專題2.14等腰三角形的軸對稱性（直通中考）【要點回顧】【要點一】等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.【要點二】等腰三角形的性質1.等腰三角形的性質性質1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．2.等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．【要點三】等腰三角形的判定如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.一、單選題1．（2023·四川眉山·統考中考真題）如圖，中，，則的度數為（

）

A． B． C． D．2．（2023·內蒙古·統考中考真題）如圖，直線，直線與直線分別相交于點，點在直線上，且．若，則的度數為（

）

A． B． C． D．3．（2023·江蘇宿遷·統考中考真題）若等腰三角形有一個內角為，則這個等腰三角形的底角是（

）A． B． C． D．4．（2023·貴州·統考中考真題）5月26日，“2023中國國際大數據產業博覽會”在貴陽開幕，在“自動化立體庫”中有許多幾何元素，其中有一個等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為，腰長為，則底邊上的高是（

）

A． B． C． D．5．（2023·四川自貢·統考中考真題）第29屆自貢國際恐龍燈會“輝煌新時代”主題燈組上有一幅不完整的正多邊形圖案，小華量得圖中一邊與對角線的夾角，算出這個正多邊形的邊數是（

）

A．9 B．10 C．11 D．126．（2023·四川涼山·統考中考真題）如圖，在等腰中，，分別以點點為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧分別交于點和點，連接，直線與交于點，連接，則的度數是（

）

A． B． C． D．7．（2023·河北·統考中考真題）在和中，．已知，則（

）A． B． C．或 D．或8．（2023·河北·統考中考真題）四邊形的邊長如圖所示，對角線的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當為等腰三角形時，對角線的長為（

）

A．2 B．3 C．4 D．59．（2023·貴州·統考中考真題）如圖，在四邊形中，，，．按下列步驟作圖：①以點D為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交于E，F兩點；②分別以點E，F為圓心以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P；③連接并延長交于點G．則的長是（

）

A．2 B．3 C．4 D．510．（2023·甘肅武威·統考中考真題）如圖，是等邊的邊上的高，以點為圓心，長為半徑作弧交的延長線于點，則（

）

A． B． C． D．二、填空題11．（2023·江西·統考中考真題）將含角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已，點，表示的刻度分別為，則線段的長為cm．

12．（2023·新疆·統考中考真題）如圖，在中，若，，，則．

13．（2023·吉林·統考中考真題）如圖，在中，．點，分別在邊，上，連接，將沿折疊，點的對應點為點．若點剛好落在邊上，，則的長為．

14．（2023·浙江·統考中考真題）如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點，．若，則的長是．

15．（2023·四川·統考中考真題）如圖，，直線l與直線a，b分別交于B，A兩點，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點E，F，作直線，分別交直線a，b于點C，D，連接AC，若，則的度數為．

16．（2023·湖南·統考中考真題）如圖，已知，點D在上，以點B為圓心，長為半徑畫弧，交于點E，連接，則的度數是度．

17．（2023·內蒙古通遼·統考中考真題）如圖，等邊三角形的邊長為，動點P從點A出發以的速度沿向點B勻速運動，過點P作，交邊于點Q，以為邊作等邊三角形，使點A，D在異側，當點D落在邊上時，點P需移動s．

18．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在軸上，點B在軸上，，連接，過點O作于點，過點作軸于點；過點作于點，過點作軸于點；過點作于點，過點作軸于點；…；按照如此規律操作下去，則點的坐標為．

三、解答題19．（2022·四川自貢·統考中考真題）如圖，△是等邊三角形，在直線上，．求證：．20．（2023·江蘇蘇州·統考中考真題）如圖，在中，為的角平分線．以點圓心，長為半徑畫弧，與分別交于點，連接．

（1）求證：；（2）若，求的度數．21．（2023·湖北荊州·統考中考真題）如圖，是等邊的中線，以為圓心，的長為半徑畫弧，交的延長線于，連接．求證：．

22．（2023·內蒙古赤峰·統考中考真題）已知：如圖，點M在的邊上．求作：射線，使．且點N在的平分線上．作法：①以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交射線，于點C，D．②分別以點C，D為圓心．大于長為半徑畫弧，兩弧在的內部相交于點P．③畫射線．④以點M為圓心，長為半徑畫弧，交射線于點N．⑤畫射線．射線即為所求．

（1）用尺規作圖，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）根據以上作圖過程，完成下面的證明．證明：∵平分．∴①，∵，∴②，（

③

)．（括號內填寫推理依據）∴．∴．(

④

)．（填寫推理依據）23．（2023·湖北武漢·統考中考真題）如圖，在四邊形中，，點在的延長線上，連接．

（1）求證：；（2）若平分，直接寫出的形狀．24．（2022·青海·統考中考真題）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規律的圖形稱為“手拉手”圖形.（1）問題發現：如圖1，若和是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：；

圖1（2）解決問題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一條直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數及線段CM，AE，BE之間的數量關系并說明理由.

圖2參考答案1．C【分析】根據等腰三角形的等邊對等角和三角形的內角和定理，即可解答．【詳解】解：，，，故選：C．【點撥】本題考查了等腰三角形的等邊對等角性質，三角形內角和定理，熟知上述概念是解題的關鍵．2．C【分析】由，，可得，由，可得，進而可得的度數．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故選：C．【點撥】本題考查了等邊對等角，三角形的內角和定理，平行線的性質．解題的關鍵在于明確角度之間的數量關系．3．C【分析】先判斷出的內角是這個等腰三角形的頂角，再根據等腰三角形的定義求解即可得．【詳解】解：等腰三角形有一個內角為，∴這個等腰三角形的底角是，故選：C．【點撥】本題考查了等腰三角形的定義，三角形內角和定理，解題的關鍵是熟練掌握等腰三角形的兩個底角相等．4．B【分析】作于點D，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理可得，再根據含30度角的直角三角形的性質即可得出答案．【詳解】解：如圖，作于點D，

中,，，，，，故選B．【點撥】本題考查等腰三角形的性質，三角形內角和定理，含30度角的直角三角形的性質等，解題的關鍵是掌握30度角所對的直角邊等于斜邊的一半．5．D【分析】根據三角形內角和定理以及正多邊形的性質，得出，然后可得每一個外角為，進而即可求解．【詳解】解：依題意，，，∴∴∴這個正多邊形的一個外角為，所以這個多邊形的邊數為，故選：D．【點撥】本題考查了三角形內角和定理，正多邊形的性質，正多邊形的外角與邊數的關系，熟練掌握正多邊的外角和等于360°是解題的關鍵．6．B【分析】先根據等邊對等角求出，由作圖方法可知，是線段的垂直平分線，則，可得，由此即可得到．【詳解】解：∵在等腰中，，，∴，由作圖方法可知，是線段的垂直平分線，∴，∴，∴，故選B．【點撥】本題主要考查了等腰三角形的性質與判定，線段垂直平分線的尺規作圖，三角形內角和定理等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．7．C【分析】過A作于點D，過作于點，求得，分兩種情況討論，利用全等三角形的判定和性質即可求解．【詳解】解：過A作于點D，過作于點，∵，∴，當在點D的兩側，在點的兩側時，如圖，

∵，，∴，∴；當在點D的兩側，在點的同側時，如圖，

∵，，∴，∴，即；綜上，的值為或．故選：C．【點撥】本題考查了含30度角的直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，分類討論是解題的關鍵．8．B【分析】利用三角形三邊關系求得，再利用等腰三角形的定義即可求解．【詳解】解：在中，，∴，即，當時，為等腰三角形，但不合題意，舍去；若時，為等腰三角形，故選：B．【點撥】本題考查了三角形三邊關系以及等腰三角形的定義，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．9．A【分析】先根據作圖過程判斷平分，根據平行線的性質和角平分線的定義可得，進而可得，由此可解．【詳解】解：由作圖過程可知平分，，，，，，，故選A．【點撥】本題考查角平分線的作圖，平行線的性質，等腰三角形的判定，解題的關鍵是根據作圖過程判斷出平分．10．C【分析】由等邊三角形的性質求解，再利用等腰三角形的性質可得，從而可得答案．【詳解】解：∵是等邊的邊上的高，∴，∵，∴，故選C【點撥】本題考查的是等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，熟記等邊三角形與等腰三角形的性質是解本題的關鍵．11．【分析】根據平行線的性質得出，進而可得是等邊三角形，根據等邊三角形的性質即可求解．【詳解】解：∵直尺的兩邊平行，∴，又，∴是等邊三角形，∵點，表示的刻度分別為，∴，∴∴線段的長為,故答案為：．【點撥】本題考查了平行線的性質，等邊三角形的性質與判定，得出是解題的關鍵．12．【分析】根據等邊對等角得出，再有三角形內角和定理及等量代換求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，即，解得：，故答案為：．【點撥】題目主要考查等邊對等角及三角形內角和定理，結合圖形，找出各角之間的關系是解題關鍵．13．【分析】根據折疊的性質以及含30度角的直角三角形的性質得出，即可求解．【詳解】解：∵將沿折疊，點的對應點為點．點剛好落在邊上，在中，，，∴，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了折疊的性質，含30度角的直角三角形的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．14．4【分析】由可得，由是的垂直平分線可得，從而可得．【詳解】解：∵，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴．故答案為：4．【點撥】本題主要考查了線段垂直平分線的性質以及等角對等邊等知識，熟練掌握相關知識是解答本題的關鍵．15．/56度【分析】先判斷為線段的垂直平分線，即可得，，再由，可得，即有，利用三角形內角和定理可求的度數．【詳解】解：由作圖可知為線段的垂直平分線，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了垂直平分線的作圖、垂直平分線的性質、平行線的性質以及三角形內角和定理等知識，判斷為線段的垂直平分線是解答本題的關鍵．16．65【分析】根據題意可得，再根據等腰三角形兩個底角相等和三角形內角和為180°進行計算即可解答．【詳解】解：根據題意可得：，∴，∵，∴．故答案為：65．【點撥】本題主要考查了等腰三角形的性質、三角形內角和等要點，掌握等腰三角形的性質是解答本題的關鍵．17．1【分析】當點D落在上時，如圖，，根據等邊三角形，是等邊三角形，證明，進而可得x的值．【詳解】解：設點P的運動時間為，由題意得，，

∵，∴，∵和是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得．故答案為：1．【點撥】本題主要考查等邊三角形的性質，含角的直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，靈活運用等邊三角形的性質是解題的關鍵．18．【分析】根據題意，結合圖形依次求出的坐標，再根據其規律寫出的坐標即可．【詳解】解：在平面直角坐標系中，點A在軸上，點B在軸上，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，同理可得：均為等腰直角三角形，，根據圖中所有的三角形均為等腰直角三角形，依次可得：由此可推出：點的坐標為．故答案為：．【點撥】本題主要考查了平面直角坐標系中點的坐標特征，以及點的坐標變化規律問題，等腰直角三角形的性質，解題的關鍵是依次求出的坐標，找出其坐標的規律．19．詳見解析【分析】由等邊三角形的性質以及題設條件，可證△ADB≌△AEC，由全等三角形的性質可得．【詳解】證明：∵△是等邊三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACE，在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC(SAS)，∴．【點撥】本題考查等邊三角形的性質、補角的性質、全等三角形的判定和性質，綜合性強，但是整體難度不大．20．(1)見解析(2)【分析】（1）根據角平分線的定義得出，由作圖可得，即可證明；（2）根據角平分線的定義得出，由作圖得出，則根據三角形內角和定理以及等腰三角形的性質得出，，進而即可求解．【詳解】（1）證明：∵為的角平分線，∴，由作圖可得，在和中，，∴；（2）∵，為的角平分線，∴由作圖可得，∴，∵，為的角平分線，∴，∴【點撥】本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的性質與判定是解題的關鍵．21．見解析【分析】利用三線合一和等腰三角形的性質，證出，再利用等邊對等角即可．【詳解】證明：為等邊的中線，

，，，【點撥】本題考查了等邊三角形，等腰三角形的性質和判定，理解記憶相關定理是解題的關鍵．22．(1）見解析(2)①，②，③等邊對等角；④內錯角相等，兩直線平行【分析】（1）根據題意用尺規作圖，依作法補全圖形即可；（2）由平分推導，由推導，從而推出，繼而利用“內錯角相等，兩直線平行”判定．【詳解】（1）根據意義作圖如下：射線