證明本課內容本節內容2.4

什么叫作證明？說一說

從一個命題的條件出發，通過講道理(推理)，得出它的結論成立，從而判斷該命題為真，這個過程叫作證明．

于是我們在證明一個命題時，首先要分清命題的條件是什么，結論是什么，把條件作為已知的內容，把結論作為求證的內容；

其次要從已知條件出發，運用概念的定義、公理和已經證明過的定理，通過講道理(推理)，得出它的結論成立.

這個推理的過程就是證明的過程．

注意：證明的每一步都要有根據．舉例例1證明：兩條直線被第三條直線所截，如果有一對同位角相等，那么其他幾對同位角也相等，并且內錯角相等，同旁內角互補．已知：直線AB，CD被直線MN所截，如圖2-3，∠1=∠2．

求證：∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，∠7=∠2，∠5=∠4，∠5與∠2互補，∠7與∠4互補．

圖2-3證明:∵

∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，(平角的定義)∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4.(等量代換)又∵∠1=∠2，(已知)∴∠3=∠4.(等量減等量，差相等)∵∠1=∠7，∠2=∠8，(對頂角相等)

∠1=∠2，(已知)∴∠3=∠4.(等量減等量，差相等)∵∠1=∠7，∠2=∠8，(對頂角相等)

∠1=∠2，(已知)∴∠7=∠8.(等量代換)同理可證∠5=∠6．圖2-3∴∠3=∠4.(等量減等量，差相等)∵∠1=∠7，∠2=∠8，(對頂角相等)

∠1=∠2，(已知)∴∠7=∠8.(等量代換)同理可證∠5=∠6．∵∠1=∠7，(對頂角相等)

∠1=∠2，(已知)∴∠7=∠2.(等量代換)同理可證∠5=∠4．∵∠1+∠5=180°，∠1=∠2，∴∠2+∠5=180°，(等量代換)即∠2與∠5互補．

同理可證

∠7與∠4互補．

圖2-3例2證明：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．

已知：如圖2-4，∠1是△ABC的一個外角，∠A，∠B是和它不相鄰的內角，∠2是和它相鄰的內角．

求證：∠1=∠A+∠B．圖2-4舉例證明:∵∠1+∠2=180°，(平角的定義)∠A+∠B+∠2=180°，(三角形的內角和定理)∴∠1=180°-∠2，(等量減等量，差相等)∠A+∠B=180°-∠2，(等量減等量，差相等)從而∠1=∠A+∠B．(等量代換)練習1.證明：兩條直線被第三條直線所截，如果有一對內錯角相等，那么另一對內錯角也相等，并且同位角相等．

證明:∵∠7+∠5=180°，∠2+∠4=180°，∴∠7+∠5=∠2+∠4.又∵∠7=∠2，∴∠5=∠4.∵∠1=∠7，∠2=∠8，∴

∠1=∠2.已知：如圖，AB、CD被MN所截，∠7=∠2．求證：∠5=∠4，∠1=∠2．2.證明：三角形的外角大于任何一個和它不相鄰

的內角．

證明:已知：∠1是△ABC的外角，∠A，∠B是和它不相鄰的內角.

求證：∠1>∠A，∠1>∠B.

證明：∵∠1+∠ACB=180°

，∠A+∠B+∠ACB

=180°，∴∠1=∠A+∠B.

∴∠1>∠A，∠1>∠B.3.利用平行線的性質定理Ⅰ(即，兩直線平行，同位角相等)，證明：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等．證明:已知：AB∥CD，且AB，CD與直線MN相交于M，N.求證：∠1=∠2，∠3=∠4.證明：∵∠AB∥CD，

∴∠2=∠5.

又∠1=∠5，

∴∠1=∠2.

同理可證：∠3=∠4.說一說

角平分線有什么性質？

角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等．

我們曾經在本套教材七年級下冊第5章的5.5節用軸反射證明了這條性質.現在我們用另一種方法來證明它.

舉例例3證明：角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等．

已知：如圖2-5，OC是∠AOB的平分線，點P

是OC上任意一點，PD⊥OA，垂足為D，

PE⊥OB，垂足為E．

求證：PD=PE．

圖2-5證明:在△OPD與△OPE中，∵∠1=∠2，(已知)∠ODP=∠OEP=90°，(已知)OP=OP，∴△OPD≌△OPE．(角角邊)從而PD=PE.(全等三角形的對應邊相等)圖2-5做一做

在教材七年級下冊第5章的5.6節中，我們用軸反射證明了“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”.你能給出另一種證明方法嗎？請你完成下面的證明：

證明：有兩個角相等的三角形是等腰三角形．

圖2-6證明:已知：如圖2-6，在△ABC中，∠B=∠C.

求證：AB=AC.證明作邊BC上的高AD.

在△ABD與△ACD中，∵

=

，(

)

=

=

，(

)

=

，()∴△ABD≌

△ACD.(

)從而AB=AC.

(

)∠B∠C已知∠ADB∠ADC90°凡直角都相等ADADAAS同邊相等對應邊相等圖2-6D練習1.證明：到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上．

已知：點P為AOB內一點，且PN⊥OB于N，PM⊥OA于M，PN=PM.求證：P在∠AOB的平分線上.證明：連接OP.在Rt△OPM和Rt△OPN中，∵PN=PM，OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN.∴∠AOP=∠BOP，∴

OP為∠AOB的平分線，∴

P在AOB的平分線上.2.證明：每個內角都等于60°的三角形是等邊三角形．

已知：△ABC

中，∠A，∠B，∠C為60°，求證：△ABC為等邊三角形.證明：∵∠A=∠B=∠C=60°，

AB=AC=BC.∴△ABC為等邊三角形.ABC3.已知：如圖2-7，△ABC的兩個外角∠EBC，∠FCB

的角平分線相交于點P．

求證：點P在∠A的平分線上．提示:過點P作PN⊥AF于N，PM⊥BC于M，PD⊥AE于D，再利用角的平分性質證PN=PD，則P在∠A的平分線上.圖2-7DNM

如圖2-8，平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點為O，過點O作一條直線分別與邊AB，DC交于點E，F.

OE=OF嗎？你能給出證明嗎？動腦筋OE=OF.圖2-8證明:∵

AB∥DC，(平行四邊形的定義)圖2-8∴∠1=∠2.(兩直線平行，內錯角相等)在△OAE與△OCF中，∵∠1=∠2，∠3=∠4，(對頂角相等)OA=OC，(平行四邊形的對角線互相平分)∴△OAE≌△OCF.(角邊角)從而OE=OF.(全等三角形的對應邊相等)

做一做

你能利用“平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心”這條性質，來證明上題結論OE=OF嗎？圖2-8舉例例4已知：如圖2-9，在△ABC中，邊AB，BC，AC的中點分別為D，E，F，連接DF，FE.圖2-9

求證：（1）四邊形BEFD是平行四邊形；

（2）四邊形BEFD的周長等于AB+BC.圖2-9

（1）四邊形BEFD是平行四邊形；證明:∵DF是△ABC的一條中位線，∴DF∥BC，DF=BC.(三角形中位線定理)

同理FE∥AB，FE=AB．因此四邊形BEFD是平行四邊形.(平行四邊形的定義)

（2）四邊形BEFD的周長等于AB+BC.證明:由于平行四邊形的對邊相等，因此四邊形BEFD的周長等于做一做已知：如圖2-10，在△ABC中，D，E，F分別是邊

AB，AC，BC的中點，連接DE，AF．求證：AF與DE互相平分．

圖2-10證明:連接

，∵

，∴

.(

)同理

.

因此四邊形

是

.(

)從而

.(

)

DF，EFE，F分別為AC，BC的中點EF∥AB中位線定理DF∥ACADFE平行四邊形兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形DE與AF互相平分平行四邊形兩對角線互相平分結論由此我們可以得到下面的結論：

三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.練習1.證明：平行四邊形的兩條對角線的交點到一組對邊的距離相等．

證明:已知：平行四邊形ABCD的對角線AC與BD

相交于O，EF過O，且EF⊥AB于E，

EF⊥CD于F.求證：OE=OF.證明：在△OCF和△OAE中，∠1=∠2，

∠4=∠3，AO=OC，△OCF≌

△OAE.OE=OF.2.證明：四個角都相等的四邊形是矩形.

提示:利用四邊形的內角和為360°，證每一個角為90°.因為每個角都為直角的四邊形是矩形.說一說

等腰梯形在同一底上的兩個角有什么關系？相等.

舉例例5證明：等腰梯形上底的中點與下底兩端點的距離相等．已知：如圖2-11，在等腰梯形ABCD中，上底DC的中點為E，連接EA，EB．求證：EA=EB．證明:

在△ADE與△BCE中，圖2-11∵AD=BC，(等腰梯形的定義)DE=CE，(已知)∠D=∠C，(等腰梯形在同一底上的兩個角相等)∴△ADE≌△BCE.(邊角邊)

從而EA=EB.(全等三角形的對應邊相等)做一做

剪一個三角形紙片，用折疊的方法找出每一條邊的垂直平分線，從三條折痕看出，它們是否相交于一點？由此你能作出什么猜測？你能證明這個猜測為真嗎？

證明思路是：去證三角形兩條邊的垂直平分線的交點在第三條邊的垂直平分線上.

舉例例6已知：如圖2-12，在△ABC中，邊AB，BC的垂直平分線相交于點O．求證：點O在邊AC的垂直平分線上．證明連接OA，OB，OC．∵點O在線段AB的垂直平分線上，∴OA=OB.(垂直平分線的性質定理)

同理OC=OB.

因此OA=OC.(等量代換)

從而點O在線段AC的垂直平分線上.(到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上)圖2-12結論從例6立即得到:

三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等．

舉例例7證明：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角不互補，那么這兩條直線必相交.

已知：如圖2-13，直線AB，CD被直線MN所截，同旁內角∠1和∠2不互補.

求證：直線AB與CD相交.

圖2-13證明假如直線AB與CD不相交，圖2-13則它們沒有公共點，從而AB∥CD.于是∠1與∠2互補(兩直線平行，同旁內角互補).這與已知條件矛盾.因此直線AB與CD相交.

結論

像例7那樣，先假設命題的結論不成立，然后經過推理，得出了矛盾的結果，從而證明命題的結論一定成立，這種證明方法稱為反證法.

練習1.已知：在△ABC中，∠A與∠B的平分線相交于點O.

求證：點O在∠C的平分線上.

證明:過O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F.∵O在∠A的平分線上，∴OD=OE.同理OE=OF，OD=OF，∴

O在∠C的平分線上.2.從第1題中，你能得出什么結論呢？

答：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三邊的距離相等.1.已知：在△ABC中，∠A與∠B的平分線相交于點O.

求證：點O在∠C的平分線上.

3.證明：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角不相等，那么這兩條直線必相交．已知：AB，CD被直線MN所截，同位角∠1，∠2不相等.求證：AB與CD相交.證明：假如直線AB與CD不相交，則它們無公共點，從而AB∥CD，于是∠1=∠2，與已知矛盾.

因此AB與CD必相交.小結與復習

本章介紹歐幾里得開創的公理化方法，以基本定義和公理作為推理的出發點，去判斷其他命題的真假，已經判斷為真的命題(即定理)也可以作為判斷其他命題的真假的依據.

敘述一件事情的句子(陳述句)，如果要么是真的，要么是假的，那么稱這個陳述句是一個命題.

對一個概念的特征性質的描述叫作這個概念的定義.概念是在對客觀現象的觀察中，抓住主要特征抽象出來的，這個主要特征就是這個概念的定義.

如果一個命題敘述的事情是真的，那么稱它是真命題.如果一個命題敘述的事情是假的，那么稱它是假命題．

在“如果……，那么……”形式的命題中，“如果”連接的部分是條件，“那么”連接的部分是結論.

從一個命題的條件出發，通過講道理(推理)，得出它的結論成立，從而判斷該命題為真，這個過程叫作證明.

找出一個例子，它符合命題的條件，但它不符合命題的結論，從而判斷這個命題為假，這個過程叫作舉反例．

如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么稱這兩個命題是互逆的命題，其中的一個叫作另一個的逆命題．

一個命題為真不能保證它的逆命題為真，有可能它的逆命題為假．

公理是指人們在長期實踐中總結出來的公認的真命題，作為證明的原始依據.

定理是指已經判斷為真的命題.它也可以作為判斷其他命題的真假的依據.

把哪些真命題作為公理應當遵循下列原則：直觀，易于為大家所公認；夠用；盡可能少；相互之間不鬧矛盾等．

根據上述原則并且考慮到同學們的實際情況，我們編寫的這套教材到目前為止選擇了十個真命題作為公理，詳見本章2.3節．

如果一個定理的逆命題也是定理，那么稱它是原來定理的逆定理，這兩個定理稱為互逆的定理．

從命題的條件出發，運用定義、公理和已證明過的定理，經過推理，證明命題的結論成立，這種證明方法稱為綜合法．

先假設命題的結論不成立，然后經過推理，得出了矛盾的結果，從而證明命題的結論一定成立，這種證明方法稱為反證法．

在證明一個命題為真時，關鍵是通過分析所要證明的結論和已知條件，找出證明思路．

在證明過程中，應當每一步都有根據，不能憑直觀和想當然．

熟練地掌握已經學過的定理、概念的定義和公理，是做好證明題的前提條件．中考