PAGEPAGE1平面內(nèi)一點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)距離之和最小的探究摘學(xué)習(xí)的兩點(diǎn)之間線段最短這個(gè)定理來解釋。那么，如果是平面內(nèi)到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)運(yùn)用到解決其他類似問題上。關(guān)鍵詞：費(fèi)馬點(diǎn)，等邊三角形，全等一、前言最小點(diǎn)的位置，這個(gè)最小點(diǎn)是指這點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離總和為最短。所謂的費(fèi)馬點(diǎn)(Fermat通中心到這三個(gè)城市的距離最短這一類的問題。二、找費(fèi)馬點(diǎn)在平面上一三角形ABC，試找出一點(diǎn)P，使得PAPBPC為最小。首先，讓我們先找到P點(diǎn)的性質(zhì)，再來研究怎么做出P點(diǎn)。P點(diǎn)有什么性質(zhì)呢？它的位置是否有什么特殊意義呢？在中學(xué)里，我們學(xué)過三角P點(diǎn)和這些心之間有關(guān)聯(lián)嗎？還是和有些線段長、角度大小有關(guān)系呢？結(jié)論1：費(fèi)馬點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部（1）如圖1，△ABC所在的平面分成了七個(gè)部分。證明費(fèi)馬點(diǎn)只能在三角形內(nèi)部（包[1]A[1]A[2][6][7][3]BC[5][4]P[1]A[2][6][7][3]BC[5][4][1]PA[2][[1]PA[2][6]Q[7][3]BC[4] [5]圖3證明：如圖2，當(dāng)點(diǎn)P位于區(qū)域[1]時(shí)，易證得PBPCABAC，即在△ABC內(nèi)存在一點(diǎn)（如點(diǎn)A△ABC各頂點(diǎn)的距離之和小于區(qū)域[1]內(nèi)任一點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離之和?！鰽BC內(nèi)存在一點(diǎn)，使該點(diǎn)到△ABC各頂點(diǎn)的距離之和小于區(qū)域[3]、[5]內(nèi)任一點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離之和。如圖3，當(dāng)點(diǎn)P位于區(qū)域[2]時(shí)，PAPBPCABPCABQCQBQAQC，即在△ABC內(nèi)存在一點(diǎn)（如點(diǎn)Q△ABC各頂點(diǎn)的距離之和小于區(qū)域[2]內(nèi)任一點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離之和?！鰽BC△ABC各頂點(diǎn)的距離之和小于區(qū)域[4]、[6]內(nèi)任一點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離之和。結(jié)論當(dāng)三角形中的最大角不小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)就是最大角的頂點(diǎn)（1）在△ABC中，B,C均小于120，求證：當(dāng)PAPBPC最小時(shí)，APBBPCCPA120。證明：①如圖3，以B點(diǎn)為中心，將△APB旋轉(zhuǎn)60到△A'BP'，則易知PBP'60，PAPA'PBP'60且PB=P'B△P'PB為一個(gè)正三角形PBP'PPAPBPCP'A'P'PPC由此可知當(dāng)A'、P'、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，PAPBPCP'A'P'PPC最小。②如圖4，當(dāng)A'、P'、P、C共線時(shí)（此時(shí)點(diǎn)P即為△ABCDBP'A'-DBP'P；BPC180BPP'由旋轉(zhuǎn)可知APBP'B120CPA360BPCAPB120即APBBPCCPA120P'P'A AP PB C B C圖3 圖4（2）在△ABC中，A

120，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求證：當(dāng)PAPBPC最小時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合。證明：① 如圖5，不妨設(shè)點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△P'AB'，使得點(diǎn)B'、A、C三點(diǎn)共線，易知P'AB'PAB，APAP',PBP'B'PAP'180PACP'AB'180(PACPAB)'180BAC60又APAP'PP'PAPAPBPCPAP'B'PCPP'P'B'PCB'C顯然，當(dāng)點(diǎn)B',P',P,C四點(diǎn)共線時(shí)PAPBPC最小，最小值為B'C②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，

PAPBPC0ABBCAB'BCB'CP與點(diǎn)A重合時(shí)，PAPBPCPAPBPCP與點(diǎn)A重合。DFPDFPAP'BBC P BBCC E圖5 圖6結(jié)論當(dāng)三角形中的最大角不小于120°時(shí)，最大角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)。引理：等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊的距離之和等于等邊三角形的高。如圖△ABC邊AB上的高為h，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PDAB,PEBC,PFCA，求證：PDPEPFh。證明：連接PB,PCQS△ABC=S△PAB1AB=1AB1BC1CA2 2 2 2PDPEPFh（1）如圖7，△ABC中，B,C均小于120，求證：當(dāng)APBBPCCPA120時(shí)，

PAPBPC最小。證明：分別過點(diǎn)A、B、C作PA、PB、PC的垂線，這三條直線分別交于點(diǎn)D、E、F。PADPBD90點(diǎn)P、A、D、B四點(diǎn)共圓DAPB120又APB120 D60同理可求得EF60△ABC為等邊三角形PADF,PBDE,PCEFPAPBPCh（有引理可知h為△DEF的高）如圖Q是△ABC內(nèi)異于點(diǎn)PQ分別做DE、EF、FD為A'、B'、C'則有hQA'QB'QC'QAQBQCQA'QB'QC'hPAPBPCPAPBPCQAQBQC（等號當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P和Q重合時(shí)成立）即點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)。'AP'APQC'APC圖7B BF FE E 圖8（2）在△ABC中，A

120，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求證：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，PAPBPC最小。證明：（結(jié)論2中（2）已證）結(jié)論△ABCABC'、BC、AB'CAA'、BB'、CC'，則AA'、BB'、CC'三線共點(diǎn)，且交點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)?！鰽BCABC'、BC、AB'CBB',CC'，PA'。易證△BAB'≌△C'AC（SAS）AC'PABP點(diǎn)C',B,P四點(diǎn)共圓又AC'B60APB120，同理可求得APC120 C'ABPC120A又BA'C60 B'P點(diǎn)B,A',C,P四點(diǎn)共圓B CPCBC60PCAPC180即點(diǎn)P,三點(diǎn)共線 A'AA'、BB'、CC'三線共點(diǎn) 圖9又APBAPCBPC120即點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)。三、畫出費(fèi)馬點(diǎn)經(jīng)過上面的討論，可以知道，在平面上△ABCPPAPBPC為AB、BC為邊