《復變函數與積分變換》§6.2 分式線性映射_第1頁
《復變函數與積分變換》§6.2 分式線性映射_第2頁
《復變函數與積分變換》§6.2 分式線性映射_第3頁
《復變函數與積分變換》§6.2 分式線性映射_第4頁
《復變函數與積分變換》§6.2 分式線性映射_第5頁
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§6.2分式線性映射分式線性映射一分式線性映射定義為、、、均為復常數．其中條件是為了使因此分式線性映射是保角映射．分式線性映射一在擴充復平面上補充定義如下：映射為當時映射為映射為當時對于分式線性映射分式線性映射一容易求出該映射的逆映射由于因此分式線性映射的逆映射仍是分式線性映射,容易驗證分式線性映射的復合仍是分式線性映射．復平面上的一一映射．且為擴充分式線性映射的分解二當時，可化為：記則上式可分解為以下映射的有限次復合：分式線性映射的分解二下面分別討論這四類映射：(1)設則映射化為平移公式(2)由則該映射保持的模不變，輻角旋轉．為實數分式線性映射的分解二(3)則該映射保持的方向不變，模放大倍．(4)（稱為反演變換）該映射可分解為：分式線性映射的分解二為了討論反演變換的幾何意義，下面先給出關于圓周的對稱點的定義：設為以原點為圓心，為半徑的圓周．在以圓心為起點若有兩點與，則稱與關于圓周對稱．滿足的射線上，分式線性映射的分解二如圖，從作圓周的切線，由作的垂線與交于，則與關于圓周對稱．無窮遠點關于圓周的對稱點為圓心．規定分式線性映射的分解二因此，若設，則，則與是關于單位圓周的對稱點（如圖）．又，則與是關于實軸的對稱點（如圖）．分式線性映射的分解二這樣可得出反演變換的幾何意義．先求關于單位圓周的對稱點，再求關于實軸的對稱點，即得．分式線性映射的性質三保角性1對于映射導數非零，是保角的．對于反演映射，顯然在，時，導數非零，顯然在時是保角的．分式線性映射的性質三下面定義兩條曲線在無窮遠點的夾角：規定其等于它們在映射下所映成的通過原點的兩條像曲線的夾角．下面以為例說明處的保角性：令則成為分式線性映射的性質三該映射在處解析，且導數不為零，因此，在處，即在處是保角的．同理其它幾個映射在處也是保角的．類似地可以證明反演變換在處是保角的．綜上可得下面定理．分式線性映射在擴充復平面上是一一對應的保角映射．定理6.6分式線性映射的性質三保圓性2在擴充復平面上直線可看作是半徑無窮大的圓周，以下提到為平移變換為旋轉變換為將模放大倍這三個映射在擴充復平面將圓周映成圓周，該性質稱為保圓性．圓周時均包括直線．分式線性映射的性質三下面討論反演變換是否具有保圓性．平面上的圓方程為：令、則變形為：整理得：、時為直線分式線性映射的性質三代入圓方程為：即：時為直線說明反演變換將復平面上的圓周映成圓周．定理6.7分式線性映射將擴充平面上的圓周映射成擴充平面上的圓周．(保圓性)分式線性映射的性質三保對稱性3引理6.1點與關于圓周對稱的充分必要條件是，經過與的所有圓周都與圓周正交．（

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