D1=1.

(1)證明：AOJ_平面CCiDiZ)；

n

(2)若4c與平面CCiEh。所成角為］求二面角C-A4i-。的余弦值.

【分析】⑴在梯形CCi￡?i。中，求出亨,連結Q。，由余弦定理求得DCi=遮，

由勾股定理可證。GJ_DDi,再由面面垂直的性質定理證明。Ci,平面A4。。，從而得

到AD，。。，結合AOLOC,由線面垂直的判斷定理證明即可；

(2)利用線面角的定義確定A1C與平面CC1D1。所成的角為N4CZJ1,由此求解線段的

長度，建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，利用待定系數法

求出兩個平面的法向量，然后由向量的夾角公式求解即可.

【解答】(1)證明在梯形CCiOi。中，因為CC1=CQ=。。1=4C1D1=1,

所以/。￡>心=會連結OC1,由余弦定理可求得。。=百，

因為。C/+DD/=DIG2,所以

因為平面A41D1C平面CCIOID且交于

所以。。_1_平面44。1。，

因為ADu平面A4。。，所以4￡>_L￡)Ci,

因為AQ_LQC,DCCDCi=D,

所以A￡>,平面CC1D1D；

(2)解：連結4。，由(1)可知，平面CCiDiO,

以。1為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，

因為AIQI,平面CCiDiD,所以AiC在平面CC1D1Q內的射影為Q1C,

所以AC與平面CCQO所成的角為/4小，即/AIC￡>I=E，

在RtZXAiCQi中，因為CDi=g,所以4Qi=3,

3

V3TZV3T2o

c(-

則。1(0,0,0),4(3,0,0),D(0,一，2Ko,22

2

-3

所以O；D=(0,￥)，0工1=(3,0,0)A-3-

IC(-2

學),

設平面A41D1。的法向量為薪=Q,y,z),

則有［7呼=。，即氏+字Z=0,

1m-=0(3%=0

令y=3,則x=0,z=一遮，故?n=(0,3,—V3),

設平面AAiCiC的法向量為n=(a,b,c),

n-&G=0(-3a+2b=0

則有即-3a+§b+73

7i?4傳=0~2C=o'

令a=2,則b=3,c=V3,故￡=(2,3,V3),

所以|c°sV苞旌|=^=看V，

由圖可知，二面角C-A4i-。銳二面角,

V3

故二面角C-AA\-D的余弦值為一.

4

【點評】本題考查了線面垂直的判定定理的應用以及二面角的求解，在求解有關空間角

問題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標系，將空間角問題轉化為空間向量問題進

行研究，屬于中檔題.

3.如圖，四棱錐尸-42。中，側面布B是等腰直角三角形，BC_L平面附8,PA=PB,

AB=BC=2,AD=BD=V5.

(1)求證：以_L平面PBC：

(2)求直線PC與平面以。所成的角的正弦值.

D'C

【分析】(1)根據8cL平面PAB,利用線面垂直的定義可得BC1.PA再由PALPB,

根據線面垂直的判定定理即可證出；(2)取AB的中點0,連接OP,0D,以。為坐

標原點，OD,OB,0P分別為x,y,z正半軸建立空間直角坐標系。-孫z,求出平面

抬。的一個法向量，利用空間向量法即可求解.

【解答】解：(1)證明：因為BCJ_平面PAB,平面PAB,

所以BC1PA,

由△力B為等腰直角三角形，

所以PALPB,

又PBCBC=B,故M_L平面PAB.

(2)取AB的中點0,連接OP,0D,

因為PA=PB,AD=BD,

所以PO1AB,DOVAB,

因為BCJ_平面PAB,

所以南8JL平面ABCD,

所以