遼寧省遼河油田二中2023-2024學年數學高二上期末統考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A. B.C. D.2．函數區間上有（）A.極大值為27，極小值為-5 B.無極大值，極小值為-5C.極大值為27，無極小值 D.無極大值，無極小值3．若數列1，a，b，c，9是等比數列，則實數b的值為（）A.5 B.C.3 D.3或4．設為等差數列的前項和，，，則A.-6 B.-4C.-2 D.25．過點且平行于直線的直線的方程為（）A. B.C. D.6．設等差數列的前n項和為，且，則（）A.64 B.72C.80 D.1447．為了更好地解決就業問題，國家在2020年提出了“地攤經濟”為響應國家號召，有不少地區出臺了相關政策去鼓勵“地攤經濟”.某攤主2020年4月初向銀行借了免息貸款8000元，用于進貨，因質優價廉，供不應求，據測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費800元，余款作為資金全部用于下月再進貨，如此繼續，預計到2021年3月底該攤主的年所得收入為（）（取，）A.24000元 B.26000元C.30000元 D.32000元8．為了解青少年視力情況，統計得到名青少年的視力測量值（五分記錄法）的莖葉圖，其中莖表示個位數，葉表示十分位數，則該組數據的中位數是（）A. B.C. D.9．函數在點處的切線方程的斜率是（）A. B.C. D.10．若實數滿足，則點不可能落在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限11．若點P為拋物線y＝2x2上的動點，F為拋物線的焦點，則|PF|的最小值為（）A.2 B.C. D.12．直線與圓的位置關系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.都有可能二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在區間上隨機取1個數，則取到的數小于2的概率為___________.14．已知數列滿足，，則數列的前n項和______15．已知函數在處有極值．則=________16．已知向量與是平面的兩個法向量，則__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，（1）若，為真命題，為假命題，求實數x的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數m的取值范圍18．（12分）已知如圖①，在菱形ABCD中，且，為AD的中點，將沿BE折起使，得到如圖②所示的四棱錐，在四棱錐中，求解下列問題：（1）求證：BC平面ABE；（2）若P為AC中點，求二面角的余弦值.19．（12分）已知二次函數.（1）若時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.（2）解關于的不等式（其中）.20．（12分）已知橢圓C經過，兩點（1）求橢圓C的標準方程；（2）直線l與C交于P，Q兩點，M是PQ的中點，O是坐標原點，，求證：的邊PQ上的高為定值21．（12分）已知函數.（1）求函數的極值；（2）是否存在實數，，，對任意的正數，都有成立？若存在，求出，，的所有值；若不存在，請說明理由.22．（10分）求下列不等式的解集：（1）；（2）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析：根據離心率得a,c關系，進而得a,b關系，再根據雙曲線方程求漸近線方程，得結果.詳解：因為漸近線方程為，所以漸近線方程為，選A.點睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：.2、B【解析】求出得出的單調區間，從而可得答案.【詳解】當時，，單調遞減.當時，，單調遞增.所以當時，取得極小值，極小值為，無極大值.故選：B3、C【解析】根據等比數列的定義，利用等比數列的通項公式求解【詳解】解：設該等比數列公比為q，∵數列1，a，b，c，9是等比數列，∴，，∴，故，解得，∴故選：C4、A【解析】由已知得解得故選A考點：等差數列的通項公式和前項和公式5、B【解析】根據平行設直線方程，代入點計算得到答案.【詳解】設直線方程為，將點代入直線方程得到，解得.故直線方程為：.故選：B.6、B【解析】利用等差數列下標和性質，求得，再用等差數列前項和公式即可求解.【詳解】根據等差數列的下標和性質，，解得，.故選：B.7、D【解析】設，從4月份起每月底用于下月進借貨的資金依次記為，由題意得出的遞推關系，變形構造出等比數列，由得其通項公式后可得結論【詳解】設，從4月份起每月底用于下月進借貨的資金依次記為，，、同理可得，所以，而，所以數列是等比數列，公比為，所以，，總利潤為故選：D【點睛】思路點睛：本題考查數列的實際應用．解題方法是用數列表示月初進貨款，得出遞推關系，然后構造等比數列求解8、B【解析】將樣本中的數據由小到大進行排列，利用中位數的定義可得結果.【詳解】將樣本中的數據由小到大進行排列，依次為：、、、、、、、、、，因此，這組數據的中位數為.故選：B.9、D【解析】求解導函數，再由導數的幾何意義得切線的斜率.【詳解】求導得，由導數的幾何意義得，所以函數在處切線的斜率為.故選：D10、B【解析】作出給定的不等式組表示的平面區域，觀察圖形即可得解.【詳解】因實數滿足，作出不等式組表示的平面區域，如圖中陰影部分，觀察圖形知，陰影區域不過第二象限，即點不可能落在第二象限.故選：B11、D【解析】根據拋物線的定義得出當點P在拋物線的頂點時，|PF|取最小值.【詳解】根據題意，設拋物線y＝2x2上點P到準線的距離為d，則有|PF|＝d，拋物線的方程為y＝2x2，即x2＝y，其準線方程為y＝－，∴當點P在拋物線的頂點時，d有最小值，即|PF|min＝.故選：D12、A【解析】求出圓心到直線的距離，然后與圓的半徑進行大小比較即可求解.【詳解】解：圓的圓心，，因為圓心到直線的距離，所以直線與圓的位置關系是相交，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據幾何概型計算公式進行求解即可.【詳解】設“區間上隨機取1個數”，對應集合為，區間長度為3，“取到的數小于2”，對應集合為，區間長度為1，所以.故答案為：14、【解析】先求出，利用裂項相消法求和.【詳解】因為數列滿足，，所以數列為公差d=2的等差數列，所以，所以所以.故答案為：.15、4【解析】根據極值點概念求解【詳解】，由題意得，，經檢驗滿足題意故答案為：416、【解析】由且為非零向量可直接構造方程求得，進而得到結果.【詳解】由題意知：，，解得：（舍）或，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】(1)化簡命題p，將m=3代入求出命題q，再根據或、且連接的命題真假確定p，q真假即可得解；(2)由給定條件可得p是q的必要不充分條件，再列式計算作答.【詳解】(1)依題意，：，當時，：，因為真命題，為假命題，則與一真一假，當真假時，即且或，無解，當假真時，即或且，解得或，綜上得：或，所以實數x的取值范圍是；(2)因是的充分不必要條件，則p是q的必要不充分條件，于是得，解得，所以實數m的取值范圍是18、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）利用題中所給的條件證明，，因為，所以，，即可證明平面；（2）先證明平面，以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，平面的一個法向量，利用向量的夾角公式即可求解【詳解】（1）在圖①中，連接，如圖所示：因為四邊形為菱形，，所以是等邊三角形.因為為的中點，所以，.又，所以.在圖②中，，所以，即.因為，所以，.又，，平面.所以平面.（2）由（1）知，，因為，，平面.所以平面.以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系：則，，，，.因為為的中點，所以.所以，.設平面的一個法向量為，由得.令，得，，所以.設平面的一個法向量為.因為，由得令，，，得則，由圖象可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.19、（1）；（2）答案見解析.【解析】（1）結合分離常數法、基本不等式求得的取值范圍.（2）將原不等式轉化為，對進行分類討論，由此求得不等式的解集.【詳解】（1）不等式即為：，當時，可變形為：，即.又，當且僅當，即時，等號成立，，即.實數的取值范圍是：.（2）不等式，即，等價于，即，①當時，不等式整理為，解得：；當時，方程的兩根為：，.②當時，可得，解不等式得：或；③當時，因為，解不等式得：；④當時，因為，不等式的解集為；⑤當時，因為，解不等式得：；綜上所述，不等式的解集為：①當時，不等式解集為；②當時，不等式解集為；③當時，不等式解集為；④當時，不等式解集為；⑤當時，不等式解集為.20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設出橢圓方程，根據的坐標求得橢圓方程.（2）對直線的斜率分成存在和不存在兩種情況進行分類討論，求得的邊PQ上的高來證得結論成立.【小問1詳解】設橢圓方程為，將坐標代入得，所以橢圓方程為.小問2詳解】當直線的斜率不存在時，關于軸對稱，由于，所以，即，直線與橢圓有兩個交點，符合題意.所以的邊PQ上的高為.當直線的斜率不存在時，設直線的方程為，由消去并化簡得①，設，則，.由于M是PQ的中點且，所以，所以，即，，，.此時①的.原點到直線的距離為.綜上所述，的邊PQ上的高為定值21、（1）極小值為：，無極大值（2），，【解析】（1）先求導求單調性，再判斷極值點求極值即可；（2）易知，只需要為函數和的公切線即可，求出公切線，代入后分別證明和成立即可.【小問1詳解】由題意知：，令，解得，令，解得，所以函數在單調遞增，在單調遞減，所以為函數的極小值點，即極小值為：，無極大值.【小問2詳解】設，易知，所以點是和的公共點，要使成立，只需要為函數和的公切線即可，由（1）知，，所以在點處的切線為：，同理可得在點處的切線為：，由題意知為同一條直線，所以解得，即等價于；下面證明這個式子成立：首先證明等價于，設，所以，恒成立，所以單調遞增，易知，所以當時，，當時，，所以在單調遞減，在單調遞增，所以，故不等式成立，即成立；再證明：等價于，設，所以，所以當時，，當時，，所以在單調遞增，在單調遞減，所以，故不等式成立，即成立；綜上所述，存在，，使得成立.故：，，.【點睛】函數的單調性是函數的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數學的教學之中.某些數學問題從表面上看似乎與函數的單調性無關，但如果我們能挖掘其內在聯系，抓住其本質，那么運用函數的單調性解題，能起到化難