第四節空間中的垂直關系

I回顧教材?必備知識I自主梳理強化四基

1.基礎梳理

1.直線與平面垂直

(1)定義：直線/與平面a內的任意一條直線都垂直,就說直線/與平面a互相垂直.

(2)判定定理與性質定理:

文字語言圖形語言符號語言

一條直線與一個平面內的兩條

判定定理相交直線都垂直,則該直線與=>/1Q

此平面垂直

ab

垂直于同一個平面的兩條直線

L

性質定理=>a//h

平行y

2.直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銀魚叫做這條直線和這個平面所成

的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角;一條直線和平面平行或在平面內，則

它們所成的角是0°的角.

(2)范圍：0,4

3.平面與平面垂直

(1)二面角的有關概念：

①二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角:

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作

垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角.

(2)平面和平面垂直的定義：

兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.

(3)平面與平面垂直的判定定理與性質定理：

文字語言圖形語言符號語言

b

一個平面過另一個平面的垂線,則

判定定理

這兩個平面垂直

兩個平面垂直，則一個平面內垂直

性質定理=>/±Q

于交線的直線與另一個平面垂直

拓展總結

1.判定定理的理解

若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.

a//bfa=/?_La.

2,性質定理

如果兩個平面互相垂

a工B,

直，那么過第一個平面

性質尸G￡,

內的一點且垂直于第二

定理2Sa

個平面的直線，在第一

=PQUH

個平面內

如果兩個相交平面同時

an￡=/,

性質垂直于第三個平面，那

XIa_Lr,±y

定理3么它們的交線必垂直于

=>/±y

第三個平面

L四基自測

1.（基礎知識：面面垂直性質）下列命題中不正確的是（）

A.如果平面a_L平面夕，且直線/〃平面a,則直線/J_平面夕

B.如果平面a,平面丑，那么平面a內一定存在直線平行于平面”

C.如果平面a不垂直于平面夕，那么平面a內一定不存在直線垂直于平面￡

D.如果平面a_L平面平面夕J_平面y,=那么LLy

答案：A

2.（基本方法：線面垂直性質）已知直線m6和平面a,且aX.a,則〃與a的位

置關系為（）

A.bUaB.b//a

C.bUa或b〃aD.。與a相交

答案：C

3.（基本方法：判斷線面垂直）設機，〃是兩條不同的直線，a,萬是兩個不同的平面，則

tnVp的一個充分條件是（）

A.a_L￡且/HUaB.m//nHnA.p

C.a_L￡且加〃aD.且〃〃￡

答案：B

4.（基本應用：空間垂直關系的轉化與認識）如圖所示，在三棱錐V-A8c中，ZVAB^ZVAC

=ZABC=90°,則構成三棱錐的四個三角形中，直角三角形的個數為.

答案：4

5.（基本應用：與射影結合）在三棱錐P-A8C中，點P在平面ABC中的射影為點0.若力

=PB=PC,則點。是△ABC的心.

答案：外

I考點分類?關鍵能力I專項突破深度剖析

題型一線面垂直的判定與性質＞互動探究

I典例剖析］

［典例］（1）（202「河南商丘模擬）如圖所示，用，圓O所在的平面，48是圓。的直徑，C

是圓。上的一點，E、尸分別是4在PB、PC上的射影，給出下列結論:

p

?AF1PB；②EFLPB；?AFLBC；④AE_L平面PBC.

其中正確命題的序號是.

詳細分析：由以，平面ABC,BCU平面ABC,可得以J_BC,又AB是圓。的直徑，C

是圓。上一點，則有8C_LAC,又B4r)AC=A,所以BC_L平面必C,又AFU平面鞏C,所

以BC_LAR故③正確；因為ABJ_PC,PCDBC=C,所以A尸，平面尸8C,又PBU平面PBC,

所以AF_LPB,故①正確；因為AEJ_PB,AFA.PB,AEDAF=A,所以PBJ_平面AEF,又EF

U平面4EF,所以PB-LEF,故②正確；由于4尸_1,平面PBC,AFHAE=A,所以AE不與平

面P8C垂直，故④錯誤.綜上可知正確命題的序號為①②③.

答案：①②③

(2)(2020.新高考山東卷節選)

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD_L底面ABCD設平面PAD與平面PBC的交

線為/.

證明：/_L平面PDC.

證明：因為PD_L底面ABC。，所以PDJ_AD

又底面ABC。為正方形，所以AO_LOC,

所以AQ_L平面PDC.

因為AQ〃8C,AZX平面P8C,BCU平面P8C,

所以A。〃平面PBC.

由已知得/〃40,因此/，平面POC.

(3)

p

如圖所示，在四棱錐P-ABC。中，B4_L底面ABC。，AB1AD,ACLCD,NABC=60°,

PA=AB=BC,E是PC的中點.求證：

?CD±AE；

②PO_L平面ABE.

證明：①在四棱錐P-ABCD中，

?.?以_L底面ABC。，CDU底面ABCD,

：.PA±CD.

又：AC_LC。，且公CIAC=A,

.?.CO_L平面aC.：AEU平面PAC,

：.CD±AE.

②由超=AB=BC,NABC=60°,可得AC=%.

：E是PC的中點，AEA.PC.

由①知AE_LCD,JLPCnCD=C,

.?.AE_L平面PCD.

'：PDU平面PCD,：.AE±PD.

?.?BA-L底面A8CQ,ABU底面ABC。，：.PA.LAB.

又?.?A8_LAO,且%nAO=A,

...ABJ"平面PAD.

：POU平面PAD,

C.ABA-PD.

又ABE.

方法總結

證明直線與平面垂直的常用方法

(1)利用線面垂直的判定定理：在平面內找兩條相交直線與該直線垂直.

(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個平面垂直”

(3)利用“一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則與另一個也垂直

(4)利用面面垂直的性質定理：在平面內找與兩平面交線垂直的直線.

［對點訓練］

如圖所示，S是RtZVIBC所在平面外一點，且&4=SB=SC,。為

斜邊AC的中點.

⑴求證:平面ABC；

/D~t

(2)若AB=BC,求證：8。_L平面SAC.

證明：(1)如圖所示，取AB的中點E,

連接SE,DE,在RtZXABC中，D,E分別為AC,AB的中點.

：.DE//BC,C.DELAB.

?：SA=SB,：.SE±AB.

大SECDE=E,AB_L平面SDE.

又SOU平面SOE,：.AB±SD.

在中，'：SA=SC,。為AC的中點，：.SD±AC.

又ACCAB=A,；.SQJ?平面ABC.

(2)：AB=BC,：.BD±AC,

由(1)可知，SO-1"平面ABC,又BOU平面ABC,

：.SD.LBD.

又SDPiAC=D,；.8￡)-L平面SAC.

題型二平面與平面垂直的判定與性質m

1.(2020?高考全國卷1)如圖，。為圓錐的頂點，O是圓錐底面的

圓心,AABC是底面的內接正三角形，尸為。。上一點，NAPC=90°.

⑴證明：平面B48_L平面mC；

(2)設。。=小，圓錐的側面積為小n,求三棱錐P-ABC的體

詳細分析：(1)證明：由題設可知，PA=PB=PC.

由△ABC是正三角形，

可得△鞏C&△用B,XPAC烏IXPBC.

又/4PC=90°,故/APB=90°,NBPC=9Q°.

從而PB-LPC,PAHPC=P,

故P8_L平面以C,又P8U平面出8,

所以平面平面PAC.

(2)設圓錐的底面半徑為r,母線長為/,

由題設可得”=小，l--r=2,解得r=l,/=巾.

從而.

由(1)可得訊2+PB2=AB2,故執=PB=PC=*,

所以三棱錐P-ABC的體積為

1PA-PB?PC=\x|X(坐)=坐.

2.如圖所示，在四棱錐P-ABC。中，底面A8CO為矩形，平面力力_L平面48CC,PAA.

PD,PA=PD,E,尸分別為AD,P8的中點.

⑴求證：PEVBC-,為/

(2)求證：平面出8,平面PCD/j

證明：(1)在△外￡>中，PA^PD,E是4。的中點，

：.PE±AD.

?.?平面鞏。J_平面ABCD,平面外。C1平面ABCD=AD,PEU平面PAD,，PE_L平面

ABCD.

又8CU平面A8C￡>,：.PE±BC.

(2)；底面ABCD為矩形，：.AD±CD.

又平面出。_L平面ABC。，平面%DA平面4BC￡>=4。，CDU平面ABC。，

；.C￡>J?平面PAD.又以U平面PAD,

：.CD±PA.

又R4_LP。，CD、PDU平面PCD,CDCPD=D,

平面PCD又以U平面PAB,

平面《4B_L平面PCD.

方法總結

1.證明面面垂直的兩種常用方法：

(1)用面面垂直的判定定理，即先證明其中一個平面經過另一個平面的一條垂線；

(2)用面面垂直的定義，即證明兩個平面所成的二面角是直二面角，把證明面面垂直的問

題轉化為證明平面角為直角的問題.

2.已知兩個平面垂直時，過其中一個平面內的一點作交線的垂線，則由面面垂直的性質

定理可得此直線垂直于另一個平面，于是面面垂直轉化為線面垂直，由此得出結論：兩個相

交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面.

3.應用面面垂直時，其性質定理的條件必須具備，缺一不可.

題型三空間垂直關系的探索與轉化〉多維探究

［典例剖析I

類型1探索條件(開放性問題)

［例1］.如圖所示，在四棱錐2488中，底面A8C。是NZMB=60°且邊長為。的菱形,

側面物。為正三角形，其所在平面垂直于底面ABC。，若G為A。的中點.

⑴求證：8G_L平面以￡>；

(2)求證：AD±PB-,

(3)若E為8C邊的中點，能否在棱PC上找到一點凡使平面。平面ABCD?并證明

你的結論.

詳細分析：(1)證明：在菱形ABC。中，ND4B=60°,G為AQ的中點，

所以BG1AD.

又平面力。_L平面A8CZ),平面%DO平面A8CZ)=A￡>,

所以8G_L平面PAD.

(2)證明：如圖，連接PG,因為△出。為正三角形，G為AL>的中點，

所以「G_LAD

由(1)知8Gl又PGCBG=G,所以A￡)_L平面PGB.

因為尸BU平面PGB,所以AO_LP8.

(3)當尸為PC的中點時，滿足平面DEF1.平面ABCD.

證明：取PC的中點尸，連接DE,EF,DF.

在△PBC中，FE//PB,在菱形ABCO中，GB//DE.

而FEU平面￡>EF,CEU平面。EF,EFCDE=E,PBU平面PGB,GBU平面PGB,PB

CGB=B,所以平面。EF〃平面PGA因為8G_L平面B4O,PGU平面外。，所以8G_LPG.

又因為PG_LA￡),ADQBG=G,所以PG_L平面ABCD

又PGU平面PGB,所以平面PG8_L平面A8CZ),

所以平面DEF_L平面ABCD.

類型2探索結論(創新問題)

［例2］如圖所示，一張A4紙的長、寬分別為2^2a,2a,A,B,

C,。分別是其四條邊的中點.現將其沿圖中虛線折起，使得尸|,「2,

P3,P4四點重合為一點P，從而得到一個多面體.下列關于該多面體

的命題，正確的是.(寫出所有正確命題的序號)

①該多面體是三棱錐；

②平面BM>_L平面BCD；

③平面8AC_L平面ACC；

④該多面體外接球的表面積為5加?2.

詳細分析：由題意得該多面體是一個三棱錐，故①正確；'：AP±BP,AP±CP,BPQCP

=P,；.APJL平面BCD

又：APU平面ABD,.?.平面5AQ_L平面BCD,故②正確；同理可證平面3AC_L平面ACD,

故③正確；通過構造長方體可得該多面體的外接球半徑/?=坐a,所以該多面體外接球的表

面積為5n/,故④正確.綜上，正確命題的序號為①②③④.

答案：①②③④

方法總結

探索垂直關系，常采用逆向思維

一般假設存在線線垂直，所利用的關系常有：

(1)等腰三角形的高、中線與底邊垂直.

(2)矩形的相鄰邊垂直.

(3)直徑所對的圓周角的兩邊垂直.

(4)菱形的對角線垂直.

(5)給出長度，滿足勾股定理的兩邊垂直.

線_L線

/\

面_1,面<-------?線JL面

(6)由已知想性質，由求證想判定，即分析法與綜合法相結合尋找證題思路.

I題組突破I

1.如圖所示，在四邊形ABC。中，AB=AD=CQ=1,8。=啦，B￡)_LCD將四邊形ABCQ

沿對角線3。折成四面體4-8CD,使平面平面88,則下列結論中，正確的結論個數

是()

①A，C_LB。；

②/BA'C=90°；

③CA'與平面A5O所成的角為30°；

④四面體A'-BCD的體積為4.

A.0B.1

C.2D.3

詳細分析：：AB=AO=CD=1,

BD=\[2,：.AB±AD.

?.?平面平面BCD,BDA.CD,平面A'BOC平面BC￡)=BZ),

?平面A'BD,

取BO的中點。，連接OA，，0c(圖略)，

:A'B=A'D,

.?.A'O-LBD.

又平面A'8Q_L平面BCD,平面A'BOC平面BCO=8Q,A'OU平面A'B。,

二A'0JL平面8CD^.^8。_LC￡),

：.OC不垂直于BD.

假設A'C_LB。，

,：OC為4c在平面BCD內的射影，

：.OC±BD,矛盾，故①錯誤；

'：CD±BD,平面A'BO_L平面BCD,且平面A'B。。平面BCD=BD,

...(?￡>_1平面48。，A'BU平面480,

：.CD±A'B.

；A'B=A'D=\,BD=@,

：.A'B±A'D.

入CDCA'D=D,CD,OU平面HC￡）,

/.AzBJ?平面A'CD

又A'CU平面A'CD,

：.A'B±A'C,故②正確；

：NCA'。為直線CA，與平面4B。所成的角，NCA'。=45°,故③錯誤；

VA，-BCD=VC-A,BO=3SAA'BD,CD=^,故④錯誤.

答案：B

2.（2020.甘肅診斷）已知長方體4BCD-4BIGQI中，44|=小，AB=4,若在棱AB上存

在點P，使得。iP_LPC,則A￡＞的取值范圍是（）

A.（0,1]B.（0,2]

C.（1,巾JD.II,4）

詳細分析：連接。P（圖略），由。iP-LPC,DD4PC,且￡＞iP,是平面CAP上兩條

相交直線，得PC_L平面。2「，PC±DP,即點P在以CQ為直徑的圓上，又點尸在A8上，

則AB與圓有公共點，即0C4OW；CD=2.

答案：B

I回味經典?核心素養I真題再研素養提升

A再研高考，創新思維

1.（2019?高考全國卷III）如圖，點N為正方形ABCD的中心，叢ECD

為正三角形，平面EC。J_平面ABC。，M是線段E￡＞的中點，則（）

A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線

B.BM^EN,且直線BM,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線

D.BMWEN,且直線BM,EV是異面直線

詳細分析：如圖，取CO的中點尸，。尸的中點G,連接EF,FN,MG,GB.

?.?△ECO是正三角形，：.EF±CD.

,/平面ECD_L平面ABCD,：.EFJL平面ABCD.

：.EF±FN.

不妨設A8=2,則FN=l,EF=^,

:.EN=-\JFN2+EF2=2.

,:EM=MD,DG=GF,

：.MG//EF且MG=；EF,：.MG_L平面ABCD,

：.MG.LBG.

VMG=1E『=坐，

BG=yjCG2+BC2+22=|,

：.BM=y]MG2+BG2=巾.：.BM*EN.

連接BD,BE,

?點N是正方形ABC。的中心，二點N在8。上，且BN=DN,

：.BM,EN是△O8E的中線，

J.BM,硒必相交.

答案：B

2.（2020?高考全國卷1）11唇是中國古代用來測定時間的儀器，利用

與唇面垂直的唇針投射到唇面的影子來測定時間.把地球看成一個球（球

心記為。），地球上一點A的緯度是指與地球赤道所在平面所成角，

點A處的水平面是指過點4且與OA垂直的平面，在點4處放置一個日

#,若辱面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°,則各針與點A處的水平面所成

角為（）

A.20°B.40°

C.50°D.90°

詳細分析：如圖所示，。。為赤道平面，。01為A點處的日署的薜面所在的平面，由點

A處的緯度為北緯40°可知N040i=40°,又點A處的水平面與OA垂直，等針AC與001

所在的面垂直，則容針AC與水平面所成角為40°.

B

A

交稅斗水平面

答案：B

3.（2019?高考全國卷I）已知NACB=90°,P為平面ABC外一點，PC=2,點P至ijNACB

兩邊AC,BC的距離均為小，那么P到平面ABC的距