5.4三角函數的圖象與性質（精講）三角函數的圖像及性質函數y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且))x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函數偶函數奇函數遞增區間eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)))遞減區間eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]無對稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ無二．周期函數條件①對于函數f(x)，存在一個非零常數T(T>0)②當x取定義域內的每一個值時，都有f(x＋T)＝f(x)結論函數f(x)叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期條件如果周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數結論這個最小正數叫做f(x)的最小正周期一．用三角函數圖象解三角不等式(1)作出相應正弦函數或余弦函數在[0，2π]上的圖象；(2)寫出適合不等式在區間[0，2π]上的解集；(3)根據公式一寫出不等式的解集.二．求三角函數周期(1)定義法，即利用周期函數的定義求解.(2)公式法，對形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數，A≠0，ω≠0)的函數，T＝eq\f(2π,|ω|).(3)觀察法，即通過觀察函數圖象求其周期.三．判斷函數奇偶性(1)看函數的定義域是否關于原點對稱；(2)看f(－x)與f(x)的關系.對于三角函數奇偶性的判斷，有時可根據誘導公式先將函數式化簡后再判斷.四．單調區間的求法求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函數的單調區間，要先把ω化為正數．(1)當A>0時，把ωx＋φ整體代入y＝sinx或y＝cosx的單調遞增區間內，求得的x的范圍即為函數的單調遞增區間．(2)當A<0時，把ωx＋φ整體代入y＝sinx或y＝cosx的單調遞增區間內，求得的x的范圍即為函數的單調遞減區間；代入y＝sinx或y＝cosx的單調遞減區間內，可求得函數的單調遞增區間．五．比較三角函數值大小(1)異名函數化為同名函數．(2)利用誘導公式把已知角轉化到同一單調區間上．(3)利用函數的單調性比較大小．六．求三角函數值域或最值（1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函數，令t＝ωx＋φ，根據題中x的取值范圍，求出t的取值范圍，再利用三角函數的單調性、有界性求出y＝sint的最值(值域).(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)的三角函數，可先設t＝sinx，將函數y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)化為關于t的二次函數y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根據二次函數的單調性求值域(最值).(3)對于形如y＝asinx(或y＝acosx)的函數的最值還要注意對a的討論.考點一“五點法”作圖的應用【例11】（2022·全國·高一專題練習）作出下列函數在一個周期圖象的簡圖：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】函數圖象見解析【解析】（1）解：因為，取值列表：0000描點連線，可得函數圖象如圖示：（2）解：因為，取值列表：00200描點連線，可得函數圖象如圖示：（3）解：因為，取值列表：01311描點連線，可得函數圖象如圖示：（4）解：因為，取值列表：0202描點連線，可得函數圖象如圖示：【例12】（2023秋·高一課時練習）當時，作出下列函數的圖象，把這些圖象與的圖象進行比較，你能發現圖象變換的什么規律？（1）；（2）；（3）.【答案】答案見解析【解析】（1）該圖象與的圖象關于軸對稱，故將的圖象作關于軸對稱的圖象即可得到的圖象.（2）將的圖象在軸上方部分保持不變，下半部分作關于軸對稱的圖形，即可得到的圖象.（3）將的圖象在軸右邊部分保持不變，并將其作關于軸對稱的圖形，即可得到的圖象.【一隅三反】1．（2023秋·高一課時練習）用“五點法”作出下列函數的簡圖.(1)，；(2)，.（3）在一個周期（）內的圖像．(4),;(5),．（6），【答案】圖象見解析圖象見解析【解析】（1）列表：描點、連線、繪圖，如圖所示.（2）列表：1－1描點連線如圖.（3）列表:001010圖像如圖所示：（4）解:由題知,,列表如下:21232根據表格畫出圖象如下:（5）解:由題知,,列表如下:10101根據表格畫出圖象如下:（6）根據五點法作圖列表得：畫圖像得：考點二正弦、余弦函數的周期【例21】（2023湖南）下列函數中，最小正周期為π的函數是（

）A．y＝sinx B．y＝cosxC．y＝sin D．y＝cos【答案】D【解析】A.y＝sinx的最小正周期為，故錯誤；B.y＝cosx的最小正周期為，故錯誤；C.y＝sin的最小正周期為，故錯誤；D.y＝cos，故正確；故選：D【例22】（2023秋·高一課時練習）下列函數，最小正周期為的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數的最小正周期為，故A不符合；函數，其最小正周期為，故B不符合；因為函數的最小正周期為，所以函數的最小正周期為，故C符合；因為函數的最小正周期為，所以函數的最小正周期為，故D不符合.故選：C.【一隅三反】1．（2023·全國·高一專題練習）函數的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函數，則其最小正周期.故選：B.2．（2023北京）下列函數中，最小正周期為π的函數是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A，函數的最小正周期為，故A不符合題意；對于B，作出函數的圖象，由圖可知，函數的最小正周期為，故B符合題意；對于C，函數的最小正周期為，故C不符合題意；對于D，函數，其圖象如圖，由圖可知，函數不是周期函數，故D不符合題意.故選：B.3．（2023·全國·高一假期作業）（多選）下列函數中，是周期函數的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】對于A，，的最小正周期為；對于B，，的最小正周期為；對于C，，的最小正周期為；對于D，∵，∴函數圖象關于軸對稱，不具有奇偶性，故錯誤.故選：ABC4．（2023春·江西上饒·高一校聯考期中）（多選）下列函數，最小正周期為的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】對于A，為偶函數，圖象關于y軸對稱，其圖象如下，不是周期函數，故A錯誤；對于B，作出函數的圖象如下，觀察可得其最小正周期為，故B正確；對于C，由周期公式可得，可得的最小正周期為，故C正確；對于D，由周期公式可得，可得的最小正周期為，故D錯誤.故選：BC考點三正弦、余弦函數的奇偶性【例31】7．（2023春·四川眉山·高一校考期中）下列函數中是奇函數，且最小正周期是的函數是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A，∵，∴函數是偶函數，故A錯誤；對于B，∵，∴函數是偶函數，故B錯誤；對于C，函數是偶函數，故C錯誤；對于D，函數是奇函數，最小正周期，故D正確．故選：D.【例32】（2021春·陜西榆林·高一校考階段練習）若函數）是奇函數，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數）是奇函數，所以，解得，所以的最小值為，故選：A【例33】（2023秋·高一課時練習）判斷下列函數的奇偶性．(1)；(2)；(3).【答案】(1)偶函數(2)奇函數(3)非奇非偶函數．【解析】（1）的定義域為，，因為，所以為偶函數，（2）的定義域為，，因為，所以為奇函數，（3）由，得，解得，所以函數的定義域為，因為定義域不關于原點對稱，所以該函數是非奇非偶函數．【一隅三反】1．（2023秋·高一課時練習）函數（

）A．是奇函數，但不是偶函數B．是偶函數，但不是奇函數C．既是奇函數，又是偶函數D．既不是奇函數，又不是偶函數【答案】A【解析】由可知是奇函數．故選:A2．（2023春·云南·高一校考階段練習）下列函數中，最小正周期為的偶函數是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】對于A，定義域為，因為，所以函數為偶函數，因為的圖象是由的圖象在軸下方的關于軸對稱后與軸上方的圖象共同組成（如下圖所示），又的最小正周期為，所以的最小正周期為，故A正確；對于B：為最小正周期為的奇函數，故B錯誤；對于C：定義域為，，即為偶函數，又，所以為的周期，故C錯誤；對于D：為最小正周期為的偶函數，故D錯誤；故選：A3．（2023秋·高一課時練習）（多選）已知函數是奇函數，則的值可以是（

）A．0 B．C． D．【答案】BD【解析】由函數為奇函數，可得，解得，當時，，所以B滿足題意；當時，，所以D滿足題意；故選：BD.4．（2023秋·寧夏吳忠·高一青銅峽市高級中學校考期末）（多選）以下函數是偶函數的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】四個選項中函數的定義域均為全體實數，滿足關于原點對稱，對于:,,所以為奇函數,故錯誤對于:,所以為偶函數,故正確;對于:,,所以為偶函數,故正確;對于:,,所以為偶函數,故正確;故選:考點四正弦、余弦函數的對稱性【例41】（2023春·北京·高一北京市第一六一中學校考期中）函數的圖象（

）A．關于直線對稱 B．關于直線對稱C．關于點對稱 D．關于點對稱【答案】B【解析】A.，所以函數不關于直線對稱，故A錯誤；B.，所以函數關于直線對稱，故B正確；C.，所以函數不關于點對稱，故C錯誤；D.，所以函數不關于點對稱，故D錯誤；故選：B【例42】（2023春·上海楊浦·高一上海市控江中學校考期末）已知常數，如果函數的圖像關于點中心對稱，那么的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為函數的圖像關于點中心對稱，所以，，所以，，所以當時，當時，時，所以的最小值為.故選：C【一隅三反】1．（2023云南）函數圖象的一個對稱中心可以是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A，由，得，，則不是函數圖象的一個對稱中心，故A錯誤；對于B，由，得，則不是函數圖象的一個對稱中心，故B錯誤；對于C，由，得，則不是函數圖象的一個對稱中心，故C錯誤；對于D，，得，，則是函數圖象的一個對稱中心，故D正確.故選：D.2．（2023春·四川成都·高一校考期中）下列直線中，可以作為曲線的對稱軸的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，對于A，當時，，則是曲線的對稱軸，A是；對于B，當時，，則不是曲線的對稱軸，B不是；對于C，當時，，則不是曲線的對稱軸，C不是；對于D，當時，，則不是曲線的對稱軸，D不是.故選：A3．（2023春·河南駐馬店·高一統考階段練習）（多選）已知函數，則（

）A．的圖象關于直線對稱 B．的圖象關于點對稱C．的圖象關于點對稱 D．的圖象關于直線對稱【答案】BD【解析】因為，令，則，所以的對稱軸方程為：，令，則D正確，A錯誤；令，則，所以的對稱軸中心為：，令，則的一個對稱中心為，則B正確，C錯誤.故選：BD.考點五正弦、余弦函數的單調性【例51】（2023春·重慶江津·高一校考期中）（多選）函數在（

）A．區間上是增函數 B．區間上是增函數C．區間上是減函數 D．區間上是減函數【答案】BC【解析】.A選項，因在上單調遞增，在上單調遞減，則在上無單調性，故A錯誤；B選項，因在上單調遞減，則在上單調遞增，故B正確；C選項，因在上單調遞增，則在上單調遞減，故C正確；D選項，因在上單調遞增，在上單調遞減，則在上無單調性，故D錯誤.故選：BC【例52】（2022春·上海浦東新·高一校考期末）函數的單調遞增區間是.【答案】【解析】由，解得，所以函數的單調遞增區間是.故答案為：【例53】（2023春·廣西欽州·高一校考期中）（多選）下列函數在區間上單調遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】A選項，時，，單調遞增，故A符合.B選項，時，，單調遞減，故B不符合.C選項，時，，，單調遞減，故C不符合.D選項，時，，，單調遞增，故D符合.故選：AD.【例54】（2023春·安徽馬鞍山·高一安徽省當涂第一中學校考期中）已知函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍為.【答案】【解析】由題意有,可得,又由，在上為減函數，故必有,可得.故實數的取值范圍為.故答案為：【一隅三反】1．（2023春·寧夏吳忠·高一青銅峽市高級中學校考期中）函數的一個單調減區間是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】作出函數的圖象如圖所示，由圖象可知，A、B都不是單調區間，D是單調增區間，C是單調減區間．故選：C2．（2023·全國·高一專題練習）函數的一個單調遞減區間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，解得，即函數的單調遞減區間為，取可得，為函數的單調遞減區間，B正確；取可得，為函數的單調遞減區間，令，解得，即函數的單調遞增區間為，取可得，為函數的單調遞增區間，A錯誤；因為在上單調遞增，C錯誤；取可得，為函數的單調遞增區間，所以在上單調遞增，D錯誤故選：B.3．（2023秋·高一課時練習）函數的單調遞減區間為.【答案】【解析】因為，所以的單調遞增區間就是的單調遞減區間．令，解得.所以函數的單調遞減區間為.故答案為：.4．（2023·全國·高一課堂例題）函數的單調遞增區間為．【答案】，【解析】由題意，得，所以，，解得，．令，，則，．所以的單調遞增區間為，，所以函數的單調遞增區間為，．故答案為：，5．（2023秋·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學校考期末）已知函數其中．若在區間上單調遞增，則ω的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由解得，所以函數的單調遞增區間為，因為在區間上單調遞增，所以，所以.當時，由在區間上單調遞增可知，得；當時，由解得；當時，無實數解.易知，當或時不滿足題意.綜上，ω的取值范圍為.故選：D6．（2023·全國·高一課堂例題）已知函數在區間上不單調，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】的圖象的對稱軸為直線，，因為在區間上不單調，所以對稱軸，在直線與直線之間，即，，化簡得，，因為，所以令，得，又當時，，綜上.故選：B．考點六正弦、余弦函數的單調性的應用【例61】（2023春·福建泉州·高一校聯考期中）下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，因為，，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，故B錯誤；對于C，因為，，又，所以，故C錯誤；對于D，因為，，又，所以，即，故D正確.故選：D.【例62】（2023春·江蘇蘇州·高一統考期末）已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，，所以，所以.故選：C.【一隅三反】1．（2023春·廣西欽州·高一校考期中），，的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由正弦函數的單調性可知：在上單調遞增，又易知，所以.故選：B2．（2023·全國·高一假期作業）下列選項中錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，在上單調遞增，所以，故A正確；因為，所以比1距離正弦函數的對稱軸近，所以，故B正確；因為，而，函數在上單調遞增，所以，故C正確；因為，而，由正弦函數的單調性可知，故D錯誤.故選：D3．（2023春·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學校考期中）設，則大小關系（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，且在上單調遞增，則，即；又因為，且在上單調遞減，則，即，且，所以.故選：B.考點七正弦、余弦函數的最值(值域)問題【例71】（2023春·四川眉山·高一校考期中）已知函數，則的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以，所以，所以的值域是.故選：C.【例72】（2023·全國·高一專題練習）函數的最小值是．【答案】【解析】函數，，當時，函數取得最小值.故答案為：【例73】（2023春·河南周口·高一周口恒大中學校考階段練習）函數的值域為．【答案】【解析】令，，則，即，所以，又因為，所以，即函數的值域為．故答案為：.【例74】（2023春·四川眉山·高一校聯考期中）已知函數的值域為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，可得，因為函數的值域為，所以，解得.故選：C.【一隅三反】1（2022秋·江蘇常州·高一常州高級中學校考期末）函數的值域是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以，因為函數在上遞增，上遞減，又，，，所以即.故選：A．2．（2023秋·陜西安康·高一校聯考期末）函數的最小值是．【答案】【解析】由，又，則，所以，所以函數的最小值是．故答案為：．3．（2023春·江西宜春·高一江西省豐城中學校考階段練習）已知函數，若在上的值域是，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，令則,如圖所示，∵的值域是，，∴，即：∴由圖可知，解得，所以實數的取值范圍為.故選：B.4．（2