第1頁/共15頁絕密★啟用前2022－2023學年度高一上學期半期監測試題數學注意事項：1．在作答前，考生務必將自己的姓名、考號涂寫在試卷和答題卡規定的地方．考試結束，請監考人員將答題卡收回．2．選擇題部分用2B鉛筆填涂；非選擇題部分使用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．3．請按照題號在答題卡上各題目對應的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題均無效．4．保持答題卡清潔，不得折疊、污染、破損等．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，集合，則集合()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據并集的概念即可得出答案.【詳解】集合，集合，所以，故選：D.2.命題“，x+1>0”的否定為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據給定條件，利用含有一個量詞的命題的否定求解作答.【詳解】命題“，x+1>0”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題“，x+1>0”的否定是.故選：B3.函數的定義域為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列出函數有意義的條件，解不等式組即可.【詳解】函數有意義，則有，解得且，所以函數定義域為，故選：C．4.高一某班有學生46人，其中體育愛好者有40人，音樂愛好者有38人，還有3人既不愛好體育也不愛好音樂，則該班既愛好體育也愛好音樂的學生人數為（）A.26 B.29 C.32 D.35【答案】D【解析】【分析】設未知數，利用容斥原理，得到方程，解出即可.【詳解】設既愛好體育又愛好音樂的人數為,則僅愛好體育的人數為,僅愛好音樂的人數為.因為既不愛好體育又不愛好音樂的人數為3,所以,解得.故選：D．5.要制作一個容積為8m3，高為2m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價是每平方米40元，側面造價是每平方米20元，則該容器的最低總造價為（）A.360元 B.420元 C.480元 D.600元【答案】C【解析】【分析】設出容器底面長與寬，根據給定條件，列出容器造價的表達式，借助均值不等式求解作答.【詳解】設容器底面長與寬分別xm和ym，依題意，2xy=8，即xy=4，于是得該容器總造價為，當且僅當x=y=2時取等號，所以該容器的最低總造價為480元.故選：C6.任給，對應關系使方程的解與對應，則是函數的一個充分條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據函數的定義，，，則的范圍要包含.【詳解】根據函數的定義，對任意，按，在的范圍中必有唯一的值與之對應，，則，則的范圍要包含，故選：A．7.已知正整數集合，，其中．若，且，則中所有元素之和為（）A.52 B.56 C.63 D.64【答案】A【解析】【分析】由題意可得，從而可求的值，根據可求，由并集運算可得，從而可求元素之和.【詳解】解：因為，且，所以.所以.由，可得.故由可得.所以.故,.所以,所有元素之和為52.故選:A．8.若實數、滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，，則，，可得出，利用基本不等式可求得的最大值.【詳解】令，，則，，且，所以，，當且僅當時，等號成立.因此，的最大值為.故選：C.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下列各組函數中，是相同函數的是（）A.與 B.與y=x－1C.與 D.與【答案】AC【解析】【分析】根據函數定義域和對應關系是否相同，對每個選項進行逐一分析和判斷，即可選擇.【詳解】對：函數定義域均為全體實數，且，兩函數對應關系相同，是同一個函數；對B：的定義域為，的定義域為，兩函數定義域不同，故不是同一個函數；對C：兩函數定義域均為全體實數，且對應關系相同，故是同一個函數；對D：的定義域為，的定義域為，兩函數定義域不同，故不是同一個函數.故選：AC.10.已知集合，，若，則實數a的值可以為（）A.2 B.1 C. D.0【答案】BCD【解析】【分析】由題意，分類討論求解集合并驗證即可.【詳解】方程解得或，∴，當時，方程解得，則，滿足，選項D正確；當時，方程解得，則，滿足，選項B正確；當且時，方程解得或，則，要滿足，則，即，選項C正確；故選：BCD．11.下列命題中，真命題的是（）A.若a＞b，c＞d，則ac＞bd B.若ac2＞bc2，則a＞bC.若a＜b＜0，則b2＜ab＜a2 D.若a＞b＞0，則【答案】BC【解析】【分析】利用不等式性質對選項逐一判斷即可.【詳解】對選項A，如反例a=2，b=－1，c=0，d=－1，故錯誤；對選項B，顯然c≠0，而c2＞0，兩邊同時除以c2得a＞b，故正確；對選項C，首先得b2，ab，a2均為正數，且∣a∣＞∣b∣，可得b2＜ab＜a2成立，故正確；對選項D，作差，要使結論成立，須ab＞1，如反例a=2，b=，故錯誤．故選：BC12.已知函數，其定義域為D，則下列結論中正確的有（）A.，B.若關于x方程有兩個實數解，則實數m的取值范圍為C.若，則關于x的方程有兩個不同的實數解D.關于x的方程有兩個不同的實數解【答案】ABC【解析】【分析】A根據解析式化簡即可；B、C根據圖象畫出圖象，并結合圖象性質判斷參數范圍和交點個數；D研究和的值域范圍即可判斷.【詳解】A：，，正確；B：由畫出圖象如下，其漸近線為，由圖知：有兩個實數解，則m的取值范圍為，正確；C：由恒過原點且斜率恒正，即圖象恒過一、三象限，結合圖象知：有兩個實數解，正確；D：由上分析知：值域為∪，而，其在R上的值域為，所以方程沒有實數解，錯誤.故選：ABC第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.用列舉法表示集合為________．【答案】##【解析】【分析】直接根據集合的表示法寫出即可.【詳解】，故用列舉法表示集合.故答案為:.14.命題“，方程有解”為假命題，則實數a的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】命題為假命題，等價于一元二次方程沒有實數根，判別式，可解實數a的取值范圍.【詳解】命題“，方程有解”為假命題，∴一元二次方程沒有實數根，判別式，解得，實數a的取值范圍為.故答案為：15.關于x的不等式，對滿足的任意正實數m，n都成立，則實數x的最大值為_________．【答案】9【解析】【分析】由基本不等式求出的最小值為9，所以恒成立，解出范圍即可.【詳解】已知，，，由基本不等式，有,當且僅當，時取等號，所以，解得，所以x的最大值為9．故答案為：916.已知函數滿足，當時，不等式恒成立，則實數a的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】根據給定條件，可得函數在R上遞減，再結合分段函數分段求解作答.【詳解】因，當時，不等式恒成立，則f(x)在R上單調遞減，由知，，則，當時，，當時，在上單調遞減，此時，解得，則，當時，因函數在上單調遞減，在上單調遞增，而函數在上單調遞減，必有，解得，則，所以實數a的取值范圍為.故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知集合，，記全集．（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據交集與補集的運算求解即可；（2）分與求解即可.【小問1詳解】（1）∵，∴或.當時，，∴.【小問2詳解】當時，，符合題意；當時，，則，此時．綜上，實數的取值范圍為．18.已知最高次項系數為a的二次函數f(x)的兩個零點為－3和1．（1）若f(x)與y軸的交點為（0，－3），求f(x)在[－2，2]上的最小值；（2）若f(x)在[－2，2]上的最大值為20，求a的值．【答案】（1）－4（2）－5或4【解析】【分析】(1)設二次函數方程為兩根式，用已知條件與y軸的交點為（0，－3）求得方程，結合給定區間求最值.(2)分兩種情況討論，由拋物線方程可得對稱軸為x=－1，則根據區間與對稱軸的關系找到最大值點即可求得.【小問1詳解】由已知設，則，得a=1．∴f(x)=x2+2x－3=（x+1）2－4，拋物線開口向上，對稱軸x=－1∈[－2，2]，偏左邊，故f(x)在[－2，2]上的最小值為f(x)min=f（－1）=－4．【小問2詳解】f(x)=a（x2+2x－3）=a（x+1）2－4a，拋物線的對稱軸x=－1∈[－2，2]，偏左邊．當a＞0時，f(x)在[－2，－1]上單調遞減，在[－1，2]上單調遞增，∴f(x)max=f(2)=5a=20,，解得a=4．同理，當a＜0時，f(x)max=f（－1）=－4a=20解得a=－5．綜上，a的值為－5或4．19.已知，．（1）分別求x與y的取值范圍；（2）求8x+y的取值范圍．【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）由，，根據不等式的性質即可求解；（2）方法一：設8x+y=m（x－y）+n（2x+y），求出,根據不等式的性質即可求解；方法二：在平面直角坐標系中，作出四條直線y=x+2，y=x，y=－2x+1，y=－2x+3，設z=8x+y，作出一次函數y=－8x+z的大致圖象，數形結合即可求解.【小問1詳解】因為，，所以，即，解得.因為，所以，即.所以，即，解得.【小問2詳解】方法一：設8x+y=m（x－y）+n（2x+y），則，解得.∴8x+y=2（x－y）+3（2x+y）．又－4＜2（x－y）＜0，3＜3（2x+y）＜9，因此8x+y∈（－1，9）．方法二：在平面直角坐標系中，作出四條直線y=x+2，y=x，y=－2x+1，y=－2x+3，它們產生了四個交點，，，，四個交點圍成的陰影部分，有＜x＜1，＜y＜．設z=8x+y，作出一次函數y=－8x+z的大致圖象，設它經過點A、C時z=－1，z=9，所以z=8x+y∈（－1，9）．20.已知函數（1）我們在教材79頁例3曾學習研究過函數有關性質，試對比著將函數通過換元化為上述函數的情形，并求的最小值；（2）判斷在上的單調性，并用定義加以證明．【答案】（1）（其中）；最小值為；（2）函數在上單調遞減，證明見解析【解析】【分析】（1）設，，利用換元法整理，再利用基本不等式對的最小值即可；（2）利用函數單調性的定義，結合作差，可得答案【小問1詳解】設，則，且，于是，又，當且僅當，即時取等號，此時，所以的最小值為；【小問2詳解】由（1）可得，所以設，則因為，所以，有即，進而可得，所以函數在上單調遞減．21.已知關于x的不等式的解集為P，不等式的解集為Q．（1）當時，求集合P；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)把代入不等式，解此分式不等式，得解集P；（2）因為“”是“”的必要不充分條件，所以是Q的真子集，轉化為數集的包含關系，分類討論，求解集合P，求實數a的取值范圍．【小問1詳解】當時，不等式等價于，解得，所以．【小問2詳解】不等式解得或，∴．因為“”是“”的必要不充分條件，所以是Q的真子集．不等式等價于，當時，不等式解得，，此時符合題意；當時，不等式解得，，此時符合題意；當時，不等式解得或，，此時符合題意需要，所以；當時，不等式解得，，此時不符合題意；當時，不等式解得或，，此時不符合題意．綜上，實數的取值范圍為．22已知函數，．（1）若函數在上單調，求實數的取值范圍；（2）用表示，中的最小值，設函數，試討論的圖象與軸的交點個數．【答案】（1）；（2）具體見解析.【解析】【分析】（1）根據二次函數的對稱軸和區間之間的關系，列出不等式關系，求解即可；（2）對參數進行分類討論，結合的函數值范圍，以及二次函數的特點，求解即可.【