一類關系方程的一個解

1交既約元的解集設置i和j表示索引集，a=（aj）ij是系數矩陣，b=（bi）tii是已知列向量，并用它代替。為一個取值于完備Brouwerian格上的@-Fuzzy關系方程,其中@表示inf-α合成,且所有的aij,bi均取值于完備Brouwerian格L.方程(1)的一個特殊情況為其中b∈L,A=(ai)i∈I為一行向量.記方程(2)的解集為χ2={X:A@X=b}.在E.Sanchez介紹了Fuzzy關系方程的理論以后,許多研究工作者進一步擴大了此理論的研究.1985年,A.D.Nola,W.Pedrycz及S.Sessa引入了@-Fuzzy關系方程并找到了方程的最小解,得到了@-Fuzzy關系方程有解的一個充要條件,即一個@-Fuzzy關系方程有解當且僅當方程有最小解.1989年,A.D.Nola,W.Pedrycz和E.Sanchez等又在線性格上討論了@-Fuzzy關系方程并構造出了其極大解.作者于另文中在完備Brouwerian格上從最簡單的@-Fuzzy關系方程aαx=b開始討論,得到了其解集;進一步,假設方程(2)的b是格上的一個交既約元而得到了方程(2)的解集χ2;又在假設方程(1)中B的每一個分量bi(i∈{1,2,…,n})是交既約元的情況下,得到了方程(1)的解集;在此基礎上,作者又已經在完備Brouwerian格上假設方程(2)的b有不可約有限交分解時找到了方程(2)有解的一個充要條件并構造出了其極大解,從而給出了解集χ2,又進一步在假設方程(1)中B的每一個分量bi(i∈{1,2,…,n})有不可約有限交分解的情況下確定了方程(1)的解集.作者以前的工作都是在有限論域上討論@-Fuzzy關系方程,而本文則是在論域為無限集時在完備Brouwerian格上討論@-Fuzzy關系方程,并且只討論方程(2).在假設方程(2)的b為完全交既約元或有不可約完全交既分解時,構造出了方程的極大解且對方程的解集中每一個解都找到了一個大于等于它的極大解.全文假設L=(L,≤,∨,∧)是一個具有泛界0和1的完備無限分配Brouwerian格,其中任取a,b∈L,a∨b=sup{a,b},a∧b=inf{a,b},“≤”表示格L上的偏序.還假設所有的向量及矩陣的元均取自格L.除特別申明外的其它符號及定義可參考文.定義1如果格L滿足:任取a,b∈L,存在使a∧x≤b成立的最大的元x,則稱L為一個Brouwerian格,記該最大元為aαb.如果格L還是完備的,則稱L為一個完備Brouwerian格.引理1任取a,b∈L,則aαb=aα(a∧b),aαb≥b.引理2任取a,b∈L,則a≤b當且僅當aαb=1.定義2設L為格,任取x,y,b∈L,如果b=x∧y蘊含x=b或y=b則稱b為格L的交既約元.引理3如果p為分配格L的交既約元,a∈L且a≤p,則aαp=p.引理4如果a∈L,{xi|i∈I}?L,其中I是某個指標集,則aα(∧i∈Ixi)=∧i∈I(aαxi).定義3設A=(aij)I×J,B=(bjk)J×K,定義A@B=C=(cij)I×K如下:任取i∈I,j∈K,cij=∧r∈J(airαbrj).cij=∧r∈J(airαbrj).定義4設A=(aij)I×J,B=(bij)I×J,定義A≤B當且僅當任取i∈I,j∈J,aij≤bij.引理5設B和C表示格L上n×r階矩陣,且B≤C.則對每一個m×n階矩陣A,A@B≤A@C.定義5設L為完備格,a∈L,如果任取S?L,由a∈S可推出a∈S,則稱a為L的完全交既約元.注1明顯地,完全交既約元是交既約元的一個特例.引理6設L為完備Brouwerian格,任取a∈L,S?L,如果a為完全交既約元且a≥∧S,則存在p∈S使a≥p.證明如果a≥∧S,則由L為無限分配格知a=a∨(∧S)=∧q∈S(a∨q),進一步由定義5知存在p∈S使a=a∨p,所以存在p∈S使a≥p.推論1對于方程b=A@X=∧i∈I(aiαxi),如果b有不可約完全交分解∧Q,則任取p∈Q,存在i∈I使aiαxi≤p.定義6設L為完備格,a∈L,如果存在L中若干完全交既約元構成的集合Q使a=∧Q,則稱a有完全交既分解.進一步,如果任取p∈Q,a≠∧Qp},則稱a有不可約完全交既分解.注2由定義5,6易見,若a為格L的完全交既約元,則a有不可約完全交既分解.引理7完備無限分配格的元的不可約完全交既分解如果存在,一定是唯一的.證明設a∈L,a=∧Q和a=∧D分別為a的任意兩個不可約完全交既分解.任取p∈Q,p≥∧D,則由引理7知,存在q∈D,使p≥q.若p>q,而q≥∧Q,則存在p1∈Q,使q≥p1.于是有p>p1,因此a=∧(Qp})與∧Q是a的不可約完全交既分解相矛盾,所以p=q.同樣,任取q∈D,也存在p∈Q使q=p.所以Q=D.定義7S為一偏序集P的非空子集,a∈S,若不存在x∈S使得x>a,則稱a為S的一個極大元.定義8稱所討論的Fuzzy關系方程的解集中的極大元(如果存在)為所討論的Fuzzy關系方程的一個極大解.注3設X*∈χ(χ為所討論的Fuzzy關系方程的解集).于是由定義7知,X*是χ的極大元當且僅當任取X∈χ,如果X≥X*,則X=X*.2極大元x#本節將在論域為無限集時在完備無限分配Brouwerian格上證明如果方程(2)有解且b為完全交既約元或有不可約完全交既分解,則對于方程(2)的每一個解至少存在一個大于等于它的極大解.設I為無限集,記G(b)={i∈I:ai≤b}.第一作者和其它合作者在另文中已經證得下面一個引理(待發表):引理8如果X=(xi)Ti∈I∈χ2,且b有不可約完全交既分解∧Q,則任取p∈Q,存在i∈I使得aiαxi≤p,且aiαxi≤p蘊含ai≤p.命題1如果χ2≠>,且G(b)=>,則b不是完全交既約元.證明若b為完全交既約元,則由χ2≠>知存在X=(xi)Ti∈I使得b=∧i∈I(aiαxi).由定義5知存在i∈I使b=aiαxi,又由引理8得ai≤b,于是i∈G(b),此與G(b)=>矛盾.推論2如果b為完全交既約元,則χ2≠>當且僅當G(b)≠>.命題2如果χ2≠>,且b為完全交既約元,則χ2有極大元.證明若χ2≠>,則由推論2知G(b)≠>.設k∈G(b),令X*=(x*i)i∈I滿足:任取i∈I,則由引理2,5,注1及引理8得故X*∈χ2.下證X*是χ2的極大元.假設存在X=(xi)Ti∈I∈χ2使得X≥X*,由定義4,任取i∈I,xi≥x*i.不妨設x*k≠1,則xk=1,否則若xk=1,又當i≠k時,由xi≥x*i知xi=1,這樣就有X=(1,1,…,1,…)T,從而A@X=1≠b,矛盾.于是由(3)式,引理2,5,注1及引理3知所以xk=x*k.因此X=X*,進一步由注3知X*就是χ2的極大元.引理9若方程aαx=b有解,則b是方程的最大解.第一作者和其它合作者在另文中已證明該引理(待發表).命題3如果χ2≠>,且b為完全交既約元,則χ2的所有極大元都具有(3)式的形式.證明若χ2≠>,設X=(xi)Ti∈I為χ2的任一極大元,于是b=∧i∈I(aiαxi).由注1及定義5知,存在k∈I使b=akαxk.定義C=(ci)Ti∈I如下:任取i∈I,于是由引理9及定義4得C≥X,又由命題2的證明知C∈χ2,再由注3知X=C,故χ2的所有極大元都具有(3)式的形式.推論3如果χ2≠>,且b為完全交既約元,則任取X∈χ2,至少存在χ2的一個極大元X*滿足X*≥X.證明由推論2,命題2和3即知.設A=(ai)i∈I,b∈L,定義Aγb=(aiγb)i∈I,其中由推論2,命題2及3易得下一命題成立.命題4如果χ2≠>,且b為完全交既約元,則χ2中所有的極大元之交等于Aγb,且χ2中極大元的個數為|G(b)|.由引理7,下設b有不可約完全交既分解∧Q.設A,B是兩個集合,(1)定義A\B{x∈A:x?B};(2)如果集合B是集合A的子集,以下約定A|B=B.命題5如果χ2≠>,且b有不可約完全交既分解∧Q,則任取X∈χ2,至少存在χ2的一個極大元X*滿足X*≥X.證明由χ2≠>,可設X=(xi)Ti∈I∈χ2,于是b=∧i∈I(aiαxi)=∧Q.因此任取p∈Q,p≥∧i∈I(aiαxi),由推論1及引理1知存在i∈I使p≥aiαxi≥xi,因此可作Q的子集族如下:由引理8得易見∪i∈ΙˉAi=∪i∈ΙAi=Q∪i∈IAˉˉˉi=∪i∈IAi=Q,對子集族ˉAAˉˉˉi,i∈I,作如下改造:任取p∈Q,讓p屬于且僅屬于一個ˉˉAi,i∈Ι.(4)任取p∈Q,讓p屬于且僅屬于一個Aˉˉˉˉˉˉi,i∈I.(4)記改造后的子集族ˉAAˉˉˉi,i∈I,為ˉˉAAˉˉˉˉˉˉi,i∈I.于是∪i∈ΙˉˉAi=Q.且任取i,j∈I,如果i≠j,則ˉˉAi∩ˉˉAj=>.令X*=(x*i)i∈I滿足:任取i∈I,于是由引理2,4,注1及引理3得因此X*∈χ2,易見X*≥X.下證X*就是χ2的極大元.設存在X**=(x**i)Ti∈I∈χ2使X**≥X*,由定義4,即任取i∈I,x**i≥x*i.不妨設x*k≠1,下證x**k=x*k.事實上,由x*k≠1知ˉˉAk≠>,對任取p∈ˉˉAk,由p≥b=∧i∈I(aiαx**i)及推論2和引理1知存在ik∈I使p≥aikαx**ik≥x**ik,可以斷言ik=k.否則若ik≠k,則由p≥x**ik≥x*ik及p≠1知x*ik≠1.于是由X*的構造知ˉˉAi