江蘇省無錫市天一中學2023年數學高二上期末達標檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知空間向量，，，下列命題中正確的個數是（）①若與共線，與共線，則與共線；②若，，非零且共面，則它們所在的直線共面；⑧若，，不共面，那么對任意一個空間向量，存在唯一有序實數組，使得；④若，不共線，向量，則可以構成空間的一個基底.A.0 B.1C.2 D.32．下列通項公式中，對應數列是遞增數列的是（）A B.C. D.3．將上各點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍，得到曲線C，若直線l與曲線C交于A，B兩點，且AB中點坐標為M（1，），那么直線l的方程為（）A. B.C. D.4．為了了解1200名學生對學校某項教改實驗的意見，打算從中抽取一個容量為40的樣本，采用系統抽樣方法，則分段的間隔為（）A.40 B.30C.20 D.125．南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》中討論過高階等差數列與一般等差數列不同，前后兩項之差并不相等，而是逐項差數之差或者高次差相等．例如“百層球堆垛”：第一層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，第五層有15個球，…，各層球數之差：，，，，…即2，3，4，5，…是等差數列．現有一個高階等差數列，其前6項分別為1，3，6，12，23，41，則該數列的第8項為（）A.51 B.68C.106 D.1576．已知點是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上一動點，過點作軸垂線并延長交雙曲線左支于點，當點向上移動時，的值（）A.增大 B.減小C.不變 D.無法確定7．已知曲線，下列命題錯誤的是（）A.若，則是橢圓，其焦點在軸上B.若，則是圓，其半徑為C.若，則是雙曲線，其漸近線方程為D.若，，為上任意一點，，為曲線的兩個焦點，則8．直線被圓所截得的弦長為（）A. B.C. D.9．設雙曲線C：的左、右焦點分別為，點P在雙曲線C上，若線段的中點在y軸上，且為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為（）A B.2C. D.10．已知正四面體的底面的中心為為的中點，則直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.11．若將雙曲線繞其對稱中心順時針旋轉120°后可得到某一函數的圖象，且該函數在區間上存在最小值，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.12．過點，的直線的斜率等于2，則的值為（）A.0 B.1C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知、是空間內兩個單位向量，且，如果空間向量滿足，且，，則對于任意的實數、，的最小值為______14．若關于的不等式的解集為R，則的取值范圍是______.15．過點且與直線垂直的直線方程為______16．數列滿足，，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某種機械設備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價值逐年減少，通常把它使用價值逐年減少的“量”換算成費用，稱之為“失效費”．某種機械設備的使用年限（單位：年）與失效費（單位：萬元）的統計數據如下表所示：使用年限（單位：年）1234567失效費（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表數據可知，可用線性回歸模型擬合與關系．請用相關系數加以說明；（精確到0.01）（2）求出關于的線性回歸方程，并估算該種機械設備使用8年的失效費參考公式：相關系數線性回歸方程中斜率和截距最小二乘估計計算公式：，參考數據：，，18．（12分）已知三角形的三個頂點，求邊所在直線的方程，以及該邊上中線所在直線的方程19．（12分）已知直線l：2mx－y－8m－3＝0和圓C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.（1）m∈R時，證明l與C總相交；（2）m取何值時，l被C截得的弦長最短？求此弦長20．（12分）已知數列是遞增的等差數列，，若成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）若，數列的前項和，求.21．（12分）設函數（1）若在處取得極值，求a的值；（2）若在上單調遞減，求a的取值范圍22．（10分）已知橢圓的標準方程為：，若右焦點為且離心率為（1）求橢圓的方程；（2）設，是上的兩點，直線與曲線相切且，，三點共線，求線段的長

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】用向量共線或共面的基本定理即可判斷.【詳解】若與，與共線，，則不能判定，故①錯誤；若非零向量共面，則向量可以在一個與組成的平面平行的平面上，故②錯誤；不共面，意味著它們都是非零向量，可以作為一組基底，故③正確；，∴與共面，故不能組成一個基底，故④錯誤；故選：C.2、C【解析】根據數列單調性的定義逐項判斷即可.【詳解】對于A，B選項對應數列是遞減數列．對于C選項，，故數列是遞增數列．對于D選項，由于．所以數列不是遞增數列故選：C.3、A【解析】先根據題意求出曲線C的方程，然后利用點差法求出直線l的斜率，從而可求出直線方程【詳解】設點為曲線C上任一點，其在上對應在的點為，則，得，所以，所以曲線C的方程為，設，則，兩方程相減整理得，因為AB中點坐標為M（1，），所以，即，所以，所以，所以直線l的方程為，即，故選：A4、B【解析】根據系統抽樣的概念，以及抽樣距的求法，可得結果.【詳解】由總數為1200，樣本容量為40，所以抽樣距為：故選：B【點睛】本題考查系統抽樣的概念，屬基礎題.5、C【解析】對高階等差數列按其定義逐一進行構造數列，直到出現一般等差數列為止，再根據其遞推關系進行求解.【詳解】現有一個高階等差數列，其前6項分別為1，3，6，12，23，41，各項與前一項之差：，，，，，…即2，3，6，11，18，…，，，，，…即1，3，5，7，…是等差數列，所以，故選：C6、C【解析】令雙曲線右焦點為，由對稱性可知，，結合雙曲線的定義即可得出結果.【詳解】令雙曲線右焦點為，由對稱性可知，，則，為常數，故選：C.7、D【解析】根據橢圓和雙曲線的性質以及定義逐一判斷即可.【詳解】曲線，若，則是橢圓，其焦點在軸上，故A正確；若，則，即是圓，半徑為，故B正確；若，則是雙曲線，當，則漸近線方程為，當，則漸近線方程為，故C正確；若，，則是雙曲線，其焦點在軸上，由雙曲線的定義可知，，故D錯誤；故選：D8、A【解析】求得圓心坐標和半徑，結合點到直線的距離公式和圓的弦長公式，即可求解.【詳解】由圓的方程可知圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，所以弦長為.故選：A.9、A【解析】根據是等腰直角三角形，再表示出的長，利用三角形的幾何性質即可求得答案.【詳解】線段的中點在y軸上,設的中點為M，因為O為的中點，所以,而,則，為等腰三角形，故，由，得，又為等腰直角三角形，故，即，解得，即，故選：A.10、B【解析】連接，再取中點，連接，得到為直線與所成角，再解三角形即可.【詳解】連接，再取中點，連接，因為分別為VC，中點，則，且底面,所以為直線與所成角，令正四面體邊長為1，則，,，所以，故選：.11、C【解析】由題意，可知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為120°，再確定參數的正負即可求解.【詳解】雙曲線，令，則，顯然，則一條漸近線方程為，繞其對稱中心順時針旋轉120°后可得到某一函數的圖象，則漸近線就需要旋轉到與坐標軸重合，故漸近線方程的傾斜角為120°，即，該函數在區間上存在最小值，可知，所以，所以.故選：C12、A【解析】利用斜率公式即求.【詳解】由題可得，∴.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據已知可設，，，根據已知條件求出、、的值，將向量用坐標加以表示，利用空間向量的模長公式可求得的最小值.【詳解】因為、是空間內兩個單位向量，且，所以，，因為，則，不妨設，，設，則，，解得，則，因為，可得，則，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，因此，對于任意的實數、，的最小值為.故答案為：.14、【解析】分為和考慮，當時，根據題意列出不等式組，求出的取值范圍.【詳解】當得：，滿足題意；當時，要想保證關于的不等式的解集為R，則要滿足：，解得：，綜上：的取值范圍為故答案為：15、【解析】先設出與直線垂直的直線方程，再把代入進行求解.【詳解】設與直線垂直的直線為，將代入得：，解得：，故所求直線方程為.故答案為：16、【解析】根據題中所給的遞推式得到數列具有周期性，進而得到結果.【詳解】根據題中遞推式知，可知數列具有周期性，周期為3，因為故故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析；（2）；失效費為6.3萬元【解析】（1）根據相關系數公式計算出相關系數可得結果；（2）根據公式求出和可得關于的線性回歸方程，再代入可求出結果.【詳解】（1）由題意，知，，∴結合參考數據知：因為與的相關系數近似為0.99，所以與的線性相關程度相當大，從而可以用線性回歸模型擬合與的關系（2）∵，∴∴關于的線性回歸方程為，將代入線性回歸方程得萬元，∴估算該種機械設備使用8年的失效費為6.3萬元18、；【解析】根據兩點式方程和中點坐標公式求解，并化為一般式方程即可.【詳解】解：過的兩點式方程為，整理得即邊所在直線的方程為，邊上的中線是頂點A與邊中點M所連線段，由中點坐標公式可得點M的坐標為，即過，的直線的方程為，即整理得所以邊上中線所在直線的方程為19、（1）證明見解析；（2）當時，l被C截得的弦長最短，最短弦長為.【解析】（1）求出直線l的定點，進而判斷定點和圓C的位置關系，最后得到答案；（2）當圓心C到直線l的距離最大時，弦長最短，進而求出m，然后根據勾股定理求出弦長.【詳解】（1）直線l的方程可化為y＋3＝2m(x－4)，則l過定點P(4，－3)，由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以點P在圓內，故直線l與圓C總相交（2）圓的C方程可化為：(x－3)2＋(y＋6)2＝25，如圖所示，當圓心C(3，－6)到直線l的距離最大時，弦AB的長度最短，此時PC⊥l，又，所以直線l的斜率為，則，在直角中，|PC|＝，|AC|＝5，所以|AB|＝.故當時，l被C截得的弦長最短，最短弦長為.20、（1）；（2）.【解析】（1）設等差數列的公差為，根據題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由（1）求得，結合“裂項法”即可求解.【詳解】（1）設等差數列的公差為，因為，若成等比數列，可得，解得，所以數列的通項公式為.（2）由（1）可得，所以.【點睛】關于數列的裂項法求和的基本策略：1、基本步驟：裂項：觀察數列的通項，將通項拆成兩項之差的形式；累加：將數列裂項后的各項相加；消項：將中間可以消去的項相互抵消，將剩余的有限項相加，得到數列的前項和.2、消項的規律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項.21、（1）（2）【解析】(1)對求導,再根據題意有,據此列式求出;(2)由題可知對恒成立,即對恒成立,因此求出在區間上的最小值即可得出結論.【詳解】(1),則,因為在處取得極值,所以,解得,經檢驗,當時,在處取得極值;(2)因為在上單調遞減,所以對恒成立,則對恒成立,∵當