專題3.15同底數(shù)冪的除法（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握并理解同底數(shù)冪的除法運(yùn)算公式；2.會用同底數(shù)冪的除法性質(zhì)進(jìn)行計算．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、同底數(shù)冪的除法法則同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即（≠0，都是正整數(shù)，并且）特別說明：（1）同底數(shù)冪乘法與同底數(shù)冪的除法是互逆運(yùn)算.（2）被除式、除式的底數(shù)相同，被除式的指數(shù)大于除式指數(shù)，0不能作除式.（3）當(dāng)三個或三個以上同底數(shù)冪相除時，也具有這一性質(zhì).（4）底數(shù)可以是一個數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.要點(diǎn)二、零指數(shù)冪任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.即（≠0）特別說明：底數(shù)不能為0，無意義.任何一個常數(shù)都可以看作與字母0次方的積.因此常數(shù)項(xiàng)也叫0次單項(xiàng)式.【典型例題】類型一、同底數(shù)冪除法運(yùn)算 1．本學(xué)期我們學(xué)習(xí)了“有理數(shù)乘方”運(yùn)算，知道乘方的結(jié)果叫做“冪”，下面介紹一種有關(guān)“冪”的新運(yùn)算．定義：與（，，都是正整數(shù)）叫做同底數(shù)冪，同底數(shù)冪除法記作．運(yùn)算法則如下：根據(jù)“同底數(shù)冪除法”的運(yùn)算法則，回答下列問題：（1）填空：______，______；（2）如果，且，求出的值；（3）如果，則______．【答案】（1），；（2）；（3），，．【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則計算可得；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則列出方程：；（3）分三種情況：①非零數(shù)零指數(shù)冪等于1；②1的任何次乘方都等于1；③的偶次乘方等于1可得．解：（1），，故答案為：，；（2）因?yàn)椋裕裕唬?）由題意知，①，解得：；②，解得：；③且為偶數(shù)，解得：；綜上，，，．【點(diǎn)撥】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的除法法則、分類討論思想運(yùn)用等知識點(diǎn)．舉一反三：【變式1】計算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）1；（2）；（3）1．【分析】（1）（2）（3）都可以用同底數(shù)冪乘除法法則，底數(shù)不變指數(shù)相加減．解：（1）；（2）；（3）．【點(diǎn)撥】本題考查了冪的運(yùn)算性質(zhì)，正確理解題意、靈活應(yīng)用冪的乘方逆運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】計算：．【答案】【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計算．解：原式．【點(diǎn)撥】本題考查冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握冪的運(yùn)算法則．【變式3】【答案】【分析】先變形：，再把看整體，利用同底數(shù)冪的除法可得答案．解：原式．【點(diǎn)撥】本題考查的是乘方符號的確定，同底數(shù)冪的除法的運(yùn)算，掌握運(yùn)算知識是解題的關(guān)鍵．類型二、同底數(shù)冪除法的逆用 2．(1)已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示下列代數(shù)式：①求：22m+3n的值②求：24m﹣6n的值(2)已知2×8x×16＝223，求x的值．【答案】（1）①ab，②（2）x=6【分析】（1）①根據(jù)題意分別將4m，8n化為底數(shù)為2的形式，然后代入求解；②根據(jù)題意分別將4m，8n化為底數(shù)為2的形式，然后代入求解（2）由題意將8x化為23x，將16化為24，列出方程求出x的值．解：（1）∵4m=a，8n=b，∴22m=a，23n=b，①22m+3n=22m?23n=ab；②24m-6n=24m÷26n=（22m）2÷（23n）2=；（2）∵2×8x×16=223，∴2×（23）x×24=223，∴2×23x×24=223，∴1+3x+4=23，解得：x=6．【點(diǎn)撥】本題考查同底數(shù)冪的除法以及冪的乘方和積的乘方，熟練掌握相關(guān)的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知am＝4，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．【答案】【分析】先逆用同底數(shù)冪的除法，對am－n－1進(jìn)行變形，再代入數(shù)值進(jìn)行計算．解：∵am＝4，an＝2，a＝3，∴am－n－1＝am÷an÷a＝4÷2÷3＝．【點(diǎn)撥】本題主要是考查了同底數(shù)冪的除法，熟練地逆用同底數(shù)冪的除法法則，是解決本題的關(guān)鍵．【變式2】已知，，求的值．【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪除法逆運(yùn)算的法則解答．解：∵，，∴=．【點(diǎn)撥】此題考查整式的除法計算，同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減，熟記法則是解題的關(guān)鍵．【變式3】若am=6，an=2，求a2m?n的值．【答案】【分析】根據(jù)逆用冪的乘方以及同底數(shù)冪的除法運(yùn)算計算即可．解：a2m?n．【點(diǎn)撥】本題考查了冪的乘方以及同底數(shù)冪的除法，掌握以上運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．類型三、冪的混合運(yùn)算 3．計算：．【答案】【分析】先運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方進(jìn)行化簡，然后再合并同類項(xiàng)，最后算除法即可．解：===．【點(diǎn)撥】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方以及同底數(shù)冪除法，靈活應(yīng)用相關(guān)運(yùn)算法則成為解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知，求的值．【答案】-3【分析】運(yùn)用冪的乘方，把底數(shù)都化為3的形式，結(jié)合同底數(shù)冪的乘法得出，求出m的值，算乘方，算乘除，最后把m的值代入求出即可．解：∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了整式的混合運(yùn)算和求值的應(yīng)用，能運(yùn)用整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡和求出m的值是解此題的關(guān)鍵．【變式2】閱讀材料，回答問題．已知，，若，，則，的大小關(guān)系是_______（填“＜”或“＞”）．解：因?yàn)椋裕?因?yàn)椋裕?）上述求解過程中，逆用了哪一條冪的運(yùn)算性質(zhì)（）A．同底數(shù)冪的乘法B．同底數(shù)冪的除法C．冪的乘方D．積的乘方（2）已知，，利用材料中的逆向思維分別求和的值．【答案】（1）C；（2），【分析】(1)根據(jù)冪的乘方進(jìn)行解答即可；(2)根據(jù)題目所給的求解方法，進(jìn)行比較．解：(1)上述求解過程中，逆用了冪的乘方，故選C；(2)∵，當(dāng)，時，；∵，當(dāng)時，．【點(diǎn)撥】本題考查了冪的乘方和積的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則、逆用冪的乘方和積的乘方是解本題的關(guān)鍵．【變式3】計算：【答案】解：原式＝=點(diǎn)評：本題難度較低，主要考查學(xué)生對整式運(yùn)算知識點(diǎn)的掌握．易錯：冪的乘方注意指數(shù)相乘不是相加．類型四、零指數(shù)冪和負(fù)指數(shù)冪 3．計算；【答案】（1）-2；（2）【分析】原式根據(jù)絕對值的代數(shù)意義，零指數(shù)冪的運(yùn)算法則以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡各項(xiàng)，然后再進(jìn)行加減運(yùn)算即可；解：（1）=2-1-3=-2；【點(diǎn)撥】此題主要考查了整式的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】計算【答案】（1）4；（2）【分析】（1）先計算乘方，然后乘除，最后加減，即可得到答案；解：（1）原式===4【點(diǎn)撥】本題考查了乘方、負(fù)指數(shù)冪、零次冪、同底數(shù)冪乘法、冪的乘方與合并同類項(xiàng)的綜合計算題，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則，正確的進(jìn)行計算.【變式2】計算：（1）（﹣2）2+（﹣）﹣1﹣（3﹣2）0（2）a2﹣（a2）3﹣（﹣a）2【答案】（1）1；（2）﹣a6．【分析】（1）先計算乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪，再計算加減可得；（2）先計算冪的乘方，再合并同類項(xiàng)即可得．解：（1）原式＝4+（﹣2）﹣1＝1；（2）原式＝a2﹣a6﹣a2＝﹣a6．【點(diǎn)撥】本題主要考查冪的乘方與積的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法和零指數(shù)冪的法則．【變式3】計算：（1）（2）【答案】（1）4