常系數(shù)第七節(jié)齊次線性微分方程基本思路:求解常系數(shù)線性齊次微分方程求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化第七章二階線性微分方程：函數(shù)系數(shù)求解較難二階常系數(shù)線性微分方程：二階常系數(shù)齊次線性微分方程：非齊次二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解？只需求出方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解y1(x)和y2(x)，則方程的通解：由于方程(2)中，各項(xiàng)的系數(shù)均為常數(shù)而指數(shù)函數(shù)y=erx

的導(dǎo)數(shù)y’=rerx

與y僅相差一個(gè)常數(shù)因子，因此我們可以合理地假設(shè)方程(2)的解形如：y=erx

設(shè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解為：其中r

是待定常數(shù)求導(dǎo)：代入方程：約去erx

，得方程(2)的特征方程設(shè)解y=erx

解特征方程，得特征根：

不等實(shí)根：r1,r2

二重根：一對共軛復(fù)根：設(shè)解y=erx

不等實(shí)根：r1,r2

得兩個(gè)解：

它們線性無關(guān)，

方程的通解：構(gòu)成方程的基礎(chǔ)解系設(shè)解y=erx

得兩個(gè)解：

它們線性相關(guān)，

二重根：不構(gòu)成基礎(chǔ)解系。還得求一個(gè)與這個(gè)解線性無關(guān)的另一個(gè)解。為了得求與線性無關(guān)的另一個(gè)解y2:求導(dǎo)：代入方程（2），得令特征方程有一對二重根：積分：取得方程的另一個(gè)解：線性無關(guān)通解：設(shè)解y=erx

得兩個(gè)解：

它們線性無關(guān)，但為復(fù)數(shù)解，需要改造成實(shí)數(shù)解。

一對共軛復(fù)根：Euler公式：334頁Euler公式：334頁它們是原方程的兩個(gè)線性無關(guān)的實(shí)解原方程的通解：特征根通解表1求二階常系數(shù)齊次線性方程的通解的步驟(1)寫出齊次線性方程的特征方程：(2)求出特征方程的特征根：r1,r2

(3)根據(jù)特征根的情況，按表1寫出方程的通解

例1求通解：解特征方程：因式分解：特征根：它們是不等實(shí)根方程的通解：例2求特解：解特征方程：因式分解：特征根：它們是二重根方程的通解：初始位置初始速度求導(dǎo)：得特解運(yùn)動(dòng)方程例3求通解：解特征方程：配方：特征根：它們是一對共軛復(fù)根方程的通解：例4設(shè)是二階常系數(shù)齊次微分方程的兩個(gè)解，則該微分方程為.解由于線性無關(guān)，則該微分方程有通解因此該微分方程有二重特征根：所以該微分方程的特征方程為：從而微分方程為回憶以上的方法一個(gè)單實(shí)根r一個(gè)解一個(gè)二重根r兩個(gè)解一對共軛復(fù)根兩個(gè)解以上結(jié)論推廣到高階常系數(shù)齊次線性方程特征方程：特征根：n個(gè)，重根按重?cái)?shù)計(jì)一個(gè)單實(shí)根r一個(gè)解一個(gè)k重根rk個(gè)解一對共軛單復(fù)根兩個(gè)解一對共軛k重復(fù)根2k個(gè)解，例5求通解：

解：

特征方程為

因式分解：

特征根：

方程的基礎(chǔ)解系通解；例6為特解的4階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解.解:

根據(jù)給定的特解知特征方程有根:因此特征方程為即故所求方程為其通解為內(nèi)容小結(jié)特征根:(1)當(dāng)時(shí),通解為(2)當(dāng)時(shí),通解為(3)當(dāng)時(shí),通解為可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解.思考與練習(xí)求方程的通解.答案:通解為通解為通解為作業(yè)

P3401(偶數(shù));