2021年蘭州市高三診斷考試

數學(文科)

注意事項：

1.本試卷分第i卷(選擇題)和第ii卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務必將自己

的姓名、考號填寫在答題紙上。

2.本試卷滿分150分，考試用時120分鐘。答題全部在答題紙上完成，試卷上答題無

效。

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

I.已知集合M={x[0Wx<l}，N={x[y=lg(l-x)},則

A.[0,1)B.(0,1]c.(-8,1)D.[0,1]

2.己知復數z滿足1=上吆(z

’為虛數單位)，則z的虛部為

3.已知向量。,b滿足a=(4,0),b=(m,l),且⑷則〃，力的夾角大小為

7171-713兀

A.—B.—C.—D.—

4324

4.下圖是甲、乙兩組數據的頻率分布折線圖,第2分別表示甲、乙兩組數據的方差,

則s:，與2大小關系正確的是

頻率/組距頻率/組距

組距組距

甲組數據頻率分布折線圖乙組數據頻率分布折線四

222

A.S；<52B.sjf/C.51>52D.無法確定

22

5.點尸為雙曲線5?-三=1(。>0)右支上一點，K、居分別是雙曲線的左、右焦點.若

\PFy|=7,|Pg|=3,則雙曲線的一條漸近線方程是

A.2x+3y=0B.4x+9y=0C.3x-2y=0D.9x-4y=0

6.函數/(x)=xlnx的圖象如圖所示，則函數/(l—x)的圖象為

7.《九章算術》卷五《商功》中有如下問題：“今有委粟平地，下周一十二丈，高四丈”，

意思是：今將粟放在平地，谷堆下周長12丈，高4丈.將該谷堆模型看作一個圓錐，》

取近似值3,則該圓錐外接球的表面積約為

A.55平方丈B.75平方丈C.110平方丈D.150平方丈

7T\717T

8.已知cos(——<z)=-,——<a<—,貝Isin2a的值是

4344

9.己知命題p："a,b是兩條不同的直線，a是一個平面，若b_La,a±b,則a〃a”,

ix￡1

命題q：“函數/(x)=I''為R上的增函數下列說法正確的是

j2x-3,x>1,

A.“力八4”為真命題B.“〃八77”為真命題

為真命題D.為真命題

10.英國物理學家、數學家牛頓曾提出在常溫環境下溫度變化的冷卻模型：如果物體的初

始溫度是/°C，環境溫度是外℃,那么經過，小時后物體的溫度q°C將滿足

q=%+（%-4o）?a".通過實驗觀察發現，在2O°C的室溫下，一塊從冰箱中取出的

-20?C的凍肉經過0.5小時后溫度升至0。。，在相同的環境下利用牛頓冷卻模型計算:

溫度為100℃的水，冷卻到40℃,大約經過的時間為（忽略體積等其它因素的影響）

A.2.5小時B.2小時C.1.5小時D.1小時

11.已知函數/（幻=1一》,31--以,2_法3>00>0）的一個極值點為1,則出，的最大值為

12.已知尸（4,-5）是橢圓$+==1（。>3）外一點，經過點P的光線被y軸反射后，所有

a~9

反射光線所在直線中只有一條與橢圓相切，則橢圓的離心率為

第n卷

本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題?第21題為必考題，每個試題考生都必須

作答。第22題?第23題為選考題，考生根據要求作答。

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

|x-y?L

13.若滿足約束條件i2x+y?4,則2=%-2y的最小值為______________

|V0，

14.從1,3,9,27,81中任取兩個數，它們均小于這五個數的平均數的概率

是

已知八43。中，。為BC的中點，AB=2,AD=6,且——叱——=一上乂,

15.

2sinB+sinCcosC

則AC=_______________

16.如圖，正方體AC的棱長為1,點M是棱AR的中點，

過M的平面a與平面ABG平行，且與正方體各面相交得

到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為

三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(本小題滿分12分)

已知S“為等差數列｛4｝的前“項和，9包=9,卬=21.

§21

(I)求數列｛%｝的通項公式；

1

(II)若bn=―一，求數列｛瓦｝的前〃項和T?.

-.4+1

18.(本小題滿分12分)

在三棱錐產一6CD中，A是C。的中點，AB=AC,

BC=6,PB=BD=6y[3,PC=\2.

(I)證明：BC_L平面PBO；

(II)若尸O=6JJ,求點A到平面PBC的距離.

19.(本小題滿分12分)

某校高二生物研究性學習小組的同學們為了研究當地某種昆蟲的產卵數與溫度的變化

關系，他們收集了一只該種昆蟲在溫度x°C時相對應產卵數個數為y的8組數據，為了對

數據進行分析，他們繪制了如卜散點圖：

（I）根據散點圖，甲、乙兩位同學分別用y=Zzx+a和z=dc+c,（其中z=lny）

兩種模型進行回歸分析，試判斷這兩位同學得到的回歸方程中，哪一個的相關指數笈更接

近1；（給出判斷即可，不必說明理由）

（II）根據（I）的結論選定上述兩個模型中更適宜作為對昆蟲產卵數與溫度變化關

系進行回歸分析的模型，并利用下表中數據,計算該模型的回歸方程;（方程表示為y=

的形式，數據計算結果保留兩位小數）

888

XyZoo2

aa杉az

i=\Z=1/=!

26723.3118717575722

（IH）據測算，若一只此種昆蟲的產卵數超過e“，則會發生蟲害.研究性學習小組的

同學通過查閱氣象資料得知近期當地溫度維持在25℃左右，試利用（II）中的回歸方程預

測近期當地是否會發生蟲害。

附：對于一組數據（%,匕）,（w2,v2）,...,（H?,vn）,其回歸直線v=的斜率和

n___

Auivi-nuv

截距的最小二乘估計分別為0=嚀------—,&=v-bu.

o2-2

&%-nu

/=i

20.(本小題滿分12分)

已知拋物線y2=4x及點P(4,0).

(I)以拋物線焦點廠為圓心，|EP|為半徑作圓，求圓尸與拋物線交點的橫坐標；

(II)A、3是拋物線上不同的兩點，且直線AB與x軸不垂直，弦A3的垂直平分

線恰好經過點P,求E4?尸月的范圍.

21.(本小題滿分12分)

己知函數/(x)=y%2-(a2-a+2)x-(a3-2a2)Inx(a?0).

(I)當a=l時，求函數圖象在點(1,7(D)處的切線方程；

(II)若標1,當函數/(X)有且只有一個極值/(x°)時，g(%)=7f+21na,

(a-2)x0

求g(x°)的最大值.

22.［選修4-4：坐標系與參數方程］(本小題滿分10分)