平行導(dǎo)向柔性桿動(dòng)力學(xué)建模方法

0柔性機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模采用順附機(jī)構(gòu)取代傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)，依靠順附器官的大變形來傳遞力、運(yùn)動(dòng)和能量。柔順機(jī)構(gòu)以結(jié)構(gòu)簡單、容易制造、無摩擦磨損、容易裝配、高精度及高可靠性、輕質(zhì)量及實(shí)現(xiàn)微型化等優(yōu)點(diǎn)在機(jī)械應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi)有著廣泛的使用。目前對柔順機(jī)構(gòu)的研究主要集中在運(yùn)動(dòng)學(xué)領(lǐng)域。HOWELL等提出了基于運(yùn)動(dòng)等效的偽剛體模型法。FRECKER等從結(jié)構(gòu)學(xué)的角度對柔順機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了分析。SAXCENA等基于結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的均勻化方法對柔順機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)優(yōu)化。但是對柔順機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究還比較少。在研究柔順機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題時(shí),文獻(xiàn)中把它等效偽剛體模型并看作動(dòng)力學(xué)模型來分析。基于偽剛體模型,文獻(xiàn)中提出了柔順機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)等效模型。在推導(dǎo)柔性桿動(dòng)能時(shí),兩者都沒有考慮柔性桿件變形對動(dòng)能計(jì)算所造成的影響。本文充分考慮柔性桿的變形特性,結(jié)合偽剛體模型所得末端點(diǎn)邊界條件,通過數(shù)值擬合方法,建立柔性桿的變形曲線,進(jìn)而推導(dǎo)出柔性桿的動(dòng)能表達(dá)式。根據(jù)柔性桿變形能等于末端作用力所做的功,結(jié)合偽剛體模型,對剛性桿末端作用力進(jìn)行路徑積分,推導(dǎo)出柔性桿勢能表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上建立了平行導(dǎo)向柔順機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。最后,通過具體算例證明該模型是可行的。1柔性桿動(dòng)能的澄清1.1大變形情況下柔性桿動(dòng)能表達(dá)推導(dǎo)柔順機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型是研究機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的前提和基礎(chǔ),而建立柔順機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型的關(guān)鍵是確定系統(tǒng)中柔順元件的動(dòng)能及勢能表達(dá)式。如何推導(dǎo)柔性桿的動(dòng)能表達(dá)式是一個(gè)待解決的問題。文獻(xiàn)所建立的動(dòng)力學(xué)模型并沒有考慮柔性桿大變形所產(chǎn)生的影響。針對上述問題,本文提出一種用于大變形情況下柔性桿動(dòng)能表達(dá)推導(dǎo)的新方法。基本思想是:在大變形狀態(tài)下,由歐拉一伯努利方程建立柔性桿模型的變形方程。由文獻(xiàn)可知,基于運(yùn)動(dòng)等效所提出的偽剛體模型主要以柔性桿末端點(diǎn)為研究對象而且偽剛體模型的準(zhǔn)確性已經(jīng)得到驗(yàn)證。根據(jù)柔性桿的偽剛體模型,確定末端點(diǎn)的位置坐標(biāo)及轉(zhuǎn)角以及運(yùn)動(dòng)與末端作用力的關(guān)系。根據(jù)柔性桿模型所得變形方程并結(jié)合偽剛體模型確定的邊界條件,通過數(shù)值模擬方法,擬合出柔性桿變形曲線。變形曲線對時(shí)間求導(dǎo),得到柔性桿上任意點(diǎn)的速度。然后,對整個(gè)柔性桿動(dòng)能積分便可以推導(dǎo)出柔性桿動(dòng)能表達(dá)式。結(jié)合柔性桿的不同受力模式,給出動(dòng)能表達(dá)的詳細(xì)推導(dǎo)過程。1.2柔性桿動(dòng)能積分圖1a所示為末端純力矩M作用下的柔性桿模型。l為柔性桿長,P為柔性桿上任意一點(diǎn),位置坐標(biāo)(x,y),柔性桿在該點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角為θ,柔性段OP長度為s。對于柔性桿模型,由歐拉一伯努利方程,可得柔性桿上任一點(diǎn)P的位姿為式中EI為柔性桿的剛度。對圖1中柔性桿上的點(diǎn)O、A,由式(1)可得由文獻(xiàn)知,柔性桿的等效偽剛體模型如圖1b所示。y為剛性桿長系數(shù),Φ為剛性桿的等效轉(zhuǎn)角。根據(jù)偽剛體模型所示,易得末端點(diǎn)A的位姿為式中γ=0.7346,cθ=1.5164。聯(lián)立式(3)、(4),可得末端點(diǎn)A的位姿聯(lián)立式(1)、(2)、(5),推導(dǎo)柔性桿上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)可表示為(用剛性桿轉(zhuǎn)角θ表示)柔性桿變形曲線對時(shí)間求導(dǎo),得到桿上任一點(diǎn)P的速度為對柔性桿動(dòng)能積分,則柔性桿的動(dòng)能為式中p——柔性桿材料密度聯(lián)立式(7)、(8),可得柔性桿動(dòng)能為式中m——柔性桿質(zhì)量kΦ——?jiǎng)幽墚?dāng)量系數(shù)由式(10)中可以看出,動(dòng)能當(dāng)量系數(shù)kΦ表示為剛性轉(zhuǎn)角Φ的函數(shù)。通過數(shù)值模擬方法,kΦ簡化為多項(xiàng)式形式圖2a、2b分別給出了簡化前后即式(10)、(11)所得動(dòng)能當(dāng)量系數(shù)的比較以及相對誤差分析。結(jié)果表明,當(dāng)剛性轉(zhuǎn)角Φ=0～1.5rad時(shí),計(jì)算相對誤差只有0.5%,這說明動(dòng)能當(dāng)量系數(shù)kΦ的簡化表達(dá)式是可行的。圖3a所示為末端豎直力F作用下的柔性桿模型。l為柔性桿長,P為柔性桿上任意一點(diǎn),位置坐標(biāo)(x,y),柔性桿在該點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角為θ,柔性段OP長度為s。對于柔性桿模型,由歐拉一伯努利方程,可得柔性桿上任一點(diǎn)P滿足方程易知柔性桿的邊界條件為由文獻(xiàn)可得此柔性桿的等效偽剛體模型,如圖3b所示。γ為剛性桿長系數(shù),Φ為剛性桿的等效轉(zhuǎn)角。由偽剛體模型易得末端點(diǎn)A的位姿為式中γ=0.8517,cθ=1.2385。由于在大變形情況下,根據(jù)式(12)～(14)無法求出變形曲線的解析解。因而通過數(shù)值模擬及多項(xiàng)式擬合方法,導(dǎo)出柔性桿變形曲線及柔性桿上任一點(diǎn)P的位置坐標(biāo)(x,y)為式中l(wèi)s=s/l圖4a是柔性桿末端在垂直力作用下,在不同等效轉(zhuǎn)角Φ時(shí),變形曲線擬合多項(xiàng)式所得柔性桿變形情況與ANSYS仿真結(jié)果的比較。從圖4a中可以看出,兩者是比較吻合的。圖4b是兩者所得結(jié)果的相對誤差分析。圖4b分析表明,由于在固定段附近,柔性桿的變形量較小,在靠近固定端O處相對誤差稍大些,但是仍小于1%,而當(dāng)柔性段相對長度x/l>0.2時(shí),兩者相對誤差不足0.05%。上面的結(jié)果對比及誤差分析表明,柔性桿變形曲線的擬合多項(xiàng)式是可行的。對柔性桿任意點(diǎn)P的位置坐標(biāo)(X,Y)如式(15)所示對時(shí)間求導(dǎo),可得該點(diǎn)的速度為根據(jù)所求得任意點(diǎn)P的速度,對整桿進(jìn)行動(dòng)能積分,得柔性桿的動(dòng)能為聯(lián)立式(16)、(17),解得柔性桿的動(dòng)能為顯然,動(dòng)能當(dāng)量系數(shù)表達(dá)式(19)比較復(fù)雜。為簡化計(jì)算,通過數(shù)值模擬及多項(xiàng)式擬合方法,簡化為三次多項(xiàng)式形式圖5a、5b是簡化前后即式(19)、(20)的動(dòng)能當(dāng)量系數(shù)計(jì)算結(jié)果對比與誤差分析。從圖5中可以看出,兩者是比較吻合的,相對誤差保持在0.5%以內(nèi)。這說明動(dòng)能當(dāng)量系數(shù)的簡化表達(dá)式是可行的。1.4柔性桿變形曲線圖6a所示為固定—導(dǎo)向模式下的柔性桿模型。根據(jù)柔性桿模型,由歐拉一伯努利方程,可得柔性桿上任意一點(diǎn)P滿足方程易知該柔性桿模型的邊界條件為由文獻(xiàn)可知,偽剛體模型如圖6b所示。γ為剛性桿長系數(shù),Φ為剛性桿的等效轉(zhuǎn)角。對于偽剛體模型,易得末端點(diǎn)A的位置為式中γ=0.8157。由于在大變形情況下,根據(jù)式(21)～(24)無法求出變形曲線的解析解。因而本文通過數(shù)值模擬及多項(xiàng)式擬合方法,導(dǎo)出柔性桿變形曲線即柔性桿上任一點(diǎn)P的位置坐標(biāo)(x,y)為式中l(wèi)s=s/l圖7a是柔性桿在固定—導(dǎo)向模式下,在不同等效轉(zhuǎn)角Φ時(shí),變形曲線擬合多項(xiàng)式所得柔性桿變形情況與ANSYS仿真結(jié)果的比較。從圖7a中可以看出,兩者是比較吻合的。圖7b是兩者所得結(jié)果的相對誤差分析。圖7b分析結(jié)果表明,由于在固定端附近,柔性桿的變形量較小,因而在接近固定端O處相對誤差稍大些,但是仍然小于0.5%,而當(dāng)柔性段相對長度x/l>0.2時(shí),兩者相當(dāng)誤差不足0.05%。從上面的結(jié)果對比及誤差分析表明,柔性桿變形的擬合多項(xiàng)式是可行的。對柔性桿任意一點(diǎn)P的位置坐標(biāo)(x,y)如式(25)所示,對時(shí)間求導(dǎo)可得該點(diǎn)的速度為根據(jù)所求得任意一點(diǎn)P的速度,對整桿進(jìn)行動(dòng)能積分,得柔性桿的動(dòng)能為聯(lián)立式(26)、(27),可得柔性桿的動(dòng)能表達(dá)式式中m——柔性桿質(zhì)量——?jiǎng)幽墚?dāng)量系數(shù)顯然,動(dòng)能當(dāng)量系數(shù)表達(dá)式(29)比較復(fù)雜。為簡化計(jì)算,通過數(shù)值模擬及多項(xiàng)式擬合方法,簡化為三次多項(xiàng)式形式圖8a、8b是簡化前后即式(29)、(30)的動(dòng)能當(dāng)量系數(shù)計(jì)算結(jié)果對比。從圖8中可以看出,兩者是比較吻合的,相對誤差保持在0.01%以內(nèi)。這說明動(dòng)能當(dāng)量系數(shù)的簡化表達(dá)式是可行的。2柔性桿彈性勢能的導(dǎo)出2.1柔性桿彈性勢能柔性桿彈性勢能表示式也是建立柔順機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型的關(guān)鍵。根據(jù)功能轉(zhuǎn)化原理,作用在柔性桿末端的力(力矩)所做功的大小在數(shù)值上等于柔性桿彈性勢能的變化。那么,柔性桿的彈性勢能就等于柔性桿模型末端作用力對末端軌跡的路徑積分。由文獻(xiàn)可知,等效偽剛體模型在模擬柔性桿末端點(diǎn)的軌跡以及力與運(yùn)動(dòng)關(guān)系具有較高的精度。因此柔性桿彈性勢能就等于偽剛體模型中剛性桿末端作用力對末端點(diǎn)路徑的積分。結(jié)合偽剛體模型,下面具體推導(dǎo)不同受力情況下柔性桿的彈性勢能表示式。如圖3a所示為末端作用豎直力的柔性桿模型。在柔性桿末端作用豎直方向的力F。根據(jù)功能轉(zhuǎn)換原理,柔性懸臂梁的彈性勢能Ep在數(shù)值上等于柔性桿末端作用力所做功W圖3b為該柔性桿模型的等效偽剛體模型。對于偽剛體模型,末端作用力F所做功為式中Ft為沿路徑的切向力。由文獻(xiàn)可知,Ft的大小為聯(lián)立式(31)～(33)可得該模式下柔性桿的彈性勢能表達(dá)式2.3柔性懸臂梁如圖1a所示為末端作用豎直力矩的柔性桿模型。在柔性桿末端作用力矩M。根據(jù)功能轉(zhuǎn)換原理,柔性懸臂梁的彈性勢能Ep在數(shù)值上等于柔性桿末端作用力矩所做功W如圖1b為該柔性桿的偽剛體模型。由文獻(xiàn)可知,對于偽剛體模型,則有將式(36)、(37)代入式(35)中,可得柔性桿在末端作用純力矩情況下的彈性勢能為2.4柔性桿初始作用如圖6a所示為固定—導(dǎo)向模式下的柔性桿模型。由文獻(xiàn)可知,在該模式下,柔性桿中點(diǎn)處只受豎直方向的作用力。那么,從中點(diǎn)處把柔性桿分成兩個(gè)柔性段。對任一柔性段而言,均屬于末端作用豎直力的情況。根據(jù)前面的分析,易得每一個(gè)柔性段的彈性勢能為顯然,整個(gè)柔性桿變形能為3柔性桿ab、cd材料特性平行導(dǎo)向柔順?biāo)臈U機(jī)構(gòu)如圖9所示,AD為機(jī)架,柔性桿AB、CD具有相同的斷面參數(shù)、結(jié)構(gòu)參數(shù)及材料性能參數(shù),質(zhì)量及長度分別為m及l(fā);剛性桿BC的質(zhì)量及長度分別為m3及l(fā)3。3.1偽剛體模型的確定在平行導(dǎo)向柔順機(jī)構(gòu)中,柔性桿AB及CD屬于固定一導(dǎo)向模式下的柔性桿。由式(28)可得柔性桿AB及CD的動(dòng)能為由文獻(xiàn)可知,平行導(dǎo)向柔順機(jī)構(gòu)的偽剛體模型如圖5b所示。根據(jù)偽剛體模型,確定柔性桿AB及CD的末端點(diǎn)B及C的運(yùn)動(dòng),也就是確定了剛性桿BC的運(yùn)動(dòng)。因此剛性桿BC的動(dòng)能可表示為由偽剛體模型可得r=γl,其中y=0.8517。由式(41)、(42)該機(jī)構(gòu)的系統(tǒng)動(dòng)能為3.2固定—系統(tǒng)勢能計(jì)算由于平行導(dǎo)向柔順機(jī)構(gòu)屬于平面機(jī)構(gòu),重力勢能的影響可以忽略。機(jī)構(gòu)的系統(tǒng)勢能主要為柔性桿AB及CD的彈性變形能。在固定—導(dǎo)向模式下,柔性桿的彈性勢能可通過式(40)計(jì)算。因此平行導(dǎo)向柔順機(jī)構(gòu)的系統(tǒng)勢能為式中EI為柔性桿2的剛度。3.3機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型式由理論力學(xué)可知,系統(tǒng)拉格朗日第二類方程為將式(43)、(44)代入式(45),可得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為與文獻(xiàn)所建動(dòng)力學(xué)建模不同,本文所建立平行導(dǎo)向柔順機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型式(46)有如下特點(diǎn):①運(yùn)動(dòng)微分方程中二階項(xiàng)d2Φ,/dt2的系數(shù)與等效轉(zhuǎn)角Φ相關(guān)。②運(yùn)動(dòng)微分方程中存在一階項(xiàng)dΦ/dt。由于文獻(xiàn)主要是在偽剛體模型的基礎(chǔ)上建立的動(dòng)力學(xué)模型,沒有考慮由于柔性桿大變形所產(chǎn)生的影響。而本文則根據(jù)大變形情況下的柔性桿變形特性,并結(jié)合偽剛體模型所得的邊界條件,推導(dǎo)了柔性桿的動(dòng)能表達(dá)式。顯然,本文在動(dòng)力學(xué)建模過程中充分考慮了柔性桿大變形對動(dòng)能表達(dá)式的影響,因此所建立的動(dòng)力學(xué)模型更能反映柔順機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性。4仿真結(jié)果和分析系統(tǒng)固有頻率(基頻)是反映柔順機(jī)構(gòu)動(dòng)力特性的一個(gè)重要指標(biāo)。系統(tǒng)基頻分析是柔順機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)。上面建立了平行導(dǎo)向柔順機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型,推導(dǎo)出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。根據(jù)文獻(xiàn)中所介紹的運(yùn)動(dòng)微分方程的計(jì)算機(jī)解法,可以求解出系統(tǒng)基頻。如圖9所示的平行導(dǎo)向柔順機(jī)構(gòu)及偽剛體模型,結(jié)構(gòu)參數(shù)及材料參數(shù)如下表所示。由運(yùn)動(dòng)微分方程式(46),利用文獻(xiàn)介紹的運(yùn)動(dòng)微分方程的計(jì)算機(jī)解法,可求得系統(tǒng)頻率fmod=20.412Hz;根據(jù)文獻(xiàn)所建動(dòng)力學(xué)模型求解可得系統(tǒng)基頻fR4=22.342Hz;文獻(xiàn)所建動(dòng)力學(xué)模型求解可得系統(tǒng)基頻fR5=20.586Hz;而利用有限元分析軟件ANSYS對該機(jī)構(gòu)仿真的系統(tǒng)基頻FANSYS=20.135Hz。對幾種不同模型所計(jì)算的系統(tǒng)頻率進(jìn)行比較,分析表明ANSYS軟件主要基于有限元方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析,但并不是真正意義上的機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析。文獻(xiàn)中則把柔順機(jī)構(gòu)的偽剛體模型等同于動(dòng)力學(xué)模型,但是這種等同是沒有根據(jù)的,因?yàn)閭蝿傮w模型只是對柔順機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)等效而不是動(dòng)力學(xué)等效。基于偽剛體模型,文獻(xiàn)中提出了柔順機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)等效模型,但是沒有考慮柔性桿大變形對動(dòng)力學(xué)模型的影響。與以上動(dòng)力學(xué)建模思想不同,本文以大變形情況下的柔性桿模型為研究