一、角的相關(guān)概念(1)角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形．(2)角的表示如圖，①始邊：射線的起始位置OA；②終邊：射線的終止位置OB；③頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O；④記法：圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或“∠AOB”，可以簡記成“α”．(3)角的分類名稱定義圖形正角一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角一條射線繞其端點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)形成的角二、角的相等與加減(1)角的相等設(shè)角α由射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)而成，角β由射線O′A′繞端點(diǎn)O′旋轉(zhuǎn)而成．如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱α＝β.(2)角的加法設(shè)α，β是任意兩個(gè)角，把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時(shí)終邊所對應(yīng)的角是α＋β.(3)相反角把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角．角α的相反角記為－α.(4)角的減法角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法，有α－β＝α＋(－β)．三、平面直角坐標(biāo)系中的任意角條件在直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合象限角角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角軸線角角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限，可稱為軸線角終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和注：1．對角的概念的認(rèn)識(shí)關(guān)鍵是抓住“旋轉(zhuǎn)”二字(1)要明確旋轉(zhuǎn)方向；(2)要明確旋轉(zhuǎn)的大小；(3)要明確射線未作旋轉(zhuǎn)時(shí)的位置．2．對終邊相同的角的理解(1)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；(2)k∈Z，即k為整數(shù)，這一條件不可少；(3)終邊相同的角的表示不唯一；(4)終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差周角的整數(shù)倍．四、度量角的兩種制度(1)角度制①定義：用度作為單位來度量角的單位制．②1度的角：周角的eq\f(1,360)為1度的角，記作1°.(2)弧度制①定義：以弧度作為單位來度量角的單位制．②1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角．③表示方法：1弧度記作1_rad.五、弧度數(shù)的計(jì)算與互化(1)弧度數(shù)的計(jì)算(2)弧度與角度的互化(3)一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)π六、扇形的弧長及面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則(1)弧長公式：l＝αR.(2)扇形面積公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2.(1)無論是以“度”還是以“弧度”為單位，角的大小都是一個(gè)與“半徑”大小無關(guān)的值．(2)用弧度為單位表示角的大小時(shí)，“弧度”兩字可以省略不寫，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度為單位表示角時(shí)，度就不能省去．(3)用弧度為單位表示角時(shí)，常常把弧度數(shù)寫成多少π的形式，如無特殊要求，不必把π寫成小數(shù)，如45°＝eq\f(π,4)弧度，不必寫成45°≈0.785弧度．(4)角度制和弧度制表示的角不能混用．如α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋eq\f(π,4)，k∈Z，都不正確．（一）任意角的概念1.引入任意角的概念后需要注意：（1）用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地?cái)U(kuò)大了．角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負(fù)角和零角．（2）角的概念的理解要緊緊抓住“旋轉(zhuǎn)”二字，用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來看待角的概念：一是要明確旋轉(zhuǎn)的方向，二是要明確旋轉(zhuǎn)的大小，三是要明確射線作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)的位置．（3）角的范圍不再限于．（4）當(dāng)角的始邊相同時(shí)，若角相等，則終邊相同；終邊相同，而角不一定相等．（5）要正確理解正角、負(fù)角、零角的概念，由定義可知，關(guān)鍵是抓住終邊的旋轉(zhuǎn)方向是逆時(shí)針、順時(shí)針，還是沒有轉(zhuǎn)動(dòng)．在圖中表示角時(shí)，應(yīng)注意箭頭的方向不可丟掉，箭頭方向代表角的正負(fù)．（6）角的記法：用一個(gè)希臘字母表示，如，，，…；也可用三個(gè)大寫的英文字母表示，字母前要寫符號“”，中間的字母表示角的頂點(diǎn)，如，，…．為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以簡記為“”．（7）引入正角、負(fù)角、零角后，角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法運(yùn)算，即可以轉(zhuǎn)化為．2.判斷角的概念問題的關(guān)鍵與技巧(1)關(guān)鍵：正確理解任意角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念，嚴(yán)格辨析它們之間的聯(lián)系與區(qū)別．(2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可．題型1：任意角的概念11．（2324下·上海·課時(shí)練習(xí)）分針一小時(shí)所轉(zhuǎn)過的角是．【答案】【分析】根據(jù)任意角的定義求解即可.【詳解】因?yàn)橐恍r(shí)等于六十分，即分針順時(shí)針走了一圈，所以分針一小時(shí)所轉(zhuǎn)過的角是故答案為：12．（2324·全國·課堂例題）每周一的早晨，我們都會(huì)在學(xué)校的操場上舉行升國旗儀式，一般需要10分鐘．這10分鐘的時(shí)間，鐘表的分針走過的角度是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】計(jì)算分針走過的角度大小的同時(shí)考慮他的方向即可求解.【詳解】分針是順時(shí)針走的，形成的角度是負(fù)角，又分針走過了10分鐘，走過的角度大小為，綜上，分針走過的角度是．故選：D．13．（2324上·全國·課時(shí)練習(xí)）給出下列說法：①終邊相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③的角是第一象限的角；④小于.【答案】②③④【分析】根據(jù)題意，由任意角的定義對選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】①終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差的整數(shù)倍，故正確；②角是第一象限角，角是第二象限角，，故錯(cuò)誤；③的角是指大于等于小于的角，其中角不是象限角，故錯(cuò)誤；④小于的角還包括零角和負(fù)角，故錯(cuò)誤；故答案為：②③④14．【多選】（23·24上·全國·課時(shí)練習(xí)）下列選項(xiàng)不正確的是（

）A．終邊落在第一象限的角為銳角B．銳角是第一象限的角C．第二象限的角為鈍角D．小于的角一定為銳角【答案】ACD【分析】根據(jù)象限角、銳角、鈍角的定義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，終邊落在第一象限的角不一定是銳角，如的角終邊位于第一象限，但不是銳角，A錯(cuò)誤；對于B，銳角是之間的角，終邊位于第一象限，是第一象限角，B正確；對于C，終邊落在第二象限的角不一定是鈍角，如的角的終邊位于第二象限，但不是鈍角，C錯(cuò)誤；對于D，小于的角不一定是銳角，如的角小于，但不是銳角，D錯(cuò)誤.故選：ACD.15．（2324·全國·課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合為銳角，為第一象限角，為小于90°的角，為小于90的正角，則下列等式中成立的是A． B． C． D．【答案】D【分析】利用角的表示方法，分別表示出集合，根據(jù)集合的大小關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意，集合為銳角，集合為第一象限角，集合為小于90°的角，集合為小于90的正角，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的表示方法及其應(yīng)用，其中解答中熟記角的表示方法是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與論證能力.16．（2324上·濟(jì)南·期末）“是銳角”是“是第一象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】根據(jù)銳角與象限角的概念及充分條件、必要條件求解.【詳解】因?yàn)槭卿J角能推出是第一象限角，但是反之不成立，例如是第一象限角，但不是銳角，所以“是銳角”是“是第一象限角”的充分不必要條件，故選：A（二）終邊相同的角1．一般地，我們有：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合，，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和．2．象限角的分類及表示方法如下：象限角集合的表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角3．設(shè)，顯然，所有與角終邊相同的角都是集合的元素；反過來，集合中的任何一個(gè)元素也都與角的終邊相同．推廣到一般形式有：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和．4．利用與角終邊相同的角的集合，可把任意角轉(zhuǎn)化成，，的形式；也可利用與角終邊相同的角化簡終邊落在過原點(diǎn)的某一條直線上的角的集合；或利用與角終邊相同的角寫出各象限角和象限界角的集合．如第一象限角，在~360范圍內(nèi)，第一象限角表示為，然后在兩端加上，，即可得到第一象限角的集合：，，其他各象限角同理可得．若為象限界角，如終邊落在軸的負(fù)半軸上，代表角為180，所以終邊落在軸的負(fù)半軸上的角的集合為，．同理可得其他非象限角的集合．5.尋求終邊相同的角的方法與技巧在[0°，360°)范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法：(1)一般地，可以將所給的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．(2)如果所給的角的絕對值不是很大，可以通過如下方法完成：當(dāng)所給角是負(fù)角時(shí)，采用連續(xù)加360°的方式；當(dāng)所給角是正角時(shí)，采用連續(xù)減360°的方式，直到所得結(jié)果達(dá)到要求為止．6．求終邊落在直線上的角的集合的三個(gè)步驟(1)寫出在[0°，360°)范圍內(nèi)相應(yīng)的角；(2)由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合；題型2：終邊相同的角21．【多選】（2324下·營口·階段練習(xí)）與角終邊相同的角的集合是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)終邊相同的角的定義直接求解即可.【詳解】與終邊相同的角可寫為：，，，，與角終邊相同的角的集合為：，A正確；，C正確.故選：AC.22．（2324·全國·課堂例題）已知角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，作出下列各角，指出它們是第幾象限角，并指出在范圍內(nèi)與其終邊相同的角．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，第一象限角(2)，第四象限角(3)，第二象限角(4)，第三象限角【分析】先作圖，再根據(jù)角的定義求解.【詳解】（1）

角是第一象限角，，所以在范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是角；（2）

角是第四象限角，，所以在范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是角；（3）

角是第二象限角，，所以在范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是角；（4）

角是第三象限角，，所以在范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是角；綜上，（1）第一象限，與角終邊相同，（2）第四象限，與角終邊相同，（3）第二象限，與角終邊相同，（4）第三象限，與角終邊相同.23．（2324·全國·課時(shí)練習(xí)）在與角終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．（1）最小的正角；（2）最大的負(fù)角；（3）內(nèi)的角．【答案】（1）；（2）；（3）、、、.【分析】先找到與角終邊相同的角的表示，在對（1）、（2）、（3）分別取適當(dāng)?shù)膋值，求出待求角.【詳解】和終邊相同其余的終邊相同的角度可以寫成（1）當(dāng)時(shí)是最小的正角，；（2）當(dāng)時(shí)是最大的負(fù)角，；（3）當(dāng)，，0，1時(shí)，、、、符合條件．【點(diǎn)睛】終邊相同（對稱）的角的表示方法：1、與β終邊相同的角可表示為：；2、與β終邊關(guān)于x軸對稱的角可表示為：；3、與β終邊關(guān)于y軸對稱的角可表示為：；4、與β終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱的角可表示為：；5、與β終邊關(guān)于y=x軸對稱的角可表示為：；6、與β終邊關(guān)于角θ對稱的角可表示為：.24．（2324·全國·專題練習(xí)）若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線上，則角α的取值集合是【答案】【分析】根據(jù)斜率得出傾斜角，進(jìn)而由終邊相同角的性質(zhì)求解.【詳解】直線的傾斜角是，所以終邊落在直線上的角的取值集合為故答案為：25．（2324·全國·課堂例題）寫出終邊在下圖所示的直線上的角的集合．

【答案】（1）；（2）【分析】（1）首先求得在范圍內(nèi)，終邊在直線上的角有兩個(gè)，即和，從而即可得答案；（2）求出終邊在直線上的角的集合，然后和終邊在直線上的角的集合取并集即可得答案.【詳解】（1）由題圖易知，在范圍內(nèi)，終邊在直線上的角有兩個(gè)，即和，因此，終邊在直線上的角的集合為；（2）同理可得終邊在直線上的角的集合為，終邊在直線上的角的集合為，所以終邊在直線上和在直線上的角的集合為.（三）區(qū)域角的表示1、區(qū)域角的寫法可分三步(1)按逆時(shí)針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；(2)由小到大分別標(biāo)出起始、終止邊界對應(yīng)的一個(gè)角α，β，寫出所有與α，β終邊相同的角；(3)用不等式表示區(qū)域內(nèi)的角，組成集合．注：區(qū)域角的寫法:(1)若角的終邊落在一個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)，寫區(qū)域角時(shí)，先依逆時(shí)針方向由小到大寫出一個(gè)區(qū)間角，然后在它的兩端分別加上“k×360°”，并注明“k∈Z”即可.(2)若角的終邊落在兩個(gè)對稱的扇形區(qū)域內(nèi)，寫角的范圍時(shí)，可以先寫出終邊落在一個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間角，然后在此區(qū)間角的兩端分別加上“k×180”，并注明“k∈Z”即可.題型3：區(qū)域角的表示31．（2324下·駐馬店·階段練習(xí)）用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合.

【答案】（1）；（2）【分析】根據(jù)給定的圖形，直接寫出角的集合表示作答.【詳解】（1）；（2）.32．（2324下·眉山·期中）（1）如圖，陰影部分表示角的終邊所在的位置，試寫出角的集合．

（2）已知角，將改寫成的形式，并指出是第幾象限角．【答案】（1）答案見解析；（2）；是第一象限角．【分析】（1）根據(jù)終邊相同的角及角的概念求解即可得；（2）根據(jù)弧度制與角度概念轉(zhuǎn)化書寫即可.【詳解】（1）①；②．（2）∵，∴．又，所以與終邊相同，是第一象限角．33．（23·24上·江蘇·課時(shí)練習(xí)）寫出終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合．(1)

(2)

【答案】(1)(2)【分析】寫出終邊在邊界上的角，結(jié)合圖象，利用不等式表示終邊在陰影內(nèi)的角，注意邊界的虛實(shí).【詳解】（1）在范圍內(nèi)，圖中終邊在第二象限的區(qū)域邊界線所對應(yīng)的角為，終邊在第四象限的區(qū)域邊界線所對應(yīng)的角為，因此，陰影部分區(qū)域所表示的集合為；（2）圖中從第四象限到第一象限陰影部分區(qū)域表示的角的集合為，圖中從第二象限到第三象限陰影部分區(qū)域所表示的角的集合為，因此，陰影部分區(qū)域所表示角的集合為.（四）象限角軸線角的判定1．象限角：若把角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角．例如：由于圖（1）中的角，，都是始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第一象限的角，所以它們都是第一象限角；同理，圖（2）中的角是第二象限角，，都是第四象限角．2．特別地，如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．例如，，，，等，因?yàn)樗鼈兊慕K邊落在坐標(biāo)軸上，所以這些角都不屬于任何一個(gè)象限，有的參考書上稱之為象限界角．3.象限角的判定方法(1)根據(jù)圖象判定．依據(jù)是終邊相同的角的概念，因?yàn)樵赱0°，360°)范圍內(nèi)的角的終邊與坐標(biāo)系中過原點(diǎn)的射線可建立一一對應(yīng)的關(guān)系．(2)將角轉(zhuǎn)化到[0°，360°)范圍內(nèi)．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，在[0°，360°)范圍內(nèi)沒有兩個(gè)角終邊是相同的．(3)nα所在象限的判斷方法確定nα終邊所在的象限，先求出nα的范圍，再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可．(4)eq\f(α,n)所在象限的判斷方法已知角α所在象限，要確定角eq\f(α,n)所在象限，有兩種方法：①用不等式表示出角eq\f(α,n)的范圍，然后對k的取值分情況討論：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.從而得出結(jié)論．②作出各個(gè)象限的從原點(diǎn)出發(fā)的n等分射線，它們與坐標(biāo)軸把周角分成4n個(gè)區(qū)域．從x軸非負(fù)半軸起，按逆時(shí)針方向把這4n個(gè)區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上1,2,3,4.α的終邊在第幾象限，則標(biāo)號為幾的區(qū)域，就是eq\f(α,n)的終邊所落在的區(qū)域．如此，eq\f(α,n)所在的象限就可以由標(biāo)號區(qū)域所在的象限直觀地看出．題型4：象限角軸線角的判定41．【多選】（2324下·承德·開學(xué)考試）已知是銳角，則（

）A．是第三象限角 B．是小于的正角C．是第一或第二象限角 D．是銳角【答案】ABD【分析】根據(jù)銳角的范圍，直接利用不等式的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】由題知，因?yàn)槭卿J角，所以，對于A：所以，故A選項(xiàng)正確；對于BC：，故B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D：，故D選項(xiàng)正確；故選：ABD.42．（2324下·呼和浩特·階段練習(xí)）若是第四象限，則是第．【答案】三象限角【分析】根據(jù)對稱性可知是第一象限角，然后再根據(jù)任意角的定義,即可得到所在象限.【詳解】因?yàn)槭堑谒南笙薜慕牵允堑谝幌笙藿牵瑒t由任意角的定義知，是第三象限角．故答案為：三象限角．43．（2324上·全國·課時(shí)練習(xí)）若α的終邊在第一、第三象限的角平分線上，則2α的終邊在．【答案】y軸的非負(fù)半軸上【分析】根據(jù)α的終邊在第一、第三象限的角平分線上，利用終邊相同的角求解.【詳解】因?yàn)棣恋慕K邊在第一、第三象限的角平分線上，所以α＝45°＋k·180°，k∈Z，所以2α＝2×45°＋2k·180°，k∈Z，＝90°＋k·360°，k∈Z.所以2α的終邊在y軸的非負(fù)半軸上故答案為：y軸的非負(fù)半軸上44．【多選】（2324上·長春·期末）若角是第二象限角，則下列各角中是第三象限角的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用不等式表示象限角，根據(jù)象限角的定義逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】因?yàn)榻鞘堑诙笙藿牵裕瑢τ贏，，，故是第三象限角，故A正確；對于B，，，故是第一象限角，故B不正確；對于C，，，故是第三象限角，故C正確；對于D，,,故是第三象限角或軸負(fù)半軸上的角或第四象限角，故D不正確.故選：AC45．（2324·全國·課堂例題）若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．【答案】可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角【分析】根據(jù)象限角的表示方法，得到和的表示，進(jìn)而判定其象限，得到答案.【詳解】因?yàn)槭堑诙笙藿牵裕傻茫钥赡苁堑谌笙藿恰⒌谒南笙藿腔蚪K邊在軸非正半軸上的角．又由，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是第一象限角；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是第二象限角；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是第四象限角．綜上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．46．（2324下·河南·期中）若是第一象限角，則終邊在A．第一象限 B．第二象限C．第一象限或第三象限 D．第一象限或第四象限【答案】C【解析】利用是第一象限角，得出角的范圍，從而可得的范圍.【詳解】因?yàn)槭堑谝幌笙藿牵裕裕?當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，終邊在第一象限；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，終邊在第三象限；故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查角的終邊所在象限，一般是利用角的范圍求解.題目較為簡單.47．（2324上·普陀·期末）角的終邊屬于第一象限，那么的終邊不可能屬于的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由題意知，，，即可得的范圍，討論、、對應(yīng)的終邊位置即可.【詳解】∵角的終邊在第一象限，∴，，則，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的終邊落在第一象限，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的終邊落在第二象限，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的終邊落在第三象限，綜上，角的終邊不可能落在第四象限，故選：D.（五）角度與弧度的互化1．將角度化為弧度rad；rad；rad．2．將弧度化為角度；；．3．需記住的特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)值度弧度0【說明】（1）以弧度為單位表示角時(shí)，“弧度”兩字可以省略不寫．如是指sin（2弧度）；是指弧度．以度為單位表示角時(shí)，度就不能省去．（2）以弧度為單位表示角時(shí)，常常把弧度數(shù)寫成多少的形式，如無特殊要求，不必把化成小數(shù)，如弧度，不必寫成弧度．（3）弧度制和角度制一樣，都是一種度量角的單位制．弧度制與角度制相比有一定的優(yōu)點(diǎn)，其一體現(xiàn)在進(jìn)位上，角度制在度、分、秒上是六十進(jìn)制，不便于計(jì)算，而弧度制是十進(jìn)制，給運(yùn)算帶來了方便；其二體現(xiàn)在弧長公式與扇形面積公式的表達(dá)上，弧度制下的公式比角度制下的公式簡單，運(yùn)用起來更方便．（4）用角度制和弧度制來度量零角，雖然單位不同，但數(shù)量相同，對于其他非零角，由于單位不同，數(shù)量也就不同了．（5）在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，抓住關(guān)系式rad是關(guān)鍵，由它可以得到：角度弧度，弧度角度．題型5：角度與弧度的互化51．（2324下·全國·專題練習(xí)）將–1485°化為2kπ+α（0≤α<2π，k∈Z）的形式是．【答案】–10π+【詳解】–1485°=–1485×=–=–10π+．故答案為–10π+．52．（23·24·全國·專題練習(xí)）把下列角度與弧度進(jìn)行互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)(6)(7)(8)(9)(10)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）由弧度制和角度值的轉(zhuǎn)化公式解即可得出答案.【詳解】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）（10）.5．（2324·湖南·課時(shí)練習(xí)）將下表中的角度和弧度互化：角度0°30°45°120°135°150°360°弧度【答案】答案見解析【分析】由，得，，可對角度和弧度互化.【詳解】，故：角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度054．【多選】（2324上·商洛·階段練習(xí)）下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是（

）A．化成弧度是 B．化成角度是C．化成弧度是 D．化成角度是【答案】ABD【分析】根據(jù)角度制與弧度制之間的互化即可逐一求解.【詳解】對于A,化成弧度是,故A正確，對于B，，故B正確，對于C，，故C錯(cuò)誤，對于D，，故D正確，故選：ABD（六）利用弧度制表示角1、弧度制下與角α終邊相同的角的表示在弧度制下，與角α的終邊相同的角可以表示為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即與角α終邊相同的角可以表示成α加上2π的整數(shù)倍．2、根據(jù)已知圖形寫出區(qū)域角的集合的步驟(1)仔細(xì)觀察圖形；(2)寫出區(qū)域邊界作為終邊時(shí)角的表示；(3)用不等式表示區(qū)域角．用不等式表示區(qū)域角的范圍時(shí)，要注意角的集合形式是否能夠合并，能合并的要合并．題型6：利用弧度制表示角61．（2324下·浦東新·期中）用弧度制表示所有與終邊相同的角的集合是.【答案】【解析】根據(jù)角度和弧度關(guān)系，以及終邊相同角的關(guān)系，即可求解.【詳解】與終邊相同的角的集合是。故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查角單位互化、終邊相同角的集合表示，屬于基礎(chǔ)題.62．（2324下·長寧·期末）終邊落在軸上的角的集合是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用象限角、周線角的定義依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A表示的角的終邊在x軸非負(fù)半軸上；B表示的角的終邊x軸上；C表示的角的終邊在y軸上；D表示的角的終邊在y軸非負(fù)半軸上.故選：C63．（2324下·上海·課時(shí)練習(xí)）用弧度制寫出終邊在陰影部分的角的集合：（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）先寫出邊界對應(yīng)射線所在終邊的角，再根據(jù)圖象寫范圍，注意虛實(shí)線；（2）先寫出邊界對應(yīng)射線所在終邊的角，再根據(jù)圖象寫范圍，最后求并集得結(jié)果.【詳解】（1）邊界對應(yīng)射線所在終邊的角分別為所以終邊在陰影部分的角的集合為（2）邊界對應(yīng)射線所在終邊的角分別為所以終邊在陰影部分的角的集合為=【點(diǎn)睛】本題考查終邊相同的角，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.64．（23·24·全國·專題練習(xí)）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】對分奇偶，結(jié)合終邊相同的角的定義討論判斷即可【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣，故選：C．（七）弧長公式1、弧長公式在半徑為的圓中，弧長為的弧所對的圓心角大小為，則，變形可得，此公式稱為弧長公式，其中的是弧度角．2、弧度制下有關(guān)扇形弧長問題的解題策略①明確弧度制下扇形弧長公式l＝|α|r，(其中l(wèi)是扇形的弧長，α是扇形的圓心角)．②涉及扇形的周長、弧長、圓心角等的計(jì)算，關(guān)鍵是先分析題目已知哪些量求哪些量，然后靈活運(yùn)用弧長公式、扇形面積公式求解．題型7：弧長公式及應(yīng)用71．（23·24上·南寧·開學(xué)考試）若扇形的圓心角為，半徑.則它的弧長為.【答案】【分析】利用扇形的弧長公式求解.【詳解】因?yàn)椋稚刃蔚膱A心角為，半徑為，所以它的弧長為，故答案為：72．（2324下·沈陽·期中）一個(gè)半徑是的扇形，其周長為，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【分析】設(shè)扇形的弧長為，根據(jù)半徑是，周長為的扇形，求出，再由公式計(jì)算出弧度數(shù).【詳解】設(shè)扇形的弧長為，則，得，則扇形圓心角的弧度數(shù)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的弧長相關(guān)的計(jì)算，弧度的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.73．（2324下·咸陽·階段練習(xí)）在直徑為的圓中，圓心角所對的弧長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將角度轉(zhuǎn)化為弧度，再由弧長公式即可求解【詳解】因?yàn)閳A的直徑為，所以圓的半徑因?yàn)椋詧A心角所對的弧長為,故選：B.74．（2324下·眉山·期中）已知扇形的半徑為1，圓心角為，則這個(gè)扇形的弧長為（

）A． B． C． D．60【答案】B【分析】根據(jù)扇形的弧長公式計(jì)算即可.【詳解】易知，由扇形弧長公式可得.故選：B（八）扇形的面積公式的應(yīng)用1、扇形面積公式因?yàn)閳A心角為1rad的扇形面積為，而弧長為l的扇形的圓心角大小為rad，所以其面積為，將代入上式可得，此公式稱為扇形面積公式．2、扇形的面積公式的應(yīng)用注意點(diǎn)①在弧度制中的弧長公式及扇形面積公式中的圓心角可正可負(fù)．②看清角的度量制，選用相應(yīng)的公式．③扇形的周長等于弧長加兩個(gè)半徑長．題型8：扇形的面積公式的應(yīng)用81．（2324下·綏化·階段練習(xí)）中國扇文化有著深厚的文化底蘊(yùn)，文人雅士喜歡在扇面上寫字作畫．如圖是書畫家唐寅（1470—1523）的《枯木寒鴉圖》扇面，其尺寸如圖所示，則該扇面的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造扇形，根據(jù)已知條件求出半徑，由扇形面積不出扇面面積.【詳解】如圖，設(shè)，，

由弧長公式可得：，解得：，扇形的面積，扇形的面積所以扇面的面積．故選：D．82．（2324下·沈陽·期中）中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)．一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，如圖，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時(shí)，扇面為“美觀扇面”，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）

A．B．若，扇形的半徑，則C．若扇面為“美觀扇面”，則D．若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑，則此時(shí)的扇形面積為【答案】D【分析】求得判斷選項(xiàng)A；求得滿足條件的的值判斷選項(xiàng)B；求得滿足條件的的值判斷選項(xiàng)C；求得滿足條件的扇形面積的值判斷選項(xiàng)D.【詳解】扇形的面積為，其圓心角為，半徑為R，圓面中剩余部分的面積為，選項(xiàng)A：.故A正確；選項(xiàng)B：由，可得，解得，又扇形的半徑，則.故B正確；選項(xiàng)C：若扇面為“美觀扇面”，則，解得.故C正確；選項(xiàng)D：若扇面為“美觀扇面”，則，又扇形的半徑，則此時(shí)的扇形面積為.故D錯(cuò)誤.故選：D83．（2324下·宜昌·期中）某地政府部門欲做一個(gè)“踐行核心價(jià)值觀”的宣傳牌，該宣傳牌形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形挖去扇形后構(gòu)成的)．已知米，米，線段、線段與弧、弧的長度之和為米，圓心角為弧度．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)記該宣傳牌的面積為，試問取何值時(shí)，的值最大?并求出最大值．【答案】(1)；(2)當(dāng)時(shí)，y的值最大，最大值為．【分析】(1)根據(jù)弧長公式和周長列方程得出關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)根據(jù)面積公式求出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得的最大值．【詳解】（1）根據(jù)題意，弧的長度為米，弧的長度米，，．（2）依據(jù)題意，可知，化簡得：，，當(dāng)，．∴當(dāng)時(shí)，y的值最大，且最大值為．84．（2324上·長治·期末）已知扇形的周長為30．(1)若該扇形的半徑為10，求該扇形的圓心角，弧長及面積;(2)求該扇形面積的最大值及此時(shí)扇形的半徑.【答案】(1)，，；(2)，.【分析】（1）利用弧長公式，扇形面積公式即得；（2）由題可得，然后利用基本不等式即求.【詳解】（1）由題知扇形的半徑，扇形的周長為30，∴，∴，，.（2）設(shè)扇形的圓心角，弧長，半徑為，則，∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，所以該扇形面積的最大值為，此時(shí)扇形的半徑為.85．（2324下·贛州·階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長為．(1)已知扇形的周長為，面積是，求扇形的圓心角；(2)若扇形周長為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？并求此扇形的最大面積．【答案】(1)(2)取得最大值25，此時(shí)【分析】（1）根據(jù)弧長公式及扇形的面積公式，再結(jié)合扇形的周長公式即可求解；（2）根據(jù)扇形的周長公式及扇形的面積公式，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由題意得，解得(舍去)，．所以扇形圓心角．（2）由已知得，．所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值25，,解得.當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大為25.一、單選題1．（2324上·沙坪壩·階段練習(xí)）與角終邊相同的角是（

）A．221° B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)終邊相同的角相差的整數(shù)倍，逐個(gè)判斷即可.【詳解】余，故A正確，B、C、D中的角均不與角終邊相同.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了終邊相同角的概念，考查了簡單的計(jì)算，屬于概念題，本題屬于基礎(chǔ)題.2．（2324·全國·課時(shí)練習(xí)）終邊在直線上的角的取值集合是A． B．C． D．【答案】D【分析】在到內(nèi)終邊在直線上的角是，由終邊相同的角的表示方法可得出終邊在直線上的角的集合，可得解.【詳解】角的取值集合為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查終邊相同的角的表示方法，屬于基礎(chǔ)題.3．（2324·全國·專題練習(xí)）若＝2kπ＋(k∈Z)，則的終邊在()A．第一象限 B．第四象限C．x軸上 D．y軸上【答案】D【分析】由題意，求得，得出，分類討論，即可求得的終邊，得到答案．【詳解】由題意，可得，∴，∴，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的終邊在軸的非正半軸上，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的終邊在軸的非負(fù)半軸上，綜上可知，終邊在軸上，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的終邊的判定，其中解答中正確求解，分類討論判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（2324上·涼山·期末）的終邊在第三象限，則的終邊可能在（

）A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、二象限或軸非負(fù)半軸 D．第三、四象限或軸非正半軸【答案】C【解析】根據(jù)題意得出，求出的范圍，據(jù)此可判斷出角的終邊的位置.【詳解】由于的終邊在第三象限，則，所以，，因此，的終邊可能在第一、二象限或軸非負(fù)半軸.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查角的終邊位置的判斷，一般利用不等式來判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.5．（2324·全國·課時(shí)練習(xí)）若與的終邊互為反向延長線，則有（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)兩角終邊之間的關(guān)系可得出結(jié)論.【詳解】與的終邊互為反向延長線，則兩角的終邊相差的奇數(shù)倍，可得．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角終邊的關(guān)系推出兩角的關(guān)系，考查理解能力，表達(dá)能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（2324下·銀川·階段練習(xí)）將分針撥快30分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用負(fù)角的定義及角度與弧度的互化，直接計(jì)算.【詳解】將分針撥快30分鐘，則分針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，所以分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是.故選：A7．（2324下·蘇州·期末）已知扇形的半徑為，面積為，則這個(gè)扇形圓心角的弧度數(shù)為（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】利用扇形面積，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于圓心角的弧度數(shù)的方程，即可解得.【詳解】解：設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為，因?yàn)樯刃嗡趫A的半徑為，且該扇形的面積為，則扇形的面積為，解得：.故選：D.【點(diǎn)睛】本題在已知扇形面積和半徑的情況下，求扇形圓心角的弧度數(shù)，著重考查了弧度制的定義和扇形面積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.8．（23·24·全國·課時(shí)練習(xí)）下列敘述中，正確的是（

）A．1弧度是1度的圓心角所對的弧B．1弧度是長度為半徑的弧C．1弧度是1度的弧與1度的角的和D．1弧度是長度等于半徑的弧所對的圓心角，它是角的一種度量單位【答案】D【解析】根據(jù)弧度的定義即可判斷.【詳解】根據(jù)弧度的定義，在單位圓中，長度為1的弧所對的圓心角稱為1弧度角.故選：D．9．（2324·全國·專題練習(xí)）下列命題中正確的是()A．若兩扇形面積的比是1∶4，則它們弧長的比是1∶2B．若扇形的弧長一定，則面積存在最大值C．若扇形的面積一定，則弧長存在最小值D．任意角的集合可與實(shí)數(shù)集R之間建立一一對應(yīng)關(guān)系【答案】D【分析】由扇形面積公式S=lr（l是扇形的弧長，r是扇形半徑）可知面積由弧長和半徑乘積確定，從而判斷A、B、C，再根據(jù)角的概念的推廣判斷D.【詳解】由扇形面積公式S=l·r，得到面積由弧長和半徑乘積確定，而不是只由弧長確定，故A，B，C錯(cuò)誤，把角的概念推廣到任意角之后任意角的集合可與實(shí)數(shù)集R之間建立一一對應(yīng)關(guān)系，所以D正確.【點(diǎn)睛】此題考查了扇形的面積公式以及角的概念的推廣，屬于基礎(chǔ)題．10．（2324下·上海·課時(shí)練習(xí)）下列命題中，正確的是（

）A．1弧度的角就是長為半徑的弦所對的圓心角B．5弧度的角是第三象限的角C．若是第一象限角，則是第四象限的角D．若是第一象限角，則也是第一象限的角【答案】D【分析】根據(jù)弧度制的定義和象限角即可判斷每個(gè)選項(xiàng)的對錯(cuò)，從而得出答案.【詳解】對于選項(xiàng)A，由弧度制的定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，第三象限角的取值范圍為，，因?yàn)?不在此區(qū)間中，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，因?yàn)槭堑谝幌笙藿牵裕裕?dāng)時(shí)，，為第二象限角，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，因?yàn)槭堑谝幌笙藿牵裕裕堑谝幌笙薜慕牵蔇正確.故選：D.11．（2324下·鄂爾多斯·階段練習(xí)）我國采用的“密位制”是6000密位制，即將一個(gè)圓周分為6000等份，每一等份是一個(gè)密位，那么60密位等于（

）弧度．A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出一個(gè)密位所對的弧長，再求出60密位所對的弧長為，從而可求出60密位的弧度數(shù)【詳解】解：因?yàn)閷⒁粋€(gè)圓周分成6000等份，每一份是一個(gè)密位，所以一個(gè)密位所對的弧長，所以60密位所對的弧長為，所以60密位的弧度數(shù)為，故選：B12．（2324下·新鄉(xiāng)·期末）如圖，一把折扇完全打開后，扇面的兩條弧，的弧長分別是和，且AD=10，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)扇形的弧長公式和扇形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，圓心角是.則，解得，所以陰影部的面積為，故選：A13．（2324上·期末）若圓弧長度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為（

）A． B．C．3 D．【答案】D【分析】如圖先求∠AOM＝，再求AB＝r，最后求圓心角的弧度數(shù)【詳解】如圖，等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內(nèi)接三角形，則線段AB所對的圓心角∠AOB＝，作OM⊥AB，垂足為M，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝，∴AM＝r，AB＝r，∴l(xiāng)＝r，則圓心角的弧度數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查由弧長與半徑求弧度數(shù)，是基礎(chǔ)題.14．（23·24上·全國·課時(shí)練習(xí)）與405°角終邊相同的角是（

）A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z【答案】C【分析】首先在[0°,360°]內(nèi)找到與405°角終邊相同的角，即可得答案.【詳解】解：∵405°＝360°＋45°，∴與405°終邊相同的角是k·360°＋45°，k∈Z.故選：C15．（23·24上·全國·課時(shí)練習(xí)）與角終邊相同的角可表示為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)角與角的終邊相同可確定正確的表示方法.【詳解】，角與角的終邊相同，與角終邊相同的角可表示為.故選：B.16．（2324下·朔州·期末）集合中的角所表示的范圍（陰影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】分奇偶討論，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,所以選項(xiàng)C滿足題意.故選：C.17．（2324下·金山·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．角60和角600是終邊相同的角B．第三象限角的集合為C．終邊在軸上角的集合為D．第二象限角大于第一象限角【答案】C【分析】根據(jù)終終邊相同角的表示，可以判斷A錯(cuò)誤，C正確；根據(jù)象限角的表示可以判斷B錯(cuò)誤；舉特例可以判斷D錯(cuò)誤.【詳解】，與終邊不相，故A錯(cuò)誤；第三象限角的集合為，故B錯(cuò)誤；終邊在軸上角的集合為，即，即，故C正確；是第二象限角，第一象限角，，故D錯(cuò)誤；故選：C.18．（23·24上·浙江·開學(xué)考試）一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個(gè)圓（半徑為1cm）的圓周上爬動(dòng)，且兩只螞蟻均從點(diǎn)同時(shí)逆時(shí)針勻速爬動(dòng)，紅螞蟻以的速度爬行，黑螞蟻以的速度爬行，則2秒鐘后，兩只螞蟻之間的直線距離為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】作圖利用單位圓解幾何圖形即可.【詳解】

如圖所示，紅螞蟻以的速度爬行，黑螞蟻以的速度爬行，則2秒鐘后，紅螞蟻繞圓的角度為，到達(dá)B處，黑螞蟻繞圓的角度為，到達(dá)C處，此時(shí)，即為正三角形，故.故選：A19．（23·24上·江西·開學(xué)考試）《夢溪筆談》是我國科技史上的杰作，其中收錄了扇形弧長的近似計(jì)算公式：.如圖，公式中“弦”是指扇形中所對弦的長，“矢”是指所在圓的半徑與圓心到弦的距離之差，“徑”是指扇形所在圓，扇形的半徑為4，利用上面公式，求得該扇形的弧長的近似值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得扇形的圓心角，然后求得，再利用扇形弧長的近似計(jì)算公式求得正確答案.【詳解】設(shè)該扇形的圓心角為，由扇形面積公式得，所以，取的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則，則，，，所以扇形的弧長的近似值為.故選：D20．（2324下·濰坊·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中處處存在著美，萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法如下：先畫等邊三角形，再分別以點(diǎn)為圓心，線段長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形（如圖所示）.若萊洛三角形的周長為，則其面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖形分析，利用扇形面積和三角形的面積公式，即可求解.【詳解】萊洛三角形的周長為，可得弧長，則等邊三角形的邊長，分別以點(diǎn)A、B、C為圓心，圓弧所對的扇形面積均為，等邊的面積，所以萊洛三角形的面積是.故選：C.21．（2324上·通州·期末）設(shè)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合中角的特征分析集合間的關(guān)系即可得解.【詳解】因?yàn)楸硎窘K邊落在軸上角的集合，表示終邊落在軸正半軸上角的集合，表示終邊落在軸負(fù)半軸上角的集合，所以，，正確；，故錯(cuò)誤.故選：D22．（2324下·張家口·期中）如圖，已知扇形的周長為，當(dāng)該扇形的面積取最大值時(shí)，弦長（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，可得出，利用基本不等式可求得扇形面積的最大值及其對應(yīng)的的值，進(jìn)而可求出、，然后線段的中點(diǎn)，可得出，進(jìn)而可求得線段的長.【詳解】設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，則，，由可得，所以，扇形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，扇形的面積最大，此時(shí)．因?yàn)椋瑒t扇形的圓心角，取線段的中點(diǎn)，由垂徑定理可知，因?yàn)椋瑒t，所以，.故選：A.二、多選題23．（2324·全國·課時(shí)練習(xí)）（多選）下列說法正確的是（）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．的角是周角的，的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角時(shí)，角的大小與圓的半徑有關(guān)【答案】ABC【分析】根據(jù)角度制和弧度制的概念，以及角度制和弧度制的互化，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，對于A中，“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位,所以是正確的；對于B中，周角為，所以的角是周角的，周角為弧度，所以的角是周角的是正確的；對于C中，根據(jù)弧度制與角度制的互化，可得，所以是正確；對于D中，用弧度制度量角時(shí)，角的大小與圓的半徑無關(guān)的，所以D項(xiàng)是錯(cuò)誤的.故選ABC.【點(diǎn)睛】本題主要考查了角度制與弧度制的概念，以及角度制與弧度制的互化，其中解中熟記角度制和弧度制的概念是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.24．（2324·浙江·期末）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若角，則角為第二象限角B．如果以零時(shí)為起始位置，那么鐘表的分針在旋轉(zhuǎn)時(shí)所形成的角為負(fù)角C．若角為第一象限角，則角也是第一象限角D．若一扇形的圓心角為30°，半徑為，則扇形面積為【答案】CD【解析】利用負(fù)角的定義、象限角的定義和扇形面積公式對選項(xiàng)逐一判斷正誤即可.【詳解】選項(xiàng)A中，，故角為第二象限角，正確；選項(xiàng)B中，以零時(shí)為起始位置，則鐘表的分針是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，故所形成的角為負(fù)角，正確；選項(xiàng)C中，角為第一象限角，例如，則不是第一象限角，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中，扇形的圓心角為30°，即，半徑為，故扇形面積為，故錯(cuò)誤.故選：CD.25．（2324上·全國·課時(shí)練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．終邊與始邊重合的角是零角B．終邊與始邊都相同的兩個(gè)角一定相等C．小于90°的角是銳角D．若，則是第三象限角【答案】ABC【分析】根據(jù)象限角的相關(guān)定義即可結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.【詳解】對于A.終邊與始邊重合的角的集合為,故A錯(cuò)誤，對于B，終邊與始邊都相同的兩個(gè)角不一定相等，比如的終邊和始邊相同，但兩個(gè)角不相等，故B錯(cuò)誤，對于C，銳角為的角，所以小于90°的角不一定是銳角，故C錯(cuò)誤，對于D，，則是第三象限角，故D正確，故選：ABC26．（23·24上·全國·課時(shí)練習(xí)）下列說法，不正確的是（

）A．三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角B．始邊相同而終邊不同的角一定不相等C．鈍角比第三象限角小D．小于180°的角是鈍角、直角或銳角【答案】ACD【分析】利用任意角，和象限角概念分析不同的選項(xiàng)，即可得出答案.【詳解】由題意，A中，90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A錯(cuò)誤；B中，始邊相同而終邊不同的角一定不相等，故B正確；C中，鈍角大于的角，而的角是第三象限角，故C錯(cuò)誤；D中，零角或負(fù)角小于，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故D錯(cuò)誤．故選：ACD.27．（2324下·新余·開學(xué)考試）若是第二象限角，則（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的終邊在y軸負(fù)半軸上【答案】BD【分析】由已知可得，然后逐個(gè)分析判斷即可【詳解】因?yàn)槭堑诙笙藿牵钥傻茫畬τ贏，，則是第三象限角，所以A錯(cuò)誤;對于B，可得，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角．所以B正確;對于C，，即，所以是第一象限角，所以C錯(cuò)誤;對于D，，所以的終邊位于第三象限或第四象限或y軸負(fù)半軸上，所以D正確．故選：BD．28．（2324下·海東·階段練習(xí)）已知某扇形的周長為44，圓心角為2，則（

）A．該扇形的半徑為11 B．該扇形的半徑為22C．該扇形的面積為100 D．該扇形的面積為121【答案】AD【分析】設(shè)該扇形的半徑為r，弧長為l，利用扇形的周長列出方程進(jìn)而求解即可.【詳解】設(shè)該扇形的半徑為r，弧長為l，則，即，解得．故該扇形的面積．故選：AD.29．（2324下·長壽·期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．是第二象限角B．第三象限角的集合為C．終邊在軸上的角的集合為D．若角為銳角，則角為鈍角【答案】AC【分析】根據(jù)終邊相同角的表示，可以判斷A錯(cuò)誤，C正確；根據(jù)象限角的表示可以判斷B錯(cuò)誤；舉特例可以判斷D錯(cuò)誤.【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)椋覟榈诙笙藿牵允堑诙笙藿牵蔄正確；對于選項(xiàng)B：第三象限角的集合為，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：終邊在軸上的角的集合為，故C正確；對于選項(xiàng)D：若角為銳角，即，則，所以角不一定為鈍角，例如，則為直角，故D錯(cuò)誤；故選：AC.30．（23·24·全國·專題練習(xí)）（多選）下列說法正確的有（）A．B．若角是銳角，則是第一或第二象限角C．若角是第二象限角，則是第一或第三象限角D．角是第三或第四象限角的充要條件是【答案】AC【分析】根據(jù)三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)逐一判斷即可.【詳解】對于A，因?yàn)椋裕蔄正確；對于B，若角是銳角，所以，所以，則是第一或第二象限角，或在軸正半軸上，故B錯(cuò)誤；對于C，若角是第二象限角，則，所以，則是第一或第三象限角，故C正確；對于D，角是第三或第四象限角，則，若，則角是第三或第四象限角或在軸負(fù)半軸上，所以不是角是第三或第四象限角的充要條件，故D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題31．（2324下·上海·單元測試）將化為的形式，則當(dāng)最小時(shí)，的值是．【答案】【分析】根據(jù)角的表示方法，求得，即可求解.【詳解】由角的表示方法，可得，此時(shí)，所以.故答案為：32．（2324下·青浦·階段練習(xí)）角的終邊與的終邊關(guān)于對稱,則【答案】【分析】根據(jù)角的終邊與的終邊關(guān)于對稱,和終邊相同的角的表示方法可得答案.【詳解】是第一象限的角平分線，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查終邊相同的角的表示方法以及終邊有一定的關(guān)系的兩個(gè)角的表示方法，屬于基礎(chǔ)題.33．（2324下·浦東新·期中）終邊在軸正半軸上所有角的集合為．（用弧度制表示）【答案】【分析】根據(jù)終邊相同的角的特征即可得到答案.【詳解】終邊在x軸正半軸上所有角的集合為.故答案為：34．（2324下·上海·課時(shí)練習(xí)）設(shè)與終邊相同的角的集合為M，則①；②M中最小正角是；③M中最大負(fù)角是，其中正確的有.（選填序號）【答案】①②③【分析】先將角化為的結(jié)構(gòu)即可判斷①是否正確，再適當(dāng)?shù)厝的值可以判斷②和③是否正確.【詳解】因?yàn)椋寓僬_，令k=0，可得②正確；令k=1，可得③正確.故答案為：①②③.35．（2324下·上饒·階段練習(xí)）如圖所示，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合為．【答案】．【分析】寫出陰影部分邊界處終邊相同的角，再表示出陰影部分角的集合.【詳解】由圖，陰影部分下側(cè)終邊相同的角為，上側(cè)終邊相同的角為且，所以陰影部分（包括邊界）的角的集合為.故答案為：36．（2324下·上饒·期末）已知是邊長為2的等邊三角形.如圖，將的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，在軸上，然后將三角形沿著軸正方向滾動(dòng)，每當(dāng)頂點(diǎn)再次回落到軸上時(shí)，將相鄰兩個(gè)點(diǎn)之間的距離稱為“一個(gè)周期”，則完成“一個(gè)周期”時(shí)，頂點(diǎn)的路徑長度為.【答案】/【分析】根據(jù)題意，畫出軌跡圖，利用弧長公式計(jì)算即可得解.【詳解】如圖，頂點(diǎn)先以2為半徑繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)弧度，再以2為半徑繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)弧度，其路徑長度為.故答案為：四、解答題37．（2324下·榆林·階段練習(xí)）寫出角的終邊在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合．（包括邊界）【答案】（1）

（2）【分析】由題意直接利用終邊相同的角的集合的表示方法表示即可．【詳解】解：（1）圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合為（2）圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合為38．（2324·全國·課時(shí)練習(xí)）寫出終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合．（1）（2）【答案】（1）；（2）．【分析】（1）在范圍內(nèi)找出終邊為區(qū)域兩條邊界線對應(yīng)的角，由此可得出陰影部分區(qū)域所對應(yīng)的角的集合；（2）寫出兩個(gè)區(qū)域角的集合，取并集即可得出結(jié)果.【詳解】（1）在范圍內(nèi)，圖中終邊在第二象限的區(qū)域邊界線所對應(yīng)的角為，終邊在第四象限的區(qū)域邊界線所對應(yīng)的角為，因此，陰影部分區(qū)域所表示的集合為；（2）圖中從第四象限到第一象限陰影部分區(qū)域表示的角的集合為為，圖中從第二象限到第三象限陰影部分區(qū)域所表示的角的集合為，因此，陰影部分區(qū)域所表示角的集合為.【點(diǎn)睛】本題考查角的集合的表示，一般要求出區(qū)域邊界線對應(yīng)的角，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.39．（2324·全國·課時(shí)練習(xí)）如圖，用弧度表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界).（1）；（2）【答案】（1）；（2）或.【分析】由圖①可知，以O(shè)A為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為+2kπ(k∈Z)，由此可求出陰影部分內(nèi)的角的集合；由圖②可知，以O(shè)A為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為+2kπ(k∈Z).不妨設(shè)右邊陰影部分所表示的集合為M1，左邊陰影部分所表示的集合為M2，由陰影部分內(nèi)的角的集合為.【詳解】如題圖①，以O(shè)A為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為+2kπ(k∈Z)，所以陰影部分內(nèi)的角的集合為；如題圖②，以O(shè)A為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為+2kπ(k∈Z).不妨設(shè)右邊陰影部分所表示的集合為M1，左邊陰影部分所表示的集合為M2，則M1=，M2=.所以陰影部分內(nèi)的角的集合為或.40．（2324·全國·課時(shí)練習(xí)）已知角α＝2100°.（1）將改寫成的形式，并指出是第幾象限的角；（2）在區(qū)間上找出與終邊相同的角．【答案】（1），為第四象限角；（2）與終邊相同的角．【分析】（1）求出2100°里含有360°的整數(shù)倍，然后改寫即可；（2）由終邊相同角的表示方法求解．【詳解】（1），是第四象限角，因此是第四象限角；（2）與終邊相同的角可表示為，在區(qū)間上，則，依次可求得＝．41．（2324·全國·專題練習(xí)）已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范圍內(nèi)找出所有與角α終邊相同的角β；(2)設(shè)集合，判斷兩集合的關(guān)系．【答案】（1）β＝－675°或β＝－315°.(2).【分析】（1）所有與角有相同終邊的角可表示為列出不等式解出整數(shù)，即得所求的角．（2）先化簡兩個(gè)集合，分整數(shù)k是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論，從而確定兩個(gè)集合的關(guān)系．【詳解】(1)所有與角α有相同終邊的角可表示為：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，則令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－，從而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因?yàn)镸＝{x|x＝(2