第二章

控制系統數學模型本章主要內容:

2.I

2.2

2.3

2.42.5控制系統的微分方程非線性數學模型的線性化拉氏變換及其反變換典型環節及其傳遞函數系統方框圖和信號流圖數學模型的定義數學模型： 靜態模型：參數對時間的變化可以忽略動態模型：描述系統變量間相互關系的動態性能的運動方程解析法

依據系統及元件各變量之間所遵循的物理或化學規律列寫出相應的數學關系式，建立模型。建立數學模型的方法：實驗法人為地對系統施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用適當的數學模型進行逼近。這種方法也稱為系統辨識。數學模型的形式時間域： 微分方程 差分方程 狀態方程復數域： 傳遞函數 結構圖頻率域： 頻率特性第一節控制系統的微分方程一、建立系統微分方程式的一般步驟如下：

確定系統的輸入量和輸出量根據系統所遵循的基本定律，依次列寫出各元件的運動方程消中間變量，得到只含輸入、輸出量的標準形式

二、微分方程式的建立

（一）彈簧—質量—阻尼器系統圖2-1表示一個彈簧—質量—阻尼器系統。當外力f(t)作用時，系統產生位移y(t)，

要求寫出系統在外力f(t)作用下的運動方程式。f(t)是系統的輸入，y(t)是系統的輸出。列出的步驟如下：

圖2-1彈簧—質量—阻尼器系統（1）運動部件質量用M表示.（2）列出原始方程式。根據牛頓第二定律，有：式中

f

1(t)——阻尼器阻力；

f

2(t)——彈簧力。

(2.1)（3）f1(t)和f2(t)為中間變量，找出它們與其它因素的關系。阻尼器阻力與運動方向相反，與運動速度成正比，故有：

(2.2)式中B——阻尼系數。設彈簧為線性彈簧，則有：f2(t)=Ky(t)式中

K——彈性系數。(2.3)（4）將式(2.2)和式(2.3)代入式(2.1)，得系統的微分方程式

:

(2.4)式中M、B、K均為常數，此機械位移系統為線性定常系統。式(2.4)還可寫成:(2.4a)則有

(2.4b)令

TB和TM是圖2-1所示系統的時間常數。1/K為該系統的傳遞系數，它的意義是：靜止時系統的輸出與輸入之比。

列寫微分方程式時，輸出量及其各階導數項列寫在方程式左端，輸入項列寫在右端。由于一般物理系統均有質量、慣性或儲能元件，左端的導數階次總比右端的高。

圖2-2所示R-L-C電路中，R、L、C均為常值，ur(t)為輸入電壓，

uc(t)為輸出電壓，輸出端開路。

要求列出uc(t)與ur(t)的方程關系式。

圖2-2

R-L-C電路（二）R-L-C電路（1）根據基爾霍夫定律可寫出原始方程式：

(2.5)（2）式中i是中間變量，它與輸出uc(t)有如下關系：

(2.6)（3）消去式(2.5)、式(2.6)的中間變量i后，便得輸入輸出微分方程式：

則(2.8)(2.7）令T1=L/R，T2=RC為電路的兩個時間常數。當t的單位為秒時，它們的單位也為秒。式(2.7)或式(2.8)是線性定常系統二階微分方程式，式中左端導數項最高階次為2。（三）直流電動機

(a)線路原理圖

(b)結構圖

圖2-3電樞電壓控制的直流電動機

磁場固定不變（激磁電流If=常數），用電樞電壓來控制的直流電動機。控制輸入為電樞電壓ua

，輸出軸角位移q或角速度w為輸出，負載轉矩ML變化為主要擾動。求輸入與輸出關系微分方程式。（1）不計電樞反應、渦流效應和磁滯影響；當If為常值時，磁場不變，電機繞組溫度在瞬變過程中不變。（2）列寫原始方程式。首先根據克希霍夫定律寫出電樞回路方程式如下：式中

La——電樞回路總電感（亨）；

Ra——電樞回路總電阻（歐）；

Ke——電勢系數（伏/弧度/秒）；

w——電動機角速度（弧度/秒），；

ua——電樞電壓（伏）；

ia

——電樞電流（安)。

(2.9)又根據剛體旋轉定律，可寫運動方程式

(2.10)式中

J——轉動部分轉動慣量（公斤·米2）；

ML——電動機軸上負載轉矩（牛頓·米）；

Md——電動機轉矩（牛頓·米）。

（3）Md和ia是中間變量。電動機轉矩與電樞電流和氣隙磁通的乘積成正比，磁通恒定，有:

(2.11)式中

Km——電動機轉矩系數（牛頓·米/安）。（4）將式(2.11)代入式(2.10)，并與式(2.9)聯立求解，整理后得：或

(2.12)

(2.13)式中

Tm——機電時間常數，（秒）；

Ta——電動機電樞回路時間常數，一般要比Tm小，（秒）。式(2.13)是電樞電壓控制的直流電動機微分方程式。其輸入為電樞電壓ua，輸出為角速度w，負載轉矩ML擾動輸入。ML變化會使w隨之變化，對電動機的正常工作產生影響。若輸出為電動機的轉角q，則按式(2.13)有:

式(2.14)是一個3階線性定常微分方程。（2.14）許多表面上不同的物理系統：機械系統、電氣系統可能會有完全相同的數學模型。數學模型表達了系統的共性，研究數學模型的特性時，不再涉及原來系統的物理性質和具體的特點。建立合理數學模型的方法數學模型越精確就越復雜，從工程的角度出發：在要求的精度下，以最簡化的形式反映系統的動態過程，根據系統的結構參數和系統要滿足的技術指標，忽略一些次要因素，使模型準確反映系統的本質，又能簡化分析計算工作。第二節、非線性方程的線性化一、常見非線性模型數學物理方程中的線性方程：未知函數項或未知函數的（偏）導數項系數依賴于自變量針對時間變量的常微分方程：

線性方程指滿足疊加原理疊加原理：可加性齊次性不滿足以上條件的方程，就成為非線性方程。第二節、非線性方程的線性化針對時間變量的常微分方程：

線性方程指滿足疊加原理疊加原理：可加性齊次性不滿足以上條件的方程，就成為非線性方程。常見非線性情況飽和非線性死區非線性間隙非線性繼電器非線性盡管線性系統的理論已經相當成熟，但非線性系統的理論還遠不完善。另外，迭加原理不適用于非線性系統，這給解非線性系統帶來很大不便。故我們盡量對所研究的系統進行線性化處理，然后用線性理論進行分析。嚴格講：所有系統都是非線性的二、線性化問題的提出線性系統優點：可以應用疊加原理，以及應用線性理論對系統進行分析和設計。非線性系統缺點：有條件存在，只在一定的工作范圍內具有線性特性；非線性系統的分析和綜合是非常復雜的。線性化定義

將一些非線性方程在一定的工作范圍內用近似的線性方程來代替，使之成為線性定常微分方程。三

線性化方法1、忽略弱的非線型因素2、小偏差法（切線法、增量線型化法）增量方程的數學含義將參考坐標的原點移到系統或元件的平衡工作點上，對于實際系統就是以正常工作狀態為研究系統運動的起始點，這時，系統所有的初始條件均為零。注：導數根據其定義是一線性映射，滿足疊加原理。線性化定義

將一些非線性方程在一定的工作范圍內用近似的線性方程來代替，使之成為線性定常微分方程。將非線性函數y=f(x)在工作點（x0,y0)處展成泰勒級數忽略二次以上的高次項，得到的線型函數來代替原來的非線性函數線性化步驟：例3寫出加熱爐的微分方程解：輸入量是電壓

u

(t)輸出量是爐溫Tq是單位時間產生的熱量，qs是單位時間散失的熱量，