1.4空間向量的應(yīng)用1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系第3課時(shí)空間中直線、平面的垂直A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.若直線l的方向向量為a=(1,0,2),平面α的法向量為u=(-2,0,-4),則()A.l∥αB.l⊥αC.l?α D.l與α相交但不垂直解析:因?yàn)閡=-2a,所以a∥u,所以l⊥α.答案:B2.兩平面α,β的一個(gè)法向量分別為u=(3,-1,z),v=(-2,-y,1),若α⊥β,則y+z的值是()A.-3 B.6C.-6 D.-12解析:因?yàn)棣痢挺?所以u(píng)·v=0,所以-6+y+z=0,即y+z=6.答案:B3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E為A1C1的中點(diǎn),則直線CE垂直于()A.AC B.BDC.A1D D.A1A解析:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),E12所以CE=12,-12,1,AC=(-1,1,0),BD=(-1,-1,0),A1D=(-1,0,因?yàn)镃E·BD=(-1)×12+(-1)×-12+0×1=0,所以因?yàn)镃E·AC≠0,CE·A1D≠0,CE·A1A≠0,所以CE與AC,A1D,A答案:B4.在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(0,1,0),(-1,0,1),(2,1,1),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,0,z),若PA⊥AB,PA⊥AC,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為13解析:由題意可知,AB=(-1,-1,1),AC=(2,0,1),PA=(-x,1,-z).由PA⊥AB,PA⊥AC,知PA·AB=0,PA·AC=0,即x-1-z=0,5.如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn).求證:AM⊥平面BDF.證明:如圖,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),F(2,2,1),M22所以AM=-22,-22,1,DF=(0,2,1),BD=設(shè)n=(x,y,z)是平面BDF的法向量,則n⊥BD,n⊥DF,所以2x-取y=1,則x=1,z=-2.所以n=(1,1,-2)是平面BDF的一個(gè)法向量.因?yàn)锳M=-2所以n=-2AM,所以n∥AM所以AM⊥平面BDF.6.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中點(diǎn),試在棱CC1上求一點(diǎn)P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE.解:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),E12,1,0所以A1B1=(0,1,0),DE=12,設(shè)P(0,1,a),則A1P=(-1,1,a-設(shè)平面A1B1P的法向量為n1=(x1,y1,z1),則n1·所以x取z1=1,則x1=a-1,y1=0.所以n1=(a-1,0,1)是平面A1B1P的一個(gè)法向量.設(shè)平面C1DE的法向量為n2=(x2,y2,z2),則n2·所以x取y2=1,則x2=-2,z2=-1.所以n2=(-2,1,-1)是平面C1DE的一個(gè)法向量.因?yàn)槠矫鍭1B1P⊥平面C1DE,所以n1·n2=0,即-2(a-1)-1=0,解得a=12所以當(dāng)P為CC1的中點(diǎn)時(shí),平面A1B1P⊥平面C1DE.B級(jí)能力提升7.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),BP=(x-1,y,-3),若AB⊥BC,且BP⊥平面ABC,則實(shí)數(shù)x,y,z分別為()A.337,-157,4 B.407,C.407,-2,4 D.4,407,解析:因?yàn)锳B⊥BC,所以AB·BC=0,即3+5-2z=0,解得z=4,所以BC=(3,1,4).因?yàn)锽P⊥平面ABC,所以BP⊥AB,BP⊥BC,所以(x-答案:B8.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,已知點(diǎn)P(2cosx+1,2cos2x+2,0)和點(diǎn)Q(cosx,-1,3),其中x∈[0,π],若直線OP與直線OQ垂直,則x的值為π2或π解析:因?yàn)镺P⊥OQ,所以O(shè)P·OQ=0,即(2cosx+1)×cosx+(2cos2x+2)×(-1)+0×3=0.所以cosx=0或cosx=12因?yàn)閤∈[0,π],所以x=π2或x=π9.如圖,已知四邊形ABCD是矩形,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在線段BC上只有一個(gè)點(diǎn)Q滿足PQ⊥QD,則a的值等于2.解析:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,a,0).設(shè)Q(1,x,0)(0≤x≤a),P(0,0,z),則PQ=(1,x,-z),QD=(-1,a-x,0).由PQ⊥QD,得-1+x(a-x)=0,即x2-ax+1=0.由題意知關(guān)于x的方程x2-ax+1=0只有一解,所以Δ=a2-4=0,解得a=2,這時(shí)x=1,x∈[0,2].10.如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A1A=A1C=AC,E,F分別是AC,A1B1的中點(diǎn).求證:EF⊥BC.證明:如圖,連接A1E.因?yàn)锳1A=A1C,E是AC的中點(diǎn),所以A1E⊥AC.因?yàn)槠矫鍭1ACC1⊥平面ABC,A1E?平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以A1E⊥平面ABC.如圖,以E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以過點(diǎn)E且垂直于AC的直線為x軸,射線EC,EA1為y軸、z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AC=4,則E(0,0,0),A1(0,0,23),B(3,1,0),B1(3,3,23),C(0,2,0).所以F32,32,23,EF=32所以EF·BC=0,所以EF⊥BC.11.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,側(cè)面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=12(1)求證:CD⊥平面PAC.(2)側(cè)棱PA上是否存在點(diǎn)E,使得BE∥平面PCD?若存在,求出點(diǎn)E的位置,若不存在,請(qǐng)說明理由.(1)證明:因?yàn)椤螾AD=90°,所以PA⊥AD.因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD,且側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD.又因?yàn)椤螧AD=90°,所以AB,AD,AP兩兩垂直.如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AD=2,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).所以AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),CD=(-1,1,0),所以AP·CD=0,AC·CD=0,所以AP⊥CD,AC⊥CD.又因?yàn)锳P∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.(2)解:側(cè)棱PA上存在點(diǎn)E,使得BE∥平面PCD.由(1)設(shè)E(0,0,t),則BE=(-1,0,t).易知CD=(-1,1,0),PD=(0,2,-1).設(shè)平面PCD的法向量是n=(x,y,z),則n·CD取x=1,則y=1,z=2.所以平面PCD的一個(gè)法向量為n=(1,1,2).所以n·BE=1×(-1)+1×0+2×t=0,解得t=12所以當(dāng)E為PA的中點(diǎn)時(shí),BE∥平面PCD.C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新12.多選題如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F兩點(diǎn)分別在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,則(A.EF至多與A1D,AC中的一個(gè)垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF與BD1平行D.EF與BD1異面解析:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E13F23,13,0所以A1D=(-1,0,-1),AC=(-1,1,0),EF=13,13,-1所以EF=-13BD1,A1D·EF=所以EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.答案:BC13.多選題下列命題是真命題的有().A.若直線l的方向向量a=(1,-1,2),直線m的方向向量b=（2,1,-12）,則l與mB.若直線l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),則l⊥αC.若平面α,β的法向量分別為n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),則α∥βD.若平面α經(jīng)過三點(diǎn)A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,則u+t=1解析:因?yàn)閍=(1,-1,2),b=2,1,-12,所以a·b=1×2-1×1+2×-12=0,則a⊥b,所以直線l與a=(0,1,-1),n=(1,-1,-1),則a·n=0×1+1×(-