第3章圓錐曲線與方程章末題型歸納總結目錄模塊一：本章知識思維導圖模塊二：典型例題經典題型一：求軌跡方程經典題型二：焦點三角形問題經典題型三：線段和差最值問題經典題型四：離心率取值與范圍問題經典題型五：直線與圓錐曲線的位置關系經典題型六：三角形與四邊形面積問題經典題型七：圓錐曲線定點定值問題經典題型八：斜率問題經典題型九：中點弦問題模塊三：數學思想方法①分類討論思想②轉化與化歸思想③數形結合思想模塊一：本章知識思維導圖模塊二：典型例題經典題型一：求軌跡方程例1．（2023·江蘇·高二專題練習）若點滿足方程，則動點M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為動點滿足關系式，所以該等式表示點到兩個定點，的距離的和為12，而，即動點M的軌跡是以，為焦點的橢圓，且，即，又，，所以動點M的軌跡方程為.故選：C.例2．（2023·江蘇淮安·高二校聯考期中）若動點滿足方程，則動點P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意得：到與的距離之和為，且，故動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：C例3．（2023·高二課時練習）已知圓與圓交點的軌跡為，過平面內的點作軌跡的兩條互相垂直的切線，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圓圓心，圓圓心，設兩圓交點為，則由題意知，，所以，又由于，所以由橢圓定義知，交點是以、為焦點的橢圓，且，，則，所以軌跡的方程為，設點，當切線斜率存在且不為時，設切線方程為：，聯立，消得，則，即，由于，則由根與系數關系知，即．當切線斜率不存在或為時，點的坐標為，，，，滿足方程，故所求軌跡方程為．故選：A．例4．（2023·全國·高二專題練習）已知點，，動點滿足條件．則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由點，，可得，又由，可得，根據雙曲線的定義，可得點的軌跡表示以為焦點的雙曲線的右支，且，可得，則，所以點的軌跡方程為.故選：C.例5．（2023·全國·高二專題練習）已知，A，B分別在y軸和x軸上運動，O為原點，，則動點P的軌跡方程是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】B【解析】設，因為，所以；因為，所以，即，所以，整理得，其軌跡是橢圓.故選：B.例6．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線與直線有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點．當點運動時，點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為雙曲線與直線有唯一的公共點，所以直線與雙曲線相切，聯立，消去并整理得，所以，即，將代入，得，得，因為，，所以，所以，，即，由可知，所以過點且與垂直的直線為，令，得，令，得，則，，由，得，，代入，得，即，故選：D例7．（2023·全國·高二專題練習）設圓與y軸交于A，B兩點（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動點P到A的距離等于P到l的距離，則動點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為圓與軸交于，兩點（在的上方），所以，，又因為過作圓的切線，所以切線的方程為，因為動點到的距離等于到的距離，所以動點的軌跡為拋物線，且其焦點為，準線為，所以的軌跡方程為．故選：A.例8．（2023·江蘇·高二專題練習）點M與定點的距離和它到定直線的距離的比為，則點M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，因為點M與定點的距離和它到定直線的距離的比為，所以，即，整理得，故選:C.例9．（2023·廣東深圳·高二統考期末）已知，若動點P滿足直線與直線的斜率之積為，則動點P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設，因為，所以，又因為直線與直線的斜率之積為，所以，整理得.故選：C.例10．（2023·全國·高二假期作業）若動點到點的距離等于它到直線的距離，則點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，動點到點的距離等于它到直線的距離，所以的軌跡為拋物線，，所以點的軌跡方程為.故選：D例11．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈九中校考期末）是一個動點，與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第四象限，若四邊形（為原點）的面積為4，則動點的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，根據題意可知點在和相交的右側區域，所以點到直線的距離，到直線的距離，，即.所以動點M的軌跡方程：.故選：C.例12．（2023·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知直線交拋物線：于軸異側兩點，，且，過向作垂線，垂足為，則點的軌跡方程為（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】B【解析】設直線，將它與拋物線方程聯立得：，則，設，則，所以，故或，當時，在直線上，故舍去，所以，所以直線經過定點，由可知在以為直徑的圓（原點除外）上.故選：B.經典題型二：焦點三角形問題例13．（2023·江蘇·高二專題練習）橢圓焦點三角形的性質橢圓上的動點與兩個焦點構成的三角形叫作焦點三角形，它們具有下面的性質.（1）焦點三角形的周長為；（2）當時，最大；（3）；【答案】.【解析】（1）由，得，故.（2），①，在中，由余弦定理得：，把①代入可得，②，因為，當且僅當時等號成立，所以，取最小值時取最大值.故由以上可得，當時，最大.（3）由②可得，③.，把③代入面積公式，即，故.故答案為：（1）；（2）；（3）.例14．（2023·江蘇·高二專題練習）橢圓的兩焦點為，一直線過交橢圓于兩點，則的周長為；【答案】20【解析】由，得，得，因為兩點都在橢圓上，所以由橢圓的定義可得，，因為，所以的周長為，故答案為：20例15．（2023·四川內江·高二威遠中學校校考期中）已知直線與橢圓交于兩點，是橢圓的左焦點，則的周長是.【答案】20【解析】橢圓,所以，得，則橢圓的右焦點為，所以直線經過橢圓的右焦點，由橢圓的定義可知，的周長為.故答案為：20.例16．（2023·廣東佛山·高二校聯考階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線交橢圓于A，B兩點，若，則.【答案】10【解析】因為，，，兩式相加得.又，所以.故答案為：10.例17．（2023·江蘇·高二專題練習）設和為橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且滿足，則的面積是.【答案】/【解析】橢圓，即，所以，，，因為，所以點為短軸頂點，所以.故答案為：例18．（2023·吉林長春·高二長春市第二實驗中學校考階段練習）已知點P為橢圓C：上一點，點，分別為橢圓C的左、右焦點，若，則的內切圓半徑為【答案】/【解析】因為，，所以，，則，等腰邊上的高，所以，設的內切圓半徑為，則，所以故答案為：．例19．（2023·浙江·高二校聯考期中）已知橢圓與雙曲線共焦點（記為，），點是該橢圓與雙曲線的一個公共點，則的面積為.【答案】【解析】因為橢圓與雙曲線共焦點，所以有，因為該橢圓與雙曲線是中心對稱圖形和軸對稱圖形，所以不妨設點是在第一象限，左、右焦點分別為，，設，由橢圓和雙曲線的定義可知：，由余弦定理可知：，所以有，因此的面積為，故答案為：例20．（2023·全國·高二課堂例題）已知雙曲線的方程是，點P在雙曲線上，且到其中一個焦點的距離為10，點N是的中點，O為坐標原點，則.【答案】1或9/9或1【解析】設雙曲線的另一個焦點為，連接，易得ON是的中位線，所以，因為，，所以或，故或.故答案為：1或9.例21．（2023·全國·高二專題練習）設雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，且，則的大小為．【答案】/【解析】因為雙曲線，則，，所以，因為為雙曲線右支上一點，所以，又，所以，，，由余弦定理，即，解得，又，所以.故答案為：例22．（2023·江蘇·高二專題練習）已知分別是雙曲線的左右焦點，是上的一點，且，則的周長是．【答案】34【解析】因為，所以，故，則，又，故，則，，所以的周長為.故答案為：34.例23．（2023·江蘇鹽城·高二校考階段練習）已知直線是拋物線的準線，拋物線的頂點為，焦點為，若為上一點，與的對稱軸交于點，在中，，則的值為．【答案】【解析】因為拋物線的準線，焦點為，準線與的對稱軸交于點，所以，，因為在中，，所以由正弦定理可得，,因為為拋物線上一點，所以可設為由此可得，平方化簡可得：，即，可得,.故答案為：.例24．（2023·高二課時練習）已知為拋物線：的焦點，，，為上的三點，若，則.【答案】【解析】由題意知，設，，的橫坐標分別為，，，由，得，所以，由拋物線的定義得.故答案為：例25．（2023·甘肅白銀·高二校考期末）如圖，是拋物線上的一點，是拋物線的焦點，以為始邊、為終邊的角，則.【答案】10【解析】依題意，過向軸作垂線，記垂足為，如下圖所示，設的橫坐標為，則，.因為，所以.由，得，故.故答案為：經典題型三：線段和差最值問題例26．（2023·陜西延安·高二校考期末）已知點為拋物線上任意一點，點為圓上任意一點，點，則的最小值為.【答案】【解析】拋物線，即，其焦點為，拋物線的準線為，圓變形為，則圓心為拋物線的焦點，半徑為.點為拋物線上任意一點，當三點共線，取最小值時，最小值為.如圖，過點作于點，由拋物線定義可知，所以取最小值時，即取最小值，，當三點共線，當時，等號成立..則的最小值為.故答案為：.例27．（2023·全國·高二專題練習）已知是拋物線上的動點，點在軸上的射影是點，點的坐標是，則的最小值為．【答案】【解析】拋物線的焦點為，準線方程為，延長交準線于點，如圖所示．根據拋物線的定義知，，所以，當且僅當點為線段與拋物線的交點時，等號成立．故答案為：.例28．（2023·全國·高二專題練習）已知是拋物線的焦點，P是拋物線C上一動點，Q是曲線上一動點，則的最小值為．【答案】【解析】由拋物線，可得焦點坐標為，準線方程為，又由曲線，可化為，可得圓心坐標為，半徑，過點作，垂足為，過點作，垂足為，交拋物線于，如圖所示，根據拋物線的定義，可得，要使得取得最小值，只需使得點與重合，此時與重合，即，當且僅當在一條直線上時，所以的最小值為.故答案為：.例29．（2023·高二課時練習）已知是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為.【答案】/【解析】由題意知，.設雙曲線的右焦點為，由是雙曲線右支上的點，則，則，當且僅當三點共線時，等號成立.又，則.所以，的最小值為.故答案為：.例30．（2023·全國·高二專題練習）P為雙曲線右支上一點，M，N分別是圓和上的點，則的最大值為.【答案】5【解析】雙曲線的兩個焦點，分別為兩圓的圓心，兩圓的半徑分別為，，易知，，故的最大值為.故答案為：5例31．（2023·全國·高二專題練習）過雙曲線的左焦點F作圓的一條切線（切點為T），交雙曲線右支點于P，點M為線段FP的中點，連接MO，則的最大值為．【答案】【解析】如圖所示，連接,設雙曲線的右焦點為，連接，則，由，因為，所以，設，則，．可得函數在上單調遞減，所以，即，故的最大值為．故答案為：．例32．（2023·浙江·高二校聯考期中）已知分別是雙曲線的上、下焦點，過的直線交雙曲線于A、B兩點，若，則的值為．【答案】29【解析】由題設，故在雙曲線的下支上，如下圖示，根據雙曲線定義：，所以.故答案為：例33．（2023·全國·高二專題練習）已知點是雙曲線的左焦點，點是該雙曲線右支上的任一點，，則的最大值為．【答案】/【解析】如圖，設雙曲線的右焦點為，由題知，因為，所以，因為，，當且僅當三點共線時等號成立，所以，，當且僅當三點共線時等號成立.所以，的最大值為故答案為：例34．（2023·高二課時練習）設是橢圓的左焦點，P為橢圓上任一點，點Q的坐標為，則的最大值為.【答案】11【解析】由題意可得，，所以,因為，所以;因為，所以.故答案為：11.例35．（2023·江蘇常州·高二常州高級中學校考階段練習）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，M為橢圓C上任意一點，N為圓E：上任意一點，則的最小值為.【答案】/【解析】由題意橢圓C：，M為橢圓C上任意一，N為圓E：上任意一點，故，當且僅當共線時等號成立，故，當且僅當共線時等號成立，而，故，即的最小值為，故答案為：例36．（2023·全國·高二專題練習）設P是橢圓上一點，M、N分別是兩圓：和上的點，則的最小值、最大值分別是．【答案】4，8【解析】橢圓的兩個焦點坐標為，且恰好為兩個圓的圓心坐標，兩個圓的半徑相等都等于1，則由橢圓的定義可得故橢圓上動點與焦點連線與圓相交于、時，最小，所以，.故答案為：4，8.例37．（2023·高二課時練習）已知F是橢圓的左焦點，P為橢圓上的動點，橢圓內部一點M的坐標是，則的最大值是．【答案】21【解析】由橢圓得，則橢圓右焦點為，點M在橢圓內部，如圖所示，則故答案為：21．經典題型四：離心率取值與范圍問題例38．（2023·四川巴中·高二統考期中）如圖所示，用一束與平面成角的平行光線照射半徑為的球O，在平面上形成的投影為橢圓及其內部，則橢圓的（

）A．長軸長為3 B．離心率為C．焦距為2 D．面積為【答案】C【解析】由題意知：，橢圓的長軸長，A錯誤；橢圓短軸長為球的直徑，即,橢圓的焦距為，C正確；橢圓的離心率，B錯誤；由圖可知：橢圓的面積大于球大圓的面積，又球大圓的面積，橢圓的面積大于，D錯誤．故選：C．例39．（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓的一條弦所在的直線方程是，弦的中點坐標是，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設直線與橢圓相交于，兩點，弦的中點坐標是，則，，直線的斜率.由，得，得，所以，故橢圓的離心率.故選：B.例40．（2023·河南焦作·高二校考階段練習）雙曲線C：的一條漸近線的傾斜角為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，雙曲線C的漸近線的傾斜角為，因此，即，所以C的離心率.故選：D例41．（2023·湖北恩施·高二校聯考期中）已知橢圓，斜率為的直線與橢圓交于兩點，在軸左側，且點在軸上方，點關于坐標原點對稱的點為，且，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，作軸交于點，因為直線的斜率為，設直線方程為且，則，聯立方程組，整理得，則，可得，，由，可得，所以，可得，則橢圓的離心率為.故選：D.例42．（2023·全國·高二期中）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為、，以為圓心的圓與x軸交于，B兩點，與y軸正半軸交于點A，線段與C交于點M．若與C的焦距的比值為，則C的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設雙曲線的半焦距為，因為以為圓心的圓過，故該圓的半徑為，故其方程為：，令，則，結合在軸正半軸上，故，令，則或，故.故，故直線.設，因為在軸的正半軸上，在軸的負半軸上，故，而，故，整理得到：，故，故，所以，故，解得或，又因為，則，則，.故選：D.例43．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意雙曲線的一條漸近線與直線垂直，得，即，則.，故選：B.例44．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，直線過橢圓的左焦點和一個頂點B，該橢圓的離心率為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設橢圓的焦距為，則，因為直線的斜率，由題意可得，則，解得，所以橢圓的離心率為.故選：D.例45．（2023·江蘇·高二專題練習）設橢圓的焦點為為橢圓上的任意一點，的最小值取值范圍為，其中，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，，設，因為，所以，又，，所以，因為，則，當時，取得最小值，即，即，所以，即橢圓的離心率為.故選：D.例46．（2023·新疆巴音郭楞·高二校考開學考試）設、分別是雙曲線的左、右焦點，過作軸的垂線與相交于、兩點，若為正三角形，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，因為軸，則點、關于軸對稱，則為線段的中點，因為為等邊三角形，則，所以，，所以，，則，所以，，則，因此，該雙曲線的離心率為.故選：D.例47．（2023·江蘇·高二專題練習）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，點P在橢圓C上，且，過P作的垂線交x軸于點A，若，記橢圓的離心率為e，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，,所以,可得.在中，.由橢圓的定義可得，故，所以，所以.故選:A.例48．（2023·江西宜春·高二上高二中校考階段練習）已知橢圓E：的左、右焦點分別為，，O為坐標原點，若以為直徑的圓與橢圓E在第一象限交于點P，且是等邊三角形，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，O為的中點，故，是等邊三角形，即有，又P在橢圓上，故，即，即橢圓E的離心率為，故選：D例49．（2023·吉林遼源·高二遼源市第五中學校校考期末）已知橢圓的左、右焦點分別為，，P是橢圓上一點，，若，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴是以為底的等腰三角形，，過作交于，則，所以，∵，∴，∴，即，解得．∴該橢圓的離心率的取值范圍是．故選：D．例50．（2023·四川成都·高二校聯考期中）已知是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，且，則該橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令橢圓長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，依題意，是直角三角形，而坐標原點O為斜邊的中點，則，而，即有，，，即，于是得，所以橢圓離心率的取值范圍是.故選：D例51．（2023·江西贛州·高二江西省尋烏中學校考階段練習）已知橢圓的一個焦點為，橢圓上存在點，使得，則橢圓的離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意不妨設為橢圓的左焦點，則，設，則，，，則，若存在點使得，則存在點使得，即在上有解，即在上有解，令，顯然，，所以，即且，由，即，解得或，由，即，解得或，又，所以，即.故選：B例52．（2023·高二課時練習）已知雙曲線左，右焦點分別為，若雙曲線右支上存在點使得，則離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得點不是雙曲線的頂點，否則無意義在中，由正弦定理得，因為，所以，所以，因為點在雙曲線右支上，所以，所以，得，由雙曲線的性質可得，所以，化簡得，所以，解得，因為，所以，即雙曲線離心率的取值范圍為，故選：C例53．（2023·山西晉城·高二校考階段練習）已知雙曲線的左，右焦點分別為，P是右支上一點，且，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，由雙曲線的幾何性質可知，由條件可知，，在中，，即，；當點P位于雙曲線的右頂點時，也滿足題意，即，，由雙曲線的幾何性質知，所以離心率的取值范圍是；故選：C.例54．（2023·重慶長壽·高二重慶市長壽中學校校考期中）已知橢圓上一點，它關于原點的對稱點為，點為橢圓右焦點，且滿足，設，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，設橢圓得左焦點為，連接，則四邊形為矩形，則，所以，在中，由，得，所以，所以，因為，所以，所以，所以.故選：B.經典題型五：直線與圓錐曲線的位置關系例55．（2023·江蘇南通·高二統考階段練習）過點向拋物線引兩條切線，切點分別為A，B，直線恒過的定點為.【答案】【解析】設過點的切線方程為，代入拋物線方程得：,其判別式，即，故得，，又的解為，所以切點的橫坐標為，代入拋物線方程可求得切點坐標為，設，令，則，即切點的坐標為;令，則，即切點的坐標為，故直線的斜率故直線的方程為，當時，即直線過定點.例56．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線，直線，若直線與雙曲線的交點分別在兩支上，求的范圍．【答案】【解析】聯立雙曲線、直線方程，消去整理得，由題意，設方程的兩根為，則，解得．故答案為：例57．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線，直線，若直線與雙曲線的右支有兩個交點，求的取值范圍．【答案】或【解析】依題意，聯立方程，消去，得，設直線與雙曲線的右支的兩個交點為，，則，解得或，所以或.故答案為：或.例58．（2023·江西上饒·高二江西省廣豐中學校考階段練習）經過橢圓的右焦點作傾斜角為的直線，交橢圓于兩點，則．【答案】/【解析】由橢圓方程得：右焦點，則直線方程為：，由得：，則，，，.故答案為：.例59．（2023·高二課時練習）過點與拋物線只有一個公共點的直線有條．【答案】3【解析】①當斜率不存在時，過點的直線為y軸，顯然符合題意．②當斜率存在時，設直線方程為．聯立得，當時，解得，此時方程有唯一實數解，符合題意；當時，由解得，此時方程有唯一實數解，符合題意．綜上共有3條直線．故答案為：3例60．（2023·高二課時練習）若直線與橢圓恒有公共點，則實數的取值范圍是．【答案】【解析】由題意，直線恒過定點，要使得直線與橢圓恒有公共點，則滿足點在橢圓上或在橢圓的內部，即，解得，又由橢圓的方程，滿足，所以實數的取值范圍為.例61．（2023·江蘇·高二專題練習）若直線與橢圓有唯一公共點，則實數．【答案】【解析】直線的方程與橢圓的方程聯立，消去，得①.方程①的判別式.因為直線l與橢圓C有唯一公共點．則，解得.故答案為：.例62．（2023·高二課時練習）已知拋物線方程為，若過點的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是.【答案】【解析】依題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為，由消去并化簡得①，當時，①可化為，此時，即直線與拋物線相交于.當時，由于①有解，所以，即，解得且.綜上所述，直線l的斜率的取值范圍是.故答案為：例63．（2023·全國·高二課堂例題）已知拋物線C：，過點的直線l與拋物線C有唯一公共點，則這樣的直線有條．【答案】3【解析】由題意知，直線的斜率存在.設直線斜率為，則切線方程為，聯立消x得，當時，此時，與拋物線有唯一公共點；當時，由，解得，即過M點的切線有兩條．綜上可知，滿足條件的直線有3條．故答案為：3.經典題型六：三角形與四邊形面積問題例64．（2023·高二課時練習）已知點在拋物線上，傾斜角為的直線l經過拋物線C的焦點F.(1)求拋物線C的標準方程；(2)求線段AB的長及的面積.【解析】（1）由題意可知，將點代入拋物線方程，可得，解得，則拋物線方程為.（2）由（1）可知，拋物線方程為，則，則直線的方程為，即，設，，聯立直線與拋物線方程可得，消去可得，化簡可得，則，由拋物線焦半徑公式可得，；由點到直線的距離公式可知，點到直線的距離，則.例65．（2023·全國·高二期中）已知雙曲線實軸的一個端點是，虛軸的一個端點是，直線與雙曲線的一條漸近線的交點為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與曲線有兩個不同的交點是坐標原點，求的面積最小值.【解析】（1）設點，點，則直線的方程為，與漸近線聯立，得，解之得，即直線與雙曲線的一條漸近線交點為，又直線與雙曲線的一條漸近線的交點為，所以，即，因此雙曲線方程為.（2）設，把代入，得，則，，，點到直線的距離，所以的面積為，令，所以，令，則，因為，所以，由，得，由，得，由，得，即當時，等號成立，此時滿足，所以面積的最小值為.例66．（2023·全國·高二期中）已知橢圓過和兩點.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為A，B，當動點M在定直線上運動時，直線，分別交橢圓于兩點P和Q.（i）證明：點B在以為直徑的圓內；（ii）求四邊形面積的最大值.【解析】（1）依題意將和兩點代入橢圓可得，解得；所以橢圓方程為（2）（i）易知，由橢圓對稱性可知，不妨設，；根據題意可知直線斜率均存在，且；所以直線的方程為，的方程為；聯立直線和橢圓方程，消去可得；由韋達定理可得，解得，則；聯立直線和橢圓方程，消去可得；由韋達定理可得，解得，則；則，；所以；即可知為鈍角，所以點B在以為直徑的圓內；（ii）易知四邊形的面積為，設，則，當且僅當時等號成立；由對勾函數性質可知在上單調遞增，所以，可得，由對稱性可知，即當點的坐標為或時，四邊形的面積最大，最大值為6.例67．（2023·安徽·高二校考期中）設拋物線：的焦點為，是拋物線上橫坐標為的點，．(1)求拋物線的方程；(2)設過點且斜率為的直線交拋物線于，兩點，為坐標原點，求的面積．【解析】（1）拋物線：的準線方程為，依題意，，解得，所以拋物線的方程為.（2）由（1）知，，則直線的方程為，由消去y得：，解得，，所以的面積.例68．（2023·湖北恩施·高二校聯考期中）已知橢圓與直線有唯一的公共點，過點且與垂直的直線交軸，軸于兩點．(1)求滿足的關系式；(2)當點運動時，求點的軌跡的方程；(3)若軌跡與直線交于兩點，為坐標原點，求面積的最大值．【解析】（1）由題有得．由，即，得．（2）由（1）可得，方程有兩個相等的實根，故，而，所以，因此，即，直線，即，，則，軌跡的方程是．（3）令，則．由得，其中，．點到直線的距離，，，當且僅當時取等號，即當時取等號，則．當，取得最大值，．例69．（2023·新疆巴音郭楞·高二八一中學校考階段練習）已知動點到定點的距離是它到直線的距離的倍，記點的軌跡為.(1)求的方程；(2)若點，過點的直線與交于，兩點，求面積的最大值.【解析】（1）由題意可設，所以可得，兩邊同時平方可得整理可得；即的方程為；（2）如下圖所示：由題意可知直線的斜率存在，設直線的方程，設，，聯立，消去整理得，易知，所以，，所以，所以面積，設，所以，易知在上單調遞減，故當，即時，面積取得最大值，最大值為，所以面積的最大值.例70．（2023·浙江寧波·高二校聯考期中）橢圓：的右焦點是，且經過點；直線與橢圓交于，兩點，以為直徑的圓過原點.(1)求橢圓的方程；(2)若過原點的直線與橢圓交于，兩點，且，求四邊形面積的范圍.【解析】（1）焦點為，則，即，點在橢圓：上，即，解得或（舍去），則，所以橢圓的方程為；（2）當直線斜率存在時，設其方程為，，，聯立，可得，則①，又②，③以為直徑的圓過原點即，化簡可得，代入②③兩式，整理得，即④，將④式代入①式，得恒成立，則，設線段中點為，由，所以，又，又由，則點坐標為，化簡可得，代入橢圓方程可得，即，則，當直線斜率不存在時，方程為，直線過中點，即為軸，易得，，，綜上，四邊形面積的取值范圍為.例71．（2023·河南周口·高二統考期中）已知雙曲線的一條漸近線方程的傾斜角為，焦距為4．(1)求雙曲線的標準方程；(2)A為雙曲線的右頂點，為雙曲線上異于點A的兩點，且．①證明：直線過定點；②若在雙曲線的同一支上，求的面積的最小值．【解析】（1）設雙曲線的焦距為，由題意有解得．故雙曲線的標準方程為；（2）①證明：設直線的方程為，點的坐標分別為，由（1）可知點A的坐標為，聯立方程消去后整理為，可得，，，由，有，由，可得，有或，當時，直線的方程為，過點，不合題意，舍去；當時，直線的方程為，過點，符合題意，故直線過定點；②由①，設所過定點為，，，若在雙曲線的同一支上，可知都在左支上，有，可得，故的面積為，令，可得，有，由函數為函數值都為正的減函數，可得當時，的面積的最小值為9．例72．（2023·江蘇揚州·高二揚州中學校考期中）如圖，已知橢圓C：（）的離心率為，右焦點F到上頂點的距離為．(1)求橢圓C的方程；(2)設過原點的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，連接AF，BF并分別延長交橢圓C于D，E，記的面積分別是，求的取值范圍.【解析】（1）由題意可得，，，解得，，所以橢圓的方程為．（2）設，，,，，所以直線的方程為，聯立得，即，，則，所以D點的坐標為，同理，點的坐標為，，∵，∴，，則，即.例73．（2023·遼寧大連·高二大連八中校考階段練習）已知橢圓過(2，0)點，左右焦點分別為，，(1)求橢圓C的標準方程；(2)點是橢圓的上頂點，點在橢圓C上，若直線，的斜率分別為，滿足，求面積的最大值．【解析】（1）由題意，，∴，橢圓標準方程為；（2）設，直線聯立方程組，得，，得，

，，

，由題意知，由，，代入化簡得，故直線過定點，

由，解得，，

令，則，當且僅當，即時等號成立，所以面積的最大值為．經典題型七：圓錐曲線定點定值問題例74．（2023·高二課時練習）已知動圓與圓外切，與軸相切，記圓心的軌跡為曲線，．(1)求的方程；(2)若斜率為4的直線交于、兩點，直線、分別交曲線于另一點、，證明：直線過定點．【解析】（1）設，動圓的半徑為，圓的圓心為，半徑為1，因為動圓與圓外切，可得或，化為或，所以點的軌跡的方程為：或．（2）證明：設直線的方程為，設，，，，聯立，化為，△，解得．所以，，直線的方程為，與聯立，解得，，所以，．同理可得，，，所以直線的方程為：，化為，，，根據對應系數相等可得，得，則，所以直線恒過定點，．例75．（2023·全國·高二期中）已知橢圓的左焦點為，且點在橢圓上.(1)求橢圓的標準方程；(2)橢圓的上、下頂點分別為，點，若直線與橢圓的另一個交點分別為點，證明：直線過定點，并求該定點坐標.【解析】（1）因為橢圓的左焦點，可得，由定義知點到橢圓的兩焦點的距離之和為，，故，則，所以橢圓的標準方程為.（2）由橢圓的方程，可得，且直線斜率存在，設，設直線的方程為：，與橢圓方程聯立得：，則直線的方程為，直線的方程為，由直線和直線交點的縱坐標為4得，即又因點在橢圓上，故，得，同理，點在橢圓上，得，即即即即化簡可得，即，解得或，當時，直線的方程為，直線過點，與題意不符.故，直線的方程為，直線恒過點例76．（2023·浙江·高二校聯考開學考試）已知橢圓：．(1)直線：交橢圓于，兩點，求線段的長；(2)為橢圓的左頂點，記直線，，的斜率分別為，，，若，試問直線是否過定點，若是，求出定點坐標，若不是，請說明理由．【解析】（1）將直線與橢圓方程聯立，即，得，即，故；（2）設直線：，，，由得，，，又，，故，由，得，故或，①當時，直線：，過定點，與已知不符，舍去；②當時，直線：，過定點，，符合題意．例77．（2023·山東淄博·高二校聯考階段練習）已知橢圓：的長軸為雙曲線的實軸，且橢圓過點.(1)求橢圓的標準方程；(2)點、是橢圓上異于點的兩個不同的點，直線與的斜率均存在，分別記為，，且，求證：直線恒過定點，并求出定點的坐標.【解析】（1）因為橢圓：的長軸為雙曲線的實軸，所以，所以橢圓：，又因為橢圓過點，所以，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）①當直線的斜率存在時，設其方程為由得所以，所以，因為，所以，所以即，化簡得所以即所以，或，當時，直線的方程為，直線恒過定點，不滿足題意；當時，直線的方程為直線恒過定點，滿足題意；所以直線恒過定點.②當直線的斜率不存在時，設其方程為，由得，所以，所以，解得（舍去）或，所以直線也過定點.綜上，直線恒過定點.例78．（2023·高二單元測試）已知O為坐標原點，拋物線，點，設直線l與C交于不同的兩點P，Q.(1)若直線軸，求直線的斜率的取值范圍；(2)若直線l不垂直于x軸，且，證明：直線l過定點．【解析】（1）當點在第一象限時，設，則，（當時取等號），∴，同理，當點在第四象限時，.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.（2）設直線的方程為，聯立方程得，設，則，∵，即，即，即，即，∴，滿足，∴，∴直線過定點.例79．（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓E的中心在原點，周長為8的的頂點，為橢圓E的左焦點，頂點B，C在E上，且邊BC過E的右焦點.(1)求橢圓E的標準方程；(2)橢圓E的上、下頂點分別為M，N，點若直線，與橢圓E的另一個交點分別為點S，T，證明：直線ST過定點，并求該定點坐標.【解析】（1）由題意知，橢圓E的焦點在x軸上，所以設橢圓方程為，焦距為，所以周長為，即，，因為左焦點，所以，，所以，所以橢圓E的標準方程為.（2）由題意知，,，直線斜率均存在，所以直線，與橢圓方程聯立得，對恒成立，則，即，則，同理，，所以，所以直線方程為：，所以直線過定點，定點坐標為.例80．（2023·河南許昌·高二統考期末）雙曲線的左、右焦點分別為，過作與軸垂直的直線交雙曲線于兩點，的面積為12，拋物線以雙曲線的右頂點為焦點.(1)求拋物線的方程；(2)如圖，點為拋物線的準線上一點，過點作軸的垂線交拋物線于點，連接并延長交拋物線于點，求證：直線過定點.【解析】（1）設，則，令，代入的方程，得.所以，所以，故，即.所以拋物線的方程為.（2）由（1）知，則.直線的方程為，代入拋物線的方程有.當時，，所以直線的方程為，即.所以此時直線過定點.當時，直線的方程為，此時仍過點，綜上，直線過定點.例81．（2023·江蘇徐州·高二統考期中）已知定點，定直線，動圓過點，且與直線相切．(1)求動圓的圓心所在軌跡的方程；(2)已知點是軌跡上一點，點是軌跡上不同的兩點（點均不與點重合），設直線的斜率分別為，且滿足，證明：直線過定點，并求出定點的坐標．【解析】（1）設點，圓與直線的切點為，因為動圓過點，且與直線相切，則，所以點的軌跡是以原點為頂點，以點為焦點的拋物線，則動圓的圓心軌跡的方程為．（2）若直線的斜率為0，則直線與拋物線只有1個交點，不合要求，設直線的方程為，消去可得：，則，因為為拋物線上一點，所以，解得，，解得，代入，解得或，結合點均不與點重合，則，則，解得，故且或，所以直線即所以直線恒過定點.例82．（2023·黑龍江牡丹江·高二牡丹江一中校考階段練習）已知橢圓過點，且離心率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)過動點作直線交橢圓于兩點，且，過作直線，使與直線垂直，證明：直線恒過定點，并求此定點的坐標．【解析】（1）由已知得由解方程組得

所以橢圓的標準方程為.（2）當直線AB斜率存在時，設AB的直線方程為，聯立，消得，，由題意，.設，則.因為，所以是的中點．即，得，①，又，的斜率為，直線的方程為②，把①代入②可得：，

所以直線恒過定點.當直線斜率不存在時，直線的方程為，此時直線為軸，也過.綜上所述，直線恒過點.例83．（2023·四川成都·高二校考期中）已知橢C：，為其左右焦點，離心率為，(1)求橢圓C的標準方程；(2)設點P，點P在橢圓C上，過點P作橢圓C的切線l，斜率為，，的斜率分別為，，則是否是定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由.【解析】（1）由已知條件可得，，解得，橢圓；（2）是定值，證明：因為點，，過點作橢圓的切線，斜率為，且，與聯立消得，由題設得，即，因為點在橢圓上，，代入上式得，而，定值），是定值；例84．（2023·高二單元測試）已知拋物線C：的焦點F與橢圓的右焦點重合，點M是拋物線C的準線上任意一點，直線MA，MB分別與拋物線C相切于點A，B．(1)求拋物線C的標準方程及其準線方程；(2)設直線MA，MB的斜率分別為，，證明：為定值．【解析】（1）因為，所以，所以，可得橢圓的右焦點為，可得拋物線C的焦點為，∴，所以拋物線C的標準方程為，準線方程為；（2）由于點M是拋物線C的準線上任意一點，故可設，因為直線MA，MB的分別與拋物線C相切于點A，B點可知直線MA，MB的斜率存在，且不為0，設過點的直線方程為，聯立，消去得：，其判別式，令，得，由韋達定理知，，故為定值－1．例85．（2023·高二課時練習）已知雙曲線與橢圓的焦點重合，且與的離心率之積為．(1)求雙曲線的標準方程；(2)設雙曲線的左?右頂點分別為，若直線與圓相切，且與雙曲線左?右兩支分別交于兩點，記直線的斜率為的斜率為，那么是否為定值？并說明理由．【解析】（1）設雙曲線的標準方程為．易知橢圓的焦點坐標為，離心率為，所以，因為與的離心率之積為，所以的離心率為，所以，即，解得．故雙曲線的標準方程為．（2）是定值，理由如下：設，其中，因為直線與圓相切，所以，即，聯立，消去并整理得，所以．因為，則，即，所以．由題意得．，即為定值．例86．（2023·高二課時練習）已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，且其離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)已知與坐標軸不垂直的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，求證：（為坐標原點）為定值.【解析】（1）∵拋物線的焦點為，∴橢圓的半焦距為，又，得，.∴橢圓的方程為（2）證明：由題意可知，直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，聯立，得.，即，設，，則，，∴，∴.∴為定值例87．（2023·江蘇南京·高二校考期中）已知點在雙曲線上，直線（不過點）的斜率為，且交雙曲線于、兩點.(1)求雙曲線的方程；(2)求證：直線、的斜率之和為定值.【解析】（1）將點的坐標代入雙曲線的方程可得，解得，所以，雙曲線的方程為.（2）證明：由題意，設直線的方程為，設、，聯立可得，，解得或，由韋達定理可得，，所以，.可得直線、的斜率之和為.例88．（2023·新疆伊犁·高二統考期末）設橢圓C：的離心率為，過原點O斜率為1的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，橢圓右焦點F到直線l的距離為．(1)求橢圓C的方程；(2)設P是橢圓上異于M，N外的一點，當直線PM，PN的斜率存在且不為零時，記直線PM的斜率為，直線PN的斜率為，試探究是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由．【解析】（1）由題意直線l：，右焦點，F到直線l的距離為，解得，又，所以，則，∴橢圓C的方程為；（2）聯立，解得或，不妨設，設，因為點P是橢圓上異于M，N外的一點，所以，則，，所以為定值.經典題型八：斜率問題例89．（2023·河北保定·高二河北省唐縣第一中學校考階段練習）已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，且橢圓過，直線與橢圓交于、.(1)求橢圓的標準方程；(2)設直線、的斜率分別為、，證明：.【解析】（1）因為橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，則這個直角三角形為等腰直角三角形，腰長為，斜邊長為，則，可得，所以，，所以，橢圓的方程可表示為，將點的坐標代入橢圓的方程可得，解得，故橢圓的標準方程為.（2）設點、，聯立可得，，解得，顯然，否則直線過點，由韋達定理可得，，所以，，因此，.例90．（2023·江蘇·高二南京市人民中學校聯考開學考試）已知橢圓過點.(1)求橢圓的離心率；(2)過點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點，橢圓的左頂點為A，求直線與直線的斜率之積.【解析】（1）由于橢圓過點，所以，所以，所以橢圓的離心率.（2）由（1）可知橢圓方程為，當直線的斜率不存在時，直線方程為，與橢圓方程聯立可求得（不妨設M在第一象限），又，所以，所以；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，聯立，消去得，，由韋達定理得，所以.綜上，直線與直線的斜率之積為.例91．（2023·廣東佛山·高二佛山市三水區三水中學校考階段練習）已知橢圓C的中心在坐標原點，若橢圓C焦點在軸上，焦距為，且經過點．(1)求橢圓C的標準方程.(2)若直線l與橢圓C交于A，B兩點，，直線DA與直線DB的斜率之積為，求直線l斜率的取值范圍．【解析】（1）設橢圓C的標準方程為，因為，可得，所以橢圓的焦點，，由橢圓的定義，可得，所以，則，所以橢圓C的標準方程為.（2）由題意，直線的斜率存在，設直線的方程為，聯立方程，整理得，可得，解得，設，則，所以，代入整理得，當時，此時直線的方程為恒過，不符合題意；當時，可得，解得，此時直線的方程為恒過，又由，可得，解得，且，可得且，所以實數的取值范圍是.例92．（2023·黑龍江牡丹江·高二牡丹江一中校考階段練習）已知橢圓左右焦點分別為，離心率為．斜率為的直線（不過原點）交橢圓于兩點，當直線過時，周長為8．(1)求橢圓的方程；(2)設斜率分別為，且依次成等比數列，求的值，并求當面積為時，直線的方程．【解析】（1）由題意，，解得，所以.故橢圓的方程為．（2）設直線的方程為，與橢圓方程聯立得，，且，所以．由題意，，故..此時，，.又點O到直線的距離，故三角形的面積,解得或，所以直線l方程為或.例93．（2023·江蘇南京·高二校聯考階段練習）已知雙曲線:的左、右焦點分別為，，離心率為，A是直線l：上不同于原點O的一個動點，斜率為的直線與雙曲線E交于M，N兩點，斜率為的直線與雙曲線E交于P，Q兩點.(1)求的值；(2)若直線OM，ON，OP，OQ的斜率分別為，，，，問是否存在點A，滿足+=，若存在，求出A點坐標；若不存在，說明理由.【解析】（1）由題意得,,所以，所以，因為所以，所以雙曲線E：，所以曲線E的左、右焦點分別為，，設，，同理可得∴.（2）設，直線方程為，代入雙曲線方程可得：，所以，則，則，，，，同理，即，即，∴或，又，若，無解，舍去.∴，解得，，或，，若，，由A在直線上可得，，∴.此時，若，，由A在直線上可得，，∴此時∴存在點，或，滿足例94．（2023·高二課時練習）已知雙曲線實軸左右兩個頂點分別為，雙曲線的焦距為，漸近線方程為．(1)求雙曲線的標準方程；(2)過點的直線與雙曲線交于兩點．設的斜率分別為，且，求的方程．【解析】（1）雙曲線的焦距，；雙曲線的漸近線方程為，即，，又，，，雙曲線的標準方程為：.（2）由（1）得：，，設，，由題意知：直線的斜率一定存在，則可設，由得：，，解得：且，，，；，，即，，解得：或，又且，，直線的方程為：，即.例95．（2023·山東濰坊·高二校考階段練習）已知雙曲線的中心為坐標原點，左、右焦點分別為，且點在雙曲線上.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若直線與直線交于點，點是雙曲線上一點，且滿足，記直線的斜率為，直線的斜率為，求.【解析】（1）由題意得，，解得.所以雙曲線方程為：，于是其漸近線為或，即或.（2）設，，因為，所以，整理得.因為點在雙曲線上，所以，即，所以.例96．（2023·河南許昌·高二統考期末）已知的兩個頂點A，B的坐標分別是且直線PA，PB的斜率之積是，設點P的軌跡為曲線H.(1)求曲線H的方程；(2)經過點且斜率為k的直線與曲線H交于不同的兩點E，F（均異于A，B），證明：直線BE與BF的斜率之和為定值.【解析】（1）設，則由直線PA，PB的斜率之積是可得，化簡可得（2）設直線方程為：，則與橢圓方程聯立可得：，則，故或，設，則，.故.

.例97．（2023·高二課時練習）設拋物線的焦點為F，過F且斜率為1的直線l與E交于A，B兩點，且．(1)求拋物線E的方程；(2)設為E上一點，E在P處的切線與x軸交于Q，過Q的直線與E交于M，N兩點，直線PM和PN的斜率分別為和．求證：為定值．【解析】（1）由題意，，直線l的方程為，代入，得．于是，∴焦點弦，解得p＝2．故拋物線E的方程為．（2）因在E上，∴m＝2．設E在P處的切線方程為，代入，得．由，解得t＝1，∴P處的切線方程為y＝x＋1，從而得．易知直線MN的斜率存在，設其方程為，設，．將代入，得．于是，，且，．∴．故為定值2．經典題型九：中點弦問題例98．（2023·江蘇·高二專題練習）求所有斜率為1的直線被橢圓所截得線段的中點的軌跡．【解析】如圖，設直線被橢圓所截得的線段的兩個端點、的橫坐標為、，線段中點為．聯立直線方程和橢圓方程得方程組，消去，并整理得．當判別式，即時，上述方程有兩個不同的實數解，即直線與橢圓的相交線段存在．因為，，從而，這就是中點的軌跡的參數方程（其中）．消去得，，由，及，可得，點的軌跡方程為，，即點的軌跡是直線在橢圓內的部分．例99．（2023·江蘇·高二專題練習）已知圓，圓，動圓與圓外切并且與圓內切，圓心的軌跡為曲線(1)求的方程；(2)是否存在過點的直線交曲線于兩點，使得為中點？若存在，求該直線方程，若不存在，請說明理由．【解析】（1）設動圓的半徑為，依題意得，所以為定值，且，所以動點的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，，，，，所以，所以橢圓的方程為.（2）假設存在過點的直線交曲線于兩點，使得為中點，設，，則，兩式相減得，得，即，由點斜式得直線方程為，即.所以存在過點的直線交曲線于兩點，使得為中點，且該直線方程為.例100．（2023·甘肅白銀·高二統考開學考試）已知橢圓的離心率為，是上一點．(1)求的方程；(2)設，是上兩點，若線段的中點坐標為，求直線的方程．【解析】（1）由題可知，解得，，，故的方程為．（2）設，，則則，即．因為線段的中點坐標為，所以，，則．故直線的方程為，即．例101．（2023·全國·高二課堂例題）求過定點的直線被雙曲線截得的弦AB的中點的軌跡方程.【解析】因為該直線的斜率不存在時與雙曲線無交點，故可設直線的方程為，且設該直線被雙曲線截得的弦AB對應的中點為，，.由得.則，即，且，所以，即，，且，，所以，.由，即，，代入消去k得.又，且，，故或.故弦AB的中點的軌跡方程為（或）.例102．（2023·高二課時練習）已知焦點在軸上的雙曲線實軸長為，其一條漸近線斜率為．(1)求雙曲線的標準方程；(2)過點能否作直線，使直線與所給雙曲線交于、兩點，且點是弦的中點？如果直線存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．【解析】（1）因為雙曲線的焦點在軸上，設該雙曲線的標準方程為，因為該雙曲線的實軸長為，一條漸近線斜率為，則，解得，因此，該雙曲線的標準方程為.（2）假定直線存在，設以為中點的弦的兩端點為、，則有，．根據雙曲線的對稱性知．由點、在雙曲線上，得，，兩式相減得，所以，所以，即以為中點的弦所在直線的斜率，故直線的方程為，即．聯立，消去得，，因此直線與雙曲線無交點，故滿足條件的直線不存在．例103．（2023·寧夏銀川·高二校考階段練習）過雙曲線的弦，且為弦的中點，求直線的方程.【解析】設，，因為為弦的中點，所以，，因為直線與雙曲線的相交于，兩點，所以，兩式相減得，即所以，故直線的方程為，即.經驗證該直線與雙曲線相交.例104．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線的右焦點為，且C的一條漸近線經過點.(1)求C的標準方程；(2)是否存在過點的直線l與C交于不同的A，B兩點，且線段AB的中點為P.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.【解析】（1）因為雙曲線C的右焦點為，所以，可得，又因為雙曲線C的一條漸近線經過點，可得，即，聯立方程組，解得，所以雙曲線C的標準方程為.（2）假設存在符合條件的直線，易知直線l的斜率存在，設直線的斜率為，且，則，兩式相減得，所以，因為的中點為，所以，所以，解得，直線的方程為，即，把直線代入，整理得，可得，該方程沒有實根，所以假設不成立，即不存在過點的直線與C交于兩點，使得線段的中點為.例105．（2023·上海浦東新·高二上海南匯中學校考期中）已知曲線C的方程是，其中，，直線l的方程是．(1)請根據a的不同取值，判斷曲線C是何種圓錐曲線；(2)若直線l交曲線C于兩點M，N，且線段中點的橫坐標是，求a的值；(3)若，試問曲線C上是否存在不同的兩點A，B，使得A，B關于直線l對稱，并說明理由．【解析】（1），即，當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓；當時，曲線表示焦點在軸上的雙曲線；（2）設，，，則，，兩式相減得到：，即，故，故的中點為，代入直線得到，解得或（舍），故.（3）假設存在，直線方程為，雙曲線方程為，設，，中點為，則，，兩式相減得到，即，，又，解得，.此時直線方程為：，即，，化簡得到，方程無解，故不存在.例106．（2023·廣西貴港·高二統考期末）已知是拋物線的焦點，是拋物線上一點，且.(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線交于兩點，且線段的中點坐標為，求直線的斜率.【解析】（1）由題可知，，解得，故拋物線的方程為.（2）設，則，兩式相減得，即.因為線段的中點坐標為，所以，則，故直線的斜率為2.例107．（2023·全國·高二專題練習）已知直線與拋物線相交于、兩點.(1)若直線過點，且傾斜角為，求的值；(2)若直線過點，且弦恰被平分，求所在直線的方程.【解析】（1）因直線的傾斜角為，所以直線的斜率，又因直線過點，所以直線的方程為：，即，聯立得，設，，所以，，所以（2）因、在拋物線上，所以，，兩式相減得：，得，故直線的斜率為4，所以直線的方程為：，即例108．（2023·高二單元測試）已知拋物線的焦點為是拋物線上的點，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，求直線的方程．【解析】（1）因為，所以，故拋物線的方程為．（2）易知直線的斜率存在，設直線的斜率為，則兩式相減得，整理得．因為的中點為，所以，所以直線的方程為，即.例109．（2023·高二課時練習）已知直線l與拋物線交于A，B兩點，且線段AB恰好被點平分.(1)求直線l的方程；(2)拋物線上是否存在點C和D，使得C，D關于直線l對稱?若存在，求出直線CD的方程；若不存在，請說明理由.【解析】（1）依題意，直線l的斜率存在，且不為0，設直線l的方程為，即，由消去x得：，，設，則有，由，得，于是直線l的方程，即，所以直線l的方程為.（2）假設拋物線上存在點C，D滿足條件，由（1）設直線的方程為，由消去x得：，有，解得，設，則，于是線段的中點坐標為，顯然點在直線上，即，解得，所以拋物線上不存在點C，D，使得C，D關于直線l對稱.模塊三：數學思想方法①分類討論思想例110．（2023·廣西玉林·高三校聯考開學考試）設橢圓，雙曲線的離心率分別為.若，則的所有可能取值的乘積為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】由，得，當時，有，得，當時，有，得，故的所有可能取值的乘積為，故選：C例111．（2023·高二課時練習）設集合A＝{1，2，3，4，5}，，則方程＋＝1表示焦點位于x軸上的橢圓有（

）A．8個 B．10個 C．12個 D．16個【答案】B【解析】因為橢圓的焦點在x軸上，所以m>n.當m＝5時，n＝1，2，3，4四種結果；當m＝4時，n＝1，2，3三種結果；當m＝3時，n＝1，2兩種結果；當m＝2時，n＝1一種結果.即所求的橢圓共有4＋3＋2＋1＝10(個)．故選：B例112．（2023·四川達州·高二四川省宣漢中學校考開學考試）定義：橢圓中長度為整數的焦點弦(過焦點的弦)為“好弦”．則橢圓中所有“好弦”的長度之和為（

）A．162 B．166 C．312 D．364【答案】B【解析】由已知可得，所以，即橢圓的右焦點坐標為，對于過右焦點的弦，則有：當弦與軸重合時，則弦長，當弦不與軸重合時，設，聯立方程，消去x得：，則，故，∵，則，可得，即，∴，綜上所述：，故弦長為整數有，由橢圓的對稱性可得：“好弦”的長度和為．故選：B．例113．（2023·全國·高二專題練習）方程表示焦距為的雙曲線，則實數λ的值為（

）A．1 B．4或1 C．2或4或1 D．2或1【答案】A【解析】由題意在雙曲線中，焦距即當即時，解得：（舍）或當即時，解得：（舍）或（舍）綜上，故選：A.例114．（2023·上海浦東新·高二上海市建平中學校考階段練習）過定點且與拋物線有且僅有一個公共點的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【解析】當斜率不存在時，直線方程為，只有一個公共點，符合題意；當斜率存在時，設為k，則直線方程為，聯立，得，①當時，直線方程為，只有一個公共點，符合題意；②當時，令，解得，即直線與拋物線有一個公共點.所