目錄第一章量子力學的誕生第二章波函數和Schrodinger方程第三章一維定態問題第四章量子力學中的力學量第五章態和力學量表象第七章量子躍遷第八章自旋與全同粒子附錄科學家傳略《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)第一章量子力學的誕生§1經典物理學的困難§2量子論的誕生§3實物粒子的波粒二象性《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)§1經典物理學的困難(一）經典物理學的成功

19世紀末，物理學理論在當時看來已經發展到相當完善的階段。主要表現在以下兩個方面：(1) 應用牛頓方程成功的討論了從天體到地上各種尺度的力學客體體的運動，將其用于分子運動上，氣體分子運動論，取得有益的結果。1897年湯姆森發現了電子，這個發現表明電子的行為類似于一個牛頓粒子。(2) 光的波動性在1803年由楊的衍射實驗有力揭示出來，麥克斯韋在1864年發現的光和電磁現象之間的聯系把光的波動性置于更加堅實的基礎之上。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（二）經典物理學的困難但是這些信念，在進入20世紀以后，受到了沖擊。經典理論在解釋一些新的試驗結果上遇到了嚴重的困難。（1）黑體輻射問題（2）光電效應（3）氫原子光譜《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)黑體：能吸收射到其上的全部輻 射的物體，這種物體就 稱為絕對黑體，簡稱黑體。黑體輻射：由這樣的空腔小孔發 出的輻射就稱為黑體輻射。實驗發現：輻射熱平衡狀態:處于某一溫度T下的腔壁，單位面積所發射出的輻射能量和它所吸收的輻射能量相等時，輻射達到熱平衡狀態。 熱平衡時，空腔輻射的能量密度，與輻射的波長的分布曲線，其形狀和位置只與黑體的絕對溫度T

有關而與黑體的形狀和材料無關。能量密度

(104cm)0510《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)Wien線能量密度

(104cm)0510Wien公式在短波部分與實驗還相符合，長波部分則明顯不一致。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)1.Wien公式

從熱力學出發加上一些特殊的假設，得到一個分布公式：

《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)1.Wien公式

Wien線能量密度

(104cm)0510Wien公式在短波部分與實驗還相符合，長波部分則明顯不一致。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（2）光電效應光照射到金屬上，有電子從金屬上逸出的現象。這種電子稱之為光電子。試驗發現光電效應有兩個突出的特點：1.臨界頻率v0

只有當光的頻率大于某一定值v0時，才有光電子發射出來。若光頻率小于該值時，則不論光強度多大，照射時間多長，都沒有電子產生。光的這一頻率v0稱為臨界頻率。2.電子的能量只是與光的頻率有關，與光強無關，光強只決定電子數目的多少。光電效應的這些規律是經典理論無法解釋的。按照光的電磁理論，光的能量只決定于光的強度而與頻率無關。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（3）原子光譜，原子結構

氫原子光譜有許多分立譜線組成，這是很早就發現了的。1885年瑞士巴爾末發現紫外光附近的一個線系，并得出氫原子譜線的經驗公式是：這就是著名的巴爾末公式（Balmer）。以后又發現了一系列線系，它們都可以用下面公式表示：

《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)人們自然會提出如下三個問題：1. 原子線狀光譜產生的機制是什么？2. 光譜線的頻率為什么有這樣簡單的規律？3. 光譜線公式中能用整數作參數來表示這一事實啟發我們 思考： 怎樣的發光機制才能認為原子的狀態可以用包含整數值的量來描寫。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)從前，希臘人有一種思想認為：

自然之美要由整數來表示。例如：奏出動聽音樂的弦的長度應具有波長的整數倍。這些問題，經典物理學不能給于解釋。首先，經典物理學不能建立一個穩定的原子模型。根據經典電動力學，電子環繞原子核運動是加速運動，因而不斷以輻射方式發射出能量，電子的能量變得越來越小，因此繞原子核運動的電子，終究會因大量損失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩潰”了，但是，現實世界表明，原子穩定的存在著。除此之外，還有一些其它實驗現象在經典理論看來是難以解釋的，這里不再累述。總之，新的實驗現象的發現，暴露了經典理論的局限性，迫使人們去尋找新的物理概念，建立新的理論，于是量子力學就在這場物理學的危機中誕生。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)§2量子論的誕生（一）Planck黑體輻射定律（二）光量子的概念和光電效應理論（四）波爾（Bohr）的量子論（三）Compton散射

——光的粒子性的進一步證實《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)§2量子論的誕生（一）Planck黑體輻射定律（二）光量子的概念和光電效應理論（四）波爾（Bohr）的量子論（三）Compton散射

——光的粒子性的進一步證實《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（一）Planck黑體輻射定律究竟是什么機制使空腔的原子產生出所觀察到的黑體輻射能量分布，對此問題的研究導致了量子物理學的誕生。 1900年１２月１４日Planck

提出： 如果空腔內的黑體輻射和腔壁原子處于平衡，那么輻射的能量分布與腔壁原子的能量分布就應有一種對應。作為輻射原子的模型，Planck假定：《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)該式稱為Planck 輻射定律Planck線能量密度

(104cm)0510（1）原子的性能和諧振子一樣，以給定的頻率v振蕩；（2）黑體只能以E=hv為能量單位不連續的發射和吸收輻射能量，而不是象經典理論所要求的那樣可以連續的發射和吸收輻射能量。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)對Planck輻射定律的三點討論：（1）當v

很大（短波）時，因為exp(hv/kT)-1≈exp(hv/kT)， 于是 Planck定律化為Wien

公式。（2）當v

很小（長波）時，因為

exp(hv/kT)-1≈1+(hv/kT)-1=(hv/kT)，則Planck定律變為Rayleigh-Jeans公式。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)對Planck輻射定律的三點討論：（1）當v

很大（短波）時，因為exp(hv/kT)-1≈exp(hv/kT)， 于是 Planck定律化為Wien

公式。（2）當v

很小（長波）時，因為

exp(hv/kT)-1≈1+(hv/kT)-1=(hv/kT)，則Planck定律變為Rayleigh-Jeans公式。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（二）光量子的概念 和光電效應理論（1） 光子概念（2） 光電效應理論（3） 光子的動量《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)(1)光子概念第一個肯定光具有微粒性的是Einstein，他認為，光不僅是電磁波，而且還是一個粒子。根據他的理論，電磁輻射不僅在發射和吸收時以能量hν的微粒形式出現，而且以這種形式在空間以光速

C

傳播，這種粒子叫做光量子，或光子。由相對論光的動量和能量關系 p=E/C=hv/C=h/λ提出了光子動量

p

與輻射波長λ（=C/v）的關系。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（2） 光電效應理論用光子的概念，Einstein成功地解釋了光電效應的規律。當光照射到金屬表面時，能量為hν的光子被電子所吸收，電子把這份能量的一部分用來克服金屬表面對它的吸引，另一部分用來提供電子離開金屬表面時的動能。其能量關系可寫為：從上式不難解釋光電效應的兩個典型特點：《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)光電效應的兩個典型特點的解釋1.臨界頻率v02.光電子動能只決定于光 子的頻率 由上式明顯看出，能打出電子的光子的最小能量是光電子V=0時由該式所決定，即 hv-A=0，v0=A/h， 可見，當v<v0時，電子不能脫出金屬表面，從而沒有光電子產生。 上式亦表明光電子的能量只與光的頻率v有關，光的強度只決定光子的數目，從而決定光電子的數目。這樣一來，經典理論不能解釋的光電效應得到了正確的說明。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（2）光電效應光照射到金屬上，有電子從金屬上逸出的現象。這種電子稱之為光電子。試驗發現光電效應有兩個突出的特點：1.臨界頻率v0

只有當光的頻率大于某一定值v0時，才有光電子發射出來。若光頻率小于該值時，則不論光強度多大，照射時間多長，都沒有電子產生。光的這一頻率v0稱為臨界頻率。2.電子的能量只是與光的頻率有關，與光強無關，光強只決定電子數目的多少。光電效應的這些規律是經典理論無法解釋的。按照光的電磁理論，光的能量只決定于光的強度而與頻率無關。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（3） 光子的動量光子不僅具有確定的能量E=hv，而且具有動量。根據相對論知，速度為

V運動的粒子的能量由右式給出：對于光子，速度V=C，欲使上式有意義，必須令

0=0,即光子靜質量為零。根據相對論能動量關系：總結光子能量、動量關系式如下：把光子的波動性和粒子性聯系了起來《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)雖然愛因斯坦對光電效應的解釋是對Planck量子概念的極大支持，但是Planck不同意愛因斯坦的光子假設，這一點流露在Planck推薦愛因斯坦為普魯士科學院院士的推薦信中。“

總而言之，我們可以說，在近代物理學結出碩果的那些重大問題中，很難找到一個問題是愛因斯坦沒有做過重要貢獻的，在他的各種推測中，他有時可能也曾經沒有射中標的，例如，他的光量子假設就是如此，但是這確實并不能成為過分責怪他的理由，因為即使在最精密的科學中，也不可能不偶爾冒點風險去引進一個基本上全新的概念

”《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（三）Compton散射

-光的粒子性的進一步證實。（1） Compton效應經典電動力學不能解釋這種新波長的出現，經典力學認為電磁波被散射后，波長不應該發生改變。但是如果把X--射線被電子散射的過程看成是光子與電子的碰撞過程，則該效應很容易得到理解1散射光中，除了原來X光的波長λ外，增加了一個新的波長為λ'的X光，且λ'>λ；2波長增量 Δλ=λ’–λ隨散射角增大而增大。這一現象稱為Compton效應。X--射線被輕元素如白蠟、石墨中的電子散射后出現的效應。該效應有如下2個特點：《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（2） 定性解釋根據光量子理論，具有能量E=hν

的光子與電子碰撞后，光子把部分能量傳遞給電子，光子的能量變為E’=hν’

顯然有E’<E,從而有ν’<ν,散射后的光子的頻率減小，波長變長。根據這一思路，可以證明：式中也包含了Planck常數h，經典物理學無法解釋它，Compton散射實驗是對光量子概念的一個直接的強有力的支持。該式首先由Compton提出，后被Compton

和吳有訓用實驗證實，用量子概念完全解釋了Compton效應。因為式右是一個恒大于或等于零的數，所以散射波的波長λ'總是比入射波波長長（λ'>λ）且隨散射角θ增大而增大。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（3） 證明根據能量和動量守恒定律：代入得：兩邊平方：兩邊平方（2）式—（1）式得：k

k’

mv《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)所以最后得：《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（四）波爾（Bohr）的量子論Planck--Einstein

光量子概念必然會促進物理學其他重大疑難問題的解決。1913年Bohr

把這種概念運用到原子結構問題上，提出了他的原子的量子論。該理論今天已為量子力學所代替，但是它在歷史上對量子理論的發展曾起過重大的推動作用，而且該理論的某些核心思想至今仍然是正確的，在量子力學中保留了下來（1）波爾假定（2）氫原子線光譜的解釋（3）量子化條件的推廣（4）波爾量子論的局限性《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（1）波爾假定Bohr在他的量子論中提出了兩個極為重要的概念，可以認為是對大量實驗事實的概括。1.原子具有能量不連續的定態的概念。2.量子躍遷的概念.

原子的穩定狀態只可能是某些具有一定分立值能量E1,E2,......,En的狀態。為了具體確定這些能量數值，Bohr提出了量子化條件：原子處于定態時不輻射，但是因某種原因，電子可以從一個能級En

躍遷到另一個較低（高）的能級Em，同時將發射（吸收）一個光子。光子的頻率為：而處于基態（能量最低態）的原子，則不放出光子而穩定的存在著《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（2）氫原子線光譜的解釋根據這兩個概念，可以圓滿地解釋氫原子的線光譜。假設氫原子中的電子繞核作圓周運動+Fc

vre由量子化條件《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)電子的能量與氫原子線光譜的經驗公式比較根據Bohr量子躍遷的概念得Rydberg常數與實驗完全一致《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（3）量子化條件的推廣由理論力學知，若將角動量L選為廣義動量，則θ為廣義坐標。考慮積分并利用Bohr提出的量子化條件，有索末菲將Bohr量子化條件推廣為推廣后的量子化條件可用于多自由度情況，這樣索末菲量子化條件不僅能解釋氫原子光譜，而且對于只有一個電子（Li，Na，K等）的一些原子光譜也能很好的解釋。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（4） 波爾量子論的局限性1.不能證明較復雜的原子甚至比氫稍微復雜的氦原子的光譜；2.不能給出光譜的譜線強度（相對強度）；3.Bohr只能處理周期運動，不能處理非束縛態問題，如散射問題；4.從理論上講，能量量子化概念與經典力學不相容。多少帶有人為的性質，其物理本質還不清楚。

波爾量子論首次打開了認識原子結構的大門，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的問題也逐漸為人們所認識《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)§3實物粒子的波粒二象性（一）L．DeBroglie

關系（二）deBroglie

波（三）駐波條件（四）deBroglie

波的實驗驗證《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（一）L．DeBroglie關系假定：與一定能量E和動量p的實物粒子相聯系的波（他稱之為“物質波”）的頻率和波長分別為：

E=hν

ν=E/hP=h/λ

λ=h/p該關系稱為de.Broglie關系。根據Planck-Einstein光量子論，光具有波動粒子二重性，以及Bohr量子論，啟發了de.Broglie，他（1）仔細分析了光的微粒說與波動說的發展史；（2）注意到了幾何光學與經典力學的相似性，提出了實物粒子（靜質量m不等于0的粒子）也具有波動性。也就是說，粒子和光一樣也具有波動-粒子二重性，二方面必有類似的關系相聯系。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（一）L．DeBroglie關系假定：與一定能量E和動量p的實物粒子相聯系的波（他稱之為“物質波”）的頻率和波長分別為：

E=hν

ν=E/hP=h/λ

λ=h/p該關系稱為de.Broglie關系。根據Planck-Einstein光量子論，光具有波動粒子二重性，以及Bohr量子論，啟發了de.Broglie，他（1）仔細分析了光的微粒說與波動說的發展史；（2）注意到了幾何光學與經典力學的相似性，提出了實物粒子（靜質量m不等于0的粒子）也具有波動性。也就是說，粒子和光一樣也具有波動-粒子二重性，二方面必有類似的關系相聯系。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（二）deBroglie波因為自由粒子的能量E和動量p都是常量，所以由deBroglie關系可知，與自由粒子聯系的波的頻率ν和波矢k（或波長λ）都不變，即是一個單色平面波。由力學可知，頻率為ν，波長為λ，沿單位矢量n方向傳播的平面波可表為：寫成復數形式這種波就是與自由粒子相聯系的單色平面波，或稱為描寫自由粒子的平面波，這種寫成復數形式的波稱為deBroglie波deBroglie關系：ν=E/h

=2

ν=2

E/h=E/

λ=h/p

k=1/

=2

/λ=p/

《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（三）駐波條件為了克服Bohr理論帶有人為性質的缺陷，deBroglie

把原子定態與駐波聯系起來，即把粒子能量量子化問題和有限空間中駐波的波長（或頻率）的分立性聯系起來。例如：氫原子中作穩定圓周運動的電子相應的駐波示意圖要求圓周長是波長的整數倍于是角動量：deBroglie關系r代入《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)deBroglie

波在1924年提出后，在1927-1928年由

Davisson

和 Germer

以及G.P.Thomson

的電子衍射實驗所證實。θ法拉第園筒入射電子注鎳單晶

d衍射最大值公式《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)作業周世勛《量子力學教程》： 1.2、1.4曾謹言《量子力學導論》： 1.1、1.3《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)第二章波函數

和Schrodinger方程§1波函數的統計解釋§2態疊加原理§3力學量的平均值和算符的引進§4Schrodinger

方程§5粒子流密度和粒子數守恒定律§6定態Schrodinger方程《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)§1波函數的統計解釋（一）波函數（二）波函數的解釋（三）波函數的性質《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)

3個問題？

描寫自由粒子的平面波如果粒子處于隨時間和位置變化的力場中運動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態就不能用平面波描寫，而必須用較復雜的波描寫，一般記為：描寫粒子狀態的波函數，它通常是一個復函數。稱為deBroglie波。此式稱為自由粒子的波函數。(1)

是怎樣描述粒子的狀態呢？(2)

如何體現波粒二象性的？(3)

描寫的是什么樣的波呢？（一）波函數返回§1

《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)電子源感光屏（1）兩種錯誤的看法1.波由粒子組成如水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗。 電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上增加呈現出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現象，單個電子就具有波動性。

波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。PPOQQO 事實上，正是由于單個電子具有波動性，才能理解氫原子（只含一個電子！）中電子運動的穩定性以及能量量子化這樣一些量子現象。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)2.粒子由波組成電子是波包。把電子波看成是電子的某種實際結構，是三維空間中連續分布的某種物質波包。因此呈現出干涉和衍射等波動現象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度。什么是波包？波包是各種波數（長）平面波的迭加。 平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平面波振幅與位置無關。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，與實驗事實相矛盾。 實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區域內。例如在一個原子內，其廣延不會超過原子大小≈1?

。

電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ “電子既不是粒子也不是波”，既不是經典的粒子也不是經典的波， 但是我們也可以說，“電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統一。” 這個波不再是經典概念的波，粒子也不是經典概念中的粒子。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)經典概念中1.有一定質量、電荷等“顆粒性”的屬性;粒子意味著2．有確定的運動軌道，每一時刻有一定 位置和速度。經典概念中1.實在的物理量的空間分布作周期性的變化;波意味著2．干涉、衍射現象，即相干疊加性。1.入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣;電子源感光屏QQOPP我們再看一下電子的衍射實驗2.

入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣.《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)結論：衍射實驗所揭示的電子的波動性是： 許多電子在同一個實驗中的統計結果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的統計結果。

波函數正是為了描述粒子的這種行為而引進的，在此基礎上，Born提出了波函數意義的統計解釋。r點附近衍射花樣的強度

正比于該點附近感光點的數目，

正比于該點附近出現的電子數目，

正比于電子出現在r點附近的幾 率。在電子衍射實驗中，照相底片上

《量子力學》經典(北京大學,一共含546張) 據此，描寫粒子的波可以認為是幾率波，反映微觀客體運 動的一 種統計規律性，波函數Ψ(r)有時也稱為幾率幅。 這就是首先由Born提出的波函數的幾率解釋，它是量子 力學的 基本原理。 假設衍射波波幅用Ψ(r)描述，與光學相似， 衍射花紋的強度則用|Ψ(r)|2

描述，但意義與經典波不同。 |Ψ(r)|2的意義是代表電子出現在r點附近幾率的大小， 確切的說， |Ψ(r)|2ΔxΔyΔz表示在r點處，體積元ΔxΔy Δz中 找到粒子的幾率。波函數在空間某點的強度（振幅 絕對值 的平方）和在這點找到粒子的幾率成比例，《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（三）波函數的性質 在t時刻，r點，dτ=dxdydz體積內，找到由波函數Ψ(r,t) 描寫的粒子的幾率是：dW(r,t)=C|Ψ(r,t)|2dτ，

其中，C是比例系數。根據波函數的幾率解釋，波函數有如下重要性質：（1）幾率和幾率密度在t時刻r點，單位體積內找到粒子的幾率是：ω(r,t)={dW(r,t)/dτ}=C|Ψ(r,t)|2

稱為幾率密度。在體積V內，t時刻找到粒子的幾率為：W(t)=∫VdW=∫Vω(r,t)dτ=C∫V|Ψ(r,t)|2dτ《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（2） 平方可積由于粒子在空間總要出現（不討論粒子產生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應為一，即：

C∫∞|Ψ(r,t)|2dτ=1,從而得常數C之值為：

C=1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ這即是要求描寫粒子量子狀態的波函數Ψ必須是絕對值平方可積的函數。若∫∞|Ψ(r,t)|2dτ

∞,則C

0,這是沒有意義的。注意：自由粒子波函數不滿足這一要求。關于自由粒子波函數如何歸一化問題，以后再予以討論。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（3）歸一化波函數 這與經典波不同。經典波波幅增大一倍（原來的2倍），則相應的波動能量將為原來的4倍，因而代表完全不同的波動狀態。經典波無歸一化問題。Ψ(r,t)和CΨ(r,t)所描寫狀態的相對幾率是相同的，這里的C是常數。 因為在t時刻，空間任意兩點r1和r2處找到粒子的相對幾率之比是：由于粒子在全空間出現的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現的幾率只取決于波函數在空間各點強度的相對比例，而不取決于強度的絕對大小，因而，將波函數乘上一個常數后，所描寫的粒子狀態不變，即

Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述同一狀態可見，Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述的是同一幾率波，所以波函數有一常數因子不定性。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)歸一化常數若Ψ(r,t)沒有歸一化，∫∞|Ψ(r,t)|2dτ=A（A是大于零的常數），則有∫∞|(A)-1/2Ψ(r,t)|2dτ=1也就是說，(A)-1/2Ψ(r,t)是歸一化的波函數，與Ψ(r,t)描寫同一幾率波，(A)-1/2稱為歸一化因子。注意：對歸一化波函數仍有一個模為一的因子不定性。若Ψ(r,t)是歸一化波函數，那末，exp{iα}Ψ(r,t)

也是歸一化波函數（其中α是實數），與前者描述同一幾率波。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（4）平面波歸一化IDirac

—函數定義：或等價的表示為：對在x=x0鄰域連續的任何函數f（x）有：

—函數亦可寫成Fourier積分形式：令k=px/

,dk=dpx/

,則性質：0x0x《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（4）平面波歸一化IDirac

—函數定義：或等價的表示為：對在x=x0鄰域連續的任何函數f（x）有：

—函數亦可寫成Fourier積分形式：令k=px/

,dk=dpx/

,則性質：0x0x《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)II平面波歸一化寫成分量形式t=0時的平面波考慮一維積分若取A122

=1，則A1=[2

]-1/2,于是平面波可歸一化為函數《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)三維情況：其中注意：這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾率密度，依然只是表示平面波所描寫的狀態在空間各點找到粒子的幾率相同。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)作業補充題《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)§2態疊加原理（一） 態疊加原理（二） 動量空間（表象）的波函數《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（一） 態疊加原理微觀粒子具有波動性，會產生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質在于波的疊加性，即可相加性，兩個相加波的干涉的結果產生衍射。 因此，同光學中波的疊加原理一樣，量子力學中也存在波疊加原理。因為量子力學中的波，即波函數決定體系的狀態，稱波函數為狀態波函數，所以量子力學的波疊加原理稱為態疊加原理。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)考慮電子雙縫衍射

Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2

也是電子的可能狀態。空間找到電子的幾率則是：|Ψ|2=|C1Ψ1+C2Ψ2|2

=(C1*Ψ1*+C2*Ψ2*)(C1Ψ1+C2Ψ2)=|C1Ψ1|2+|C2Ψ2|2+[C1*C2Ψ1*Ψ2+C1C2*Ψ1Ψ2*]PΨ1Ψ2ΨS1S2電子源感光屏電子穿過狹縫１出現在Ｐ點的幾率密度電子穿過狹縫２出現在Ｐ點的幾率密度相干項正是由于相干項的出現，才產生了衍射花紋。一個電子有Ψ1和Ψ2兩種可能的狀態，Ψ是這兩種狀態的疊加。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張) 其中C1和C2是復常數，這就是量子力學的態疊加原理。態疊加原理一般表述： 若Ψ1，Ψ2,...,Ψn,...是體系的一系列可能的狀態，則這些態的線性疊加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2+...+CnΨn+...(其中C1,C2,...,Cn,...為復常數)。 也是體系的一個可能狀態。處于Ψ態的體系，部分的處于Ψ1態，部分的處于Ψ2態...，部分的處于Ψn，...一般情況下，如果Ψ1和Ψ2是體系的可能狀態，那末它們的線性疊加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2也是該體系的一個可能狀態.《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)例：電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動量p運動。具有確定動量的運動狀態用deBroglie平面波表示根據疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態Ψ可表示成p取各種可能值的平面波的線性疊加，即而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結果。

dΨΨp《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（二） 動量空間（表象）的波函數Ψ(r,t)是以坐標

r

為自變量的波函數，坐標空間波函數，坐標表象波函數；C(p,t)

是以動量

p

為自變量的波函數，動量空間波函數，動量表象波函數；二者描寫同一量子狀態。波函數Ψ(r,t)可用各種不同動量的平面波表示，下面我們給出簡單證明。展開系數令則Ψ可按Фp展開《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)若Ψ(r,t)已歸一化，則C(p,t)也是歸一化的《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)§3力學量的平均值和算符的引進（一）力學量平均值 （1）坐標平均值 （2）動量平均值（二）力學量算符 （1）動量算符 （2）動能算符 （3）角動量算符 （4）Hamilton算符《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（一） 力學量平均值在統計物理中知道，當可能值為離散值時:一個物理量的平均值等于物理量出現的各種可能值乘上相應的幾率求和；當可能值為連續取值時：一個物理量出現的各種可能值乘上相應的幾率密度求積分。基于波函數的幾率含義，我們馬上可以得到粒子坐標和動量的平均值。先考慮一維情況，然后再推廣至三維。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（1）坐標平均值為簡單計，剩去時間ｔ變量（或者說，先不考慮隨時間的變化）設ψ(x)是歸一化波函數，|ψ(x)|2是粒子出現在x點的幾率密度，則對三維情況，設ψ(r)是歸一化波函數，|ψ(r)|2是粒子出現在r點的幾率密度，則x的平均值為（2）動量平均值一維情況：令ψ(x)是歸一化波函數，相應動量表象波函數為《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（二）力學量算符簡言之，由于量子力學和經典力學完全不同，它是用波函數描寫狀態，所以力學量也必須改造成與經典力學不同的算符形式（稱為第一次量子化）。（1）動量算符 既然ψ(x)是歸一化波函數，相應動量表象波函數為c(px)一一對應，相互等價的描述粒子的同一狀態，那末動量的平均值也應可以在坐標表象用ψ(x)表示出來。但是ψ(x)不含px變量，為了能由ψ(x)來確定動量平均值，動量px必須改造成只含自變量x的形式，這種形式稱為動量px的算符形式，記為《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)一維情況：《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)比較上面二式得兩點結論：體系狀態用坐標表象中的波函數ψ(r)描寫時，坐標x的算符就是其自身，即說明力學量在自身表象中的算符形式最簡單。而動量px在坐標表象（非自身表象）中的形式必須改造成動量算符形式：三維情況：《量子力學》經典(北京大學,一共含546張) 由歸一化波函數ψ(r)求力學量平均值時，必須把該力學量的算符夾在ψ*(r)和ψ(r)之間,對全空間積分，即F是任一力學量算符《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（2）動能算符（3）角動量算符《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（4）Hamilton算符《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)作業補充題《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)§4Schrodinger方程（一） 引（二） 引進方程的基本考慮（三） 自由粒子滿足的方程（四） 勢場V(r)中運動的粒子（五） 多粒子體系的Schrodinger方程《量子力學》經典(北京大學,一共含546張) 這些問題在1926年Schrodinger提出了波動方程之后得到了圓滿解決。 微觀粒子量子狀態用波函數完全描述，波函數確定之后，粒子的任何一個力學量的平均值及其測量的可能值和相應的幾率分布也都被完全確定，波函數完全描寫微觀粒子的狀態。因此量子力學最核心的問題就是要解決以下兩個問題：(1)在各種情況下，找出描述系統的各種可能的波函數；(2)波函數如何隨時間演化。（一） 引《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（二） 引進方程的基本考慮從牛頓方程，人們可以確定以后任何時刻t粒子的狀態r和p。因為初條件知道的是坐標及其對時間的一階導數，所以方程是時間的二階常微分方程。讓我們先回顧一下經典粒子運動方程，看是否能給我們以啟發。（1）經典情況《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（2）量子情況3．第三方面，方程不能包含狀態參量，如p,E等，否則方程只能被粒子特定的狀態所滿足，而不能為各種可能的狀態所滿足。1．因為，t=t0時刻，已知的初態是ψ(r,t0)且只知道這樣一個初條件，所以，描寫粒子狀態的波函數所滿足的方程只能含ψ對時間的一階導數。2．另一方面，ψ要滿足態疊加原理，即，若ψ1(r,t)和ψ2(r,t)是方程的解，那末。ψ(r,t)=C1ψ1(r,t)+C2ψ2(r,t)也應是該方程的解。這就要求方程應是線性的，也就是說方程中只能包含ψ,ψ對時間的一階導數和對坐標各階導數的一次項，不能含它們的平方或開方項。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（三） 自由粒子滿足的方程 這不是所要尋找的方程，因為它包含狀態參量E。將Ψ對坐標二次微商，得：描寫自由粒子波函數:應是所要建立的方程的解。將上式對t微商，得：(1)–(2)式《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)滿足上述構造方程的三個條件討論：通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果能量關系式E=p2/2μ寫成如下方程形式：做算符替換（4）即得自由粒子滿足的方程（3）。(1)–(2)式返回《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（四）勢場V(r)中運動的粒子該方程稱為Schrodinger方程，也常稱為波動方程。若粒子處于勢場V(r)中運動，則能動量關系變為：將其作用于波函數得：做（4）式的算符替換得：《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（五）多粒子體系的Schrodinger方程 設體系由N個粒子組成，質量分別為μi(i=1,2,...,N)體系波函數記為ψ(r1,r2,...,rN

;t)第i個粒子所受到的外場Ui(ri)粒子間的相互作用V(r1,r2,...,rN)則多粒子體系的Schrodinger

方程可表示為：《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)多粒子體系Hamilton量對有Z個電子的原子，電子間相互作用為Coulomb排斥作用：而原子核對第i個電子的Coulomb吸引能為：假定原子核位于坐標原點，無窮遠為勢能零點。例如：《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)§5粒子流密度和粒子數守恒定律（一）定域幾率守恒（二）再論波函數的性質《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（一）定域幾率守恒 考慮低能非相對論實物粒子情況，因沒有粒子的產生和湮滅問題，粒子數保持不變。對一個粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應不隨時間改變，即在討論了狀態或波函數隨時間變化的規律后，我們進一步討論粒子在一定空間區域內出現的幾率將怎樣隨時間變化。粒子在t時刻r點周圍單位體積內粒子出現的幾率即幾率密度是：《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)證：考慮Schrodinger方程及其共軛式：取共軛《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)在空間閉區域τ中將上式積分，則有：閉區域τ上找到粒子的總幾率在單位時間內的增量J是幾率流密度，是一矢量。所以(7)式是幾率（粒子數）守恒的積分表示式。令Eq.（7）τ趨于∞，即讓積分對全空間進行，考慮到任何真實的波函數應該是平方可積的，波函數在無窮遠處為零，則式右面積分趨于零，于是Eq.（7）變為：其微分形式與流體力學中連續性方程的形式相同使用Gauss定理單位時間內通過τ的封閉表面S流入（面積分前面的負號）τ內的幾率S

《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)討論：表明，波函數歸一化不隨時間改變，其物理意義是粒子既未產生也未消滅。（1）這里的幾率守恒具有定域性質，當空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來實現這種變化。（2）以μ乘連續性方程等號兩邊，得到：量子力學的質量守恒定律同理可得量子力學的電荷守恒定律：表明電荷總量不隨時間改變質量密度和質量流密度矢量電荷密度和電流密度矢量《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（二）再論波函數的性質1.由Born的統計解釋可知，描寫粒子的波函數已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即

dω(r,t)=|ψ(r,t)|2dτ2.已知ψ(r,t)，則任意力學量的平均值、可能值及相應的幾率就都知道了，也就是說，描寫粒子狀態的一切力學量就都知道了。所以波函數又稱為狀態波函數或態函數。3.知道體系所受力場和相互作用及初始時刻體系的狀態后，由Schrodinger方程即可確定以后時刻的狀態。（1）波函數完全描述粒子的狀態（2）波函數標準條件1.根據Born統計解釋ω(r,t)=ψ*(r,t)ψ(r,t)是粒子在t時刻出現在r點的幾率，這是一個確定的數，所以要求ψ(r,t)應是r,t的單值函數且有限。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)式右含有ψ及其對坐標一階導數的積分，由于積分區域τ是任意選取的，所以S是任意閉合面。要是積分有意義，ψ必須在變數的全部范圍，即空間任何一點都應是有限、連續且其一階導數亦連續。概括之，波函數在全空間每一點通常應滿足單值、有限、連續三個條件，該條件稱為波函數的標準條件。2.根據粒子數守恒定律:《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（3）量子力學基本假定I、II量子力學基本假定I 波函數完全描述粒子的狀態量子力學基本假定II 波函數隨時間的演化遵從Schrodinger方程《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)§6定態Schrodinger方程（一）定態Schrodinger方程（二）Hamilton算符和能量本征值方程（三）求解定態問題的步驟（四）定態的性質《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（一）定態Schrodinger方程現在讓我們討論有外場情況下的定態Schrodinger方程：令：于是：V(r)與t無關時，可以分離變量代入等式兩邊是相互無關的物理量，故應等于與

t,r無關的常數《量子力學》經典(北京大學,一共含546張) 該方程稱為定態Schrodinger方程，ψ(r)也可稱為定態波函數，或可看作是t=0時刻ψ(r,0)的定態波函數。 此波函數與時間t的關系是正弦型的，其角頻率ω=2πE/h。由deBroglie關系可知： E就是體系處于波函數Ψ(r,t)所描寫的狀態時的能量。也就是說，此時體系能量有確定的值，所以這種狀態稱為定態，波函數Ψ(r,t)稱為定態波函數。空間波函數ψ(r)可由方程和具體問題ψ(r)應滿足的邊界條件得出。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（二）Hamilton算符和能量本征值方程（1）Hamilton算符二方程的特點：都是以一個算符作用于Ψ(r,t)等于EΨ(r,t)。所以這兩個算符是完全相當的（作用于波函數上的效果一樣）。是相當的。這兩個算符都稱為能量算符。也可看出，作用于任一波函數Ψ上的二算符再由Schrodinger方程：《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（2）能量本征值方程 （1）一個算符作用于一個函數上得到一個常數乘以該函數這與數 學物理方法中的本征值方程相似。 數學物理方法中：微分方程+邊界條件構成本征值問題；將改寫成（2）量子力學中：波函數要滿足三個標準條件，對應數學物理方 法中的邊界條件，稱為波函數的自然邊界條件。 因此在量子力學中稱與上類似的方程為束縛的本征值方程。 常量E稱為算符

H的本征值；Ψ稱為算符

H的本征函數。 （3）由上面討論可知，當體系處于能量算符本征函數所描寫的狀 態（簡稱能量本征態）時，粒子能量有確定的數值，這個數 值就是與這個本征函數相應的能量算符的本征值。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（三）求解定態問題的步驟 討論定態問題就是要求出體系可能有的定態波函數Ψ(r,t)和在這些態中的能量E。其具體步驟如下：（1）列出定態 Schrodinger方程（2）根據波函數三個標準條件求解能量E的本征值問題，得：（3）寫出定態波函數即得到對應第n個本征值En的定態波函數（4）通過歸一化確定歸一化系數Cn《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（四）定態的性質（2）幾率密度與時間無關（1）粒子在空間幾率密度與時間無關《量子力學》經典(北京大學,一共含546張) 綜上所述，當Ψ滿足下列三個等價條件中的任何一個時，Ψ就是定態波函數：1.Ψ描述的狀態其能量有確定的值；2.Ψ滿足定態Schrodinger方程；3.|Ψ|2

與t無關。（3）任何不顯含t得力學量平均值與t無關《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)作業周世勛《量子力學教程》2.2題曾謹言《量子力學導論》2.1、2.3題《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)第三章一維定態問題在繼續闡述量子力學基本原理之前，先用Schrodinger

方程來處理一類簡單的問題——一維定態問題。其好處有四：（1）有助于具體理解已學過的基本原理；（2）有助于進一步闡明其他基本原理；（4）一維問題還是處理各種復雜問題的基礎。§1一維無限深勢阱§2線性諧振子§3一維勢散射問題（3）處理一維問題，數學簡單，從而能對結果進行細致討論，量子 體系的許多特征都可以在這些一維問題中展現出來；《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)§1一維無限深勢阱（一）一維運動（二）一維無限深勢阱（三）宇稱（四）討論《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（一）一維運動所謂一維運動就是指在某一方向上的運動。此方程是一個二階偏微分方程。若勢可寫成：V(x,y,z)=V1(x)+V2(y)+V3(z)形式，則S-方程可在直角坐標系中分離變量。令ψ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)E=Ex+Ey+Ez于是S-方程化為三個常微分方程：當粒子在勢場V(x,y,z)中運動時，其Schrodinger方程為：《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)其中《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（二）一維無限深勢阱求解S—方程分四步：（1）列出各勢域的一維S—方程（2）解方程（3）使用波函數標準條件定解（4）定歸一化系數-a0aV(x)IIIIII《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（1）列出各勢域的S—方程方程可簡化為：-a0aV(x)IIIIII勢V(x)分為三個區域，用I、II和III表示，其上的波函數分別為ψI(x),ψII(x)和ψIII(x)。則方程為：

2

2《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（3）使用波函數標準條件從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢壁。根據波函數的統計解釋，要求在阱壁上和阱壁外波函數為零，特別是 ψ(-a)=ψ(a)=0。-a0aV(x)IIIIII

1。單值，成立；2。有限：當x

-∞，ψ有限條件要求C2=0。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)使用標準條件3。連續：2）波函數導數連續： 在邊界x=-a，勢有無窮跳躍，波函數微商不連續。這是因為： 若ψI(-a)’=ψII(-a)’，則有，0=Aαcos(-αa+δ)

與上面波函數連續條件導出的結果Asin(-αa+δ)=0矛盾，二者不能同時成立。所以波函數導數在有無窮跳躍處不連續。1）波函數連續：-a0aV(x)IIIIII《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)(1)+(2)(2)-(1)兩種情況：由（4）式《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)討論狀態不存在描寫同一狀態所以n只取正整數，即于是：或《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)于是波函數：由（3）式類似I中關于n=

m的討論可知：《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)綜合I、II結果，最后得：對應m=2n對應m=2n+1《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)能量最低的態稱為基態，其上為第一激發態、第二激發態依次類推。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張) 由此可見，對于一維無限深方勢阱，粒子束縛于有限空間范圍，在無限遠處，ψ=0。這樣的狀態，稱為束縛態。一維有限運動能量本征值是分立能級，組成分立譜。（4）由歸一化條件定系數A《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)[小結]由無窮深方勢阱問題的求解可以看 出，解S—方程的一般步驟如下：一、列出各勢域上的S—方程；二、求解S—方程；三、利用波函數的標準條件（單值、有限、連續）定 未知數和能量本征值；四、由歸一化條件定出最后一個待定系數（歸一化系 數）。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（三）宇稱（1）空間反射：空間矢量反向的操作。（2）此時如果有：稱波函數具有正宇稱（或偶宇稱）；稱波函數具有負宇稱（或奇宇稱）；（3）如果在空間反射下，則波函數沒有確定的宇稱。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（四）討論一維無限深勢阱中粒子的狀態（2）n=0,E=0,ψ=0，態不存在，無意義。而n=±k,k=1,2,...可見，n取負整數與正整數描寫同一狀態。（1）n=1,基態，與經典最低能量為零不同，這是微觀粒子波動性的表現，因為“靜止的波”是沒有意義的。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（4）ψn*(x)=ψn(x) 即波函數是實函數。（5）定態波函數（3）波函數宇稱《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)作業周世勛：《量子力學教程》第二章

2.3、2.4、2.8《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)§2線性諧振子（一）引言 （1）何謂諧振子 （2）為什么研究線性諧振子（二）線性諧振子 （1）方程的建立 （2）求解 （3）應用標準條件 （4）厄密多項式 （5）求歸一化系數 （6）討論（三）實例《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（一）引言（1）何謂諧振子量子力學中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢場中運動的粒子。在經典力學中，當質量為

的粒子，受彈性力F=-kx作用，由牛頓第二定律可以寫出運動方程為：其解為x=Asin(ωt+δ)。這種運動稱為簡諧振動，作這種運動的粒子叫諧振子。若取V0=0，即平衡位置處于勢V=0點，則《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（2）為什么研究線性諧振子自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小振動，例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨立的一維簡諧振動。簡諧振動往往還作為復雜運動的初步近似，所以簡諧振動的研究，無論在理論上還是在應用上都是很重要的。例如雙原子分子，兩原子間的勢V是二者相對距離x的函數，如圖所示。在x=a處，V有一極小值V0。在x=a附近勢可以展開成泰勒級數：axV(x)0V0《量子力學》經典(北京大學,一共含546張) 取新坐標原點為(a,V0)，則勢可表示為標準諧振子勢的形式： 可見，一些復雜的勢場下粒子的運動往往可以用線性諧振動來近似描述。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（二）線性諧振子（1）方程的建立（2）求解（3）應用標準條件（4）厄密多項式（5）求歸一化系數（6）討論《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（1）方程的建立線性諧振子的Hamilton量：則Schrodinger方程可寫為：為簡單計，引入無量綱變量ξ代替x，此式是一變系數二階常微分方程《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（2）求解為求解方程，我們先看一下它的漸近解，即當ξ→±∞時波函數ψ的行為。在此情況下，λ<<ξ2，于是方程變為：其解為：ψ∞=exp[±ξ2/2]，1.漸近解欲驗證解的正確性，可將其代回方程，波函數有限性條件：當ξ→±∞時，應有c2=0，因整個波函數尚未歸一化，所以c1可以令其等于1。最后漸近波函數為：ξ2>>±1《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)其中H(ξ)必須滿足波函數的單值、有限、連續的標準條件。即：①當ξ有限時，H(ξ)有限；②當ξ→∞時，H(ξ)的行為要保證ψ(ξ)→0。將ψ(ξ)表達式代入方程得關于待求函數H(ξ)所滿足的方程：2.H(ξ)滿足的方程《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)3.級數解我們以級數形式來求解。為此令：用k代替k’《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)由上式可以看出：b0決定所有角標k為偶數的系數；b1決定所有角標k為奇數的系數。因為方程是二階微分方程，應有兩個線性獨立解。可分別令：b0≠0,b1=0.→Heven(ξ);b1≠0,b0=0.→Hodd(ξ).即：bk+2(k+2)(k+1)-bk2k+bk(λ-1)=0從而導出系數bk的遞推公式：該式對任意ξ都成立，故ξ同次冪前的系數均應為零，只含偶次冪項只含奇次冪項則通解可記為： H=coHodd+ceHeven

ψ=(coHodd+ceHevene)exp[-ξ2/2]《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（3）應用標準條件(I)ξ=0exp[-ξ2/2]|ξ=0=1Heven(ξ)|ξ=0=b0

Hodd(ξ)|ξ=0=0皆有限(II)ξ→±∞需要考慮無窮級數H(ξ)的收斂性為此考察相鄰兩項之比：考察冪級數exp[ξ2}的展開式的收斂性比較二級數可知：當ξ→±∞時，H(ξ)的漸近行為與exp[ξ2]相同。單值性和連續性二條件自然滿足，只剩下第三個有限性條件需要進行討論。因為H(ξ)是一個冪級數，故應考慮他的收斂性。考慮一些特殊點，即勢場有跳躍的地方以及x=0,x→±∞或ξ=0,ξ→±∞。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)所以總波函數有如下發散行為： 為了滿足波函數有限性要求，冪級數H(ξ)必須從某一項截斷變成一個多項式。換言之，要求H(ξ)從某一項（比如第n項）起以后各項的系數均為零，即bn≠0,bn+2=0.代入遞推關系)得：結論基于波函數在無窮遠處的有限性條件導致了能量必須取分立值。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（4）厄密多項式附加有限性條件得到了H(ξ)的一個多項式，該多項式稱為厄密多項式，記為Hn(ξ)，于是總波函數可表示為：由上式可以看出，Hn(ξ)的最高次冪是n其系數是2n。歸一化系數Hn(ξ)也可寫成封閉形式：λ=2n+1《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)厄密多項式和諧振子波函數的遞推關系：從上式出發，可導出厄密多項式的遞推關系：應用實例例：已知H0=1,H1=2ξ，則根據上述遞推關系得出：H2=2ξH1-2nH0

=4ξ2-2下面給出前幾個厄密多項式具體表達式：H0=1H2=4ξ2-2H4=16ξ4-48ξ2+12H1=2ξH3=8ξ3-12ξH5=32ξ5-160ξ3+120ξ基于厄密多項式的遞推關系可以導出諧振子波函數Ψ(x)的遞推關系：《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（5）求歸一化系數

(分步積分)該式第一項是一個多項式與exp[-ξ2]的乘積，當代入上下限ξ=±∞后，該項為零。繼續分步積分到底因為Hn的最高次項ξn的系數是2n，所以dnHn/dξn=2nn!。于是歸一化系數則諧振子波函數為：(I)作變量代換，因為ξ=αx，所以dξ=αdx；(II)應用Hn(ξ)的封閉形式。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（6）討論3.對應一個諧振子能級只有一個本征函數，即一個狀態，所以能級是非簡并的。值得注意的是，基態能量E0={1/2}?ω≠0，稱為零點能。這與無窮深勢阱中的粒子的基態能量不為零是相似的，是微觀粒子波粒二相性的表現，能量為零的“靜止的”波是沒有意義的，零點能是量子效應。1。上式表明，Hn(ξ)的最高次項是(2ξ)n。所以： 當n=偶，則厄密多項式只含ξ的偶次項；當n=奇，則厄密多項式只含ξ的奇次項。2.ψn具有n宇稱上式描寫的諧振子波函數所包含的exp[-ξ2/2]是ξ的偶函數，所以ψn的宇稱由厄密多項式Hn(ξ)決定為n宇稱。《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)n=0n=1n=24.波函數然而，量子情況與此不同對于基態，其幾率密度是：ω0(ξ)=|ψ0(ξ)|2= =N02exp[-ξ2]分析上式可知：一方面表明在ξ=0處找到粒子的幾率最大；另一方面，在|ξ|≧1處，即在阱外找到粒子的幾率不為零，與經典情況完全不同。以基態為例，在經典情形下，粒子將被限制在|αx|<1范圍中運動。這是因為振子在這一點(|αx|=1)處，其勢能V(x)=(1/2)μω2x2={1/2}?ω=E0，即勢能等于總能量，動能為零，粒子被限制在阱內。

-3-2-10123E0E1E2《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)分析波函數可知量子力學的諧振子波函數ψn有n個節點，在節點處找到粒子的幾率為零。而經典力學的諧振子在[-a,a]區間每一點上都能找到粒子，沒有節點。-101ω0(ξ)ωn(ξ)n=2n=1n=0-11

-22-44|

10|2

5.幾率分布《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（三）實例解： （1）三維諧振子Hamilton量例1.求三維諧振子能級，并討論它的簡并情況《量子力學》經典(北京大學,一共含546張)（2）本征方程及其能量本征值解得能量本征值為：則波函數三方向的分量分別滿足如下三個方程：因此，設能量本征方程的解為：如果系統Hamilton量可以寫成