湖北省孝感市重點高中協作體2023年高二上數學期末調研試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（）A.24種 B.6種C.4種 D.12種2．執行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸人的（）A. B.或C. D.或3．在中，B=60°，，，則AC邊的長等于（）A. B.C. D.4．下列函數的求導正確的是（）A. B.C. D.5．用數學歸納法證明時，第一步應驗證不等式（）A. B.C. D.6．如圖，用隨機模擬方法近似估計在邊長為e（e為自然對數的底數）的正方形中陰影部分的面積，先產生兩組區間上的隨機數和，因此得到1000個點對，再統計出落在該陰影部分內的點數為260個，則此陰影部分的面積約為（）A.0.70 B.1.04C.1.86 D.1.927．已知點、是雙曲線C：的左、右焦點，P是C左支上一點，若直線的斜率為2，且為直角三角形，則雙曲線C的離心率為()A.2 B.C. D.8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為坐標原點，為雙曲線在第一象限上的點，直線，分別交雙曲線的左，右支于另一點，，若，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.3C.2 D.9．為了了解1000名學生的學習情況，采用系統抽樣的方法，從中抽取容量為50的樣本，則分段的間隔為（）A.20 B.25C.40 D.5010．直線的傾斜角為（）A. B.C. D.11．在中，內角所對的邊為，若，，，則（）A. B.C. D.12．在一次拋硬幣的試驗中，某同學用一枚質地均勻的硬幣做了100次試驗，發現正面朝上出現了48次，那么出現正面朝上的頻率和概率分別為（）A.0.48，0.48 B.0.5，0.5C.0.48，0.5 D.0.5，0.48二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在等差數列中，，公差，則_________14．將集合且中所有的元素從小到大排列得到的數列記為，則___________（填數值）.15．平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，則對角線的長度為___.16．已知圓：和圓：，動圓M同時與圓及圓外切，則動圓的圓心M的軌跡方程為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數列}的公差為整數，為其前n項和，，（1）求{}的通項公式：（2）設，數列的前n項和為，求18．（12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，直線BC與平面PCD所成角的正弦值為.（1）求證：平面PCD⊥平面PAC；（2）求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值.19．（12分）已知為各項均為正數的等比數列，且，.（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列前n項和.20．（12分）已知雙曲線C：的離心率為，過點作垂直于x軸的直線截雙曲線C所得弦長為（1）求雙曲線C的方程；（2）直線（）與該雙曲線C交于不同的兩點A，B，且A，B兩點都在以點為圓心的同一圓上，求m的取值范圍21．（12分）已知拋物線，直線交于、兩點，且當時，.（1）求的值；（2）如圖，拋物線在、兩點處的切線分別與軸交于、，和交于，.證明：存在實數，使得.22．（10分）計算：（1）求函數（a，b為正常數）的導數（2）已知點P在曲線上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由已知可得只需對剩下3人全排即可【詳解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則只需對剩下3人全排即可，則不同的排法共有，故選：B2、A【解析】根據題意可知該程序框圖顯示的算法函數為，分和兩種情況討論即可得解.【詳解】解：該程序框圖顯示得算法函數為，由，當時，，方程無解；當時，，解得，綜上，若輸出的，則輸入的.故選：A.3、B【解析】根據正弦定理直接計算可得答案.【詳解】由正弦定理，,得,故選：B.4、B【解析】對各個選項進行導數運算驗證即可.【詳解】，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：B5、B【解析】取即可得到第一步應驗證不等式.【詳解】由題意得，當時，不等式為故選：B6、D【解析】根據幾何概型的概率公式即可直接求出答案.【詳解】易知，根據幾何概型的概率公式，得，所以.故選：D.7、B【解析】根據雙曲線的定義和勾股定理利用即可得離心率.【詳解】∵直線的斜率為2，為直角三角形，∴，又，∴，.∵，即，∴故選：B.8、D【解析】由雙曲線的定義可設，，由平面幾何知識可得四邊形為平行四邊形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由離心率公式可得所求值【詳解】由雙曲線的定義可得，由，可得，，結合雙曲線性質可以得到，而，結合四邊形對角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結合，故，對三角形，用余弦定理，得到，結合，可得，，，代入上式子中，得到，即，結合離心率滿足，即可得出，故選：D【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質即可，屬于常考題型.9、A【解析】根據系統抽樣定義可求得結果【詳解】分段的間隔為故選：A10、D【解析】若直線傾斜角為，由題設有，結合即可得傾斜角的大小.【詳解】由直線方程，若其傾斜角為，則，而，∴.故選：D11、B【解析】利用正弦定理角化邊得到，再利用余弦定理構造方程求得結果.【詳解】，，由余弦定理得：，，.故選：B.12、C【解析】頻率跟實驗次數有關，概率是一種現象的固有屬性，與實驗次數無關，即可得到答案.【詳解】頻率跟實驗次數有關，出現正面朝上的頻率為實驗中出現正面朝上的次數除以總試驗次數，故為.概率是拋硬幣試驗的固有屬性，與實驗次數無關，拋硬幣正面朝上的概率為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、15【解析】由等差數列通項公式直接可得.【詳解】.故答案為：1514、992【解析】列舉數列的前幾項，觀察特征，可得出.詳解】由題意得觀察規律可得中，以為被減數的項共有個，因為，所以是中的第5項，所以.故答案為：992.15、2【解析】利用，兩邊平方后，利用向量數量積計算公式，計算得.【詳解】對兩邊平方并化簡得,故.【點睛】本小題主要考查空間向量的加法和減法運算，考查空間向量數量積的表示，屬于中檔題.16、【解析】根據動圓同時與圓及圓外切，即可得到幾何關系，再結合雙曲線的定義可得動點的軌跡方程.【詳解】由題，設動圓的半徑為，圓的半徑為，圓的半徑為,當動圓與圓，圓外切時,,,所以,因為圓心,，即，又根據雙曲線的定義，得動點的軌跡為雙曲線的上支，其中，，所以,則動圓圓心的軌跡方程是；故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據題意利用等差數列的性質列出方程，即可解得答案；（2）根據（1）的結果，求出的表達式，利用裂項求和的方法求得答案.小問1詳解】設等差數列{}的公差為d，則,整理可得：，∵d是整數，解得，從而，所以數列{}的通項公式為：;【小問2詳解】由（1）知，，所以18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取的中點，連接，證明，由線面垂直的判定定理可證明平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結論，（2）過點作于，以為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，設，先根據直線BC與平面PCD所成角的正弦值為，求出，然后再求出平面PAB的法向量，利用向量的夾角公式可求得結果【小問1詳解】證明：取的中點，連接，因為AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，所以，∥，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，因為平面，平面，所以，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面，【小問2詳解】過點作于，以為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，在等腰梯形中，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，則，所以設因為平面，所以所以,設平面的法向量為，則，令，則，因為直線BC與平面PCD所成角的正弦值為，所以，解得，所以，，設平面的法向量為，因為，所以，令，則，所以，所以平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值為19、（1）；（2）.【解析】（1）先通過等比數列的基本量運算求出公比，進而求出通項公式；（2）結合（1）求出，然后根據錯位相減法求得答案.【小問1詳解】設等比數列公比為q,,,，（負值舍去），所以.【小問2詳解】，，所以，解得：.20、（1）（2）或【解析】（1）利用雙曲線離心率、點在雙曲線上及得到關于、、的方程組，進而求出雙曲線的標準方程；（2）聯立直線和雙曲線的方程，得到關于的一元二次方程，利用直線和雙曲線的位置關系、根與系數的關系得到兩個交點坐標間的關系，利用A，B兩點都在以點為圓心的同一圓上得到，再利用向量的數量積為0得到、的關系，進而消去得到的不等式進行求解.【小問1詳解】解：因為過點作垂直于x軸的直線截雙曲線C所得弦長為，所以點在雙曲線上，由題意，得，解得，，，即雙曲線的標準方程為.【小問2詳解】解：聯立，得，因為直線與該雙曲線C交于不同的兩點，所以且，即且，設，，的中點，則，，因為A，B兩點都在以點為圓心的同一圓上，所以，即，因為，，所以，即，將代入，得，解得或，即m的取值范圍為或.21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）將代入拋物線的方程，列出韋達定理，利用弦長公式可得出關于的等式，即可解得正數的值；（2）將代入，列出韋達定理，求出兩切線方程，進而可求得點的坐標，分、兩種情況討論，在時，推導出、、重合，可得出；在時，求出的中點的坐標，利用斜率關系可得出，結合平面向量的線性運算可證得結論成立.【小問1詳解】解：將代入得，設、，則，由韋達定理可得，則，解得或（舍），故.【小問2詳解】解：將代入中得，設、，則，由韋達定理可得，對求導得，則拋物線在點處的切線方程為，即，①同理拋物線在點處的切線方程為，②聯立①②得，所以，所以點的坐標為，當時，即切線與交于軸上一點，此時、、重合，由，則，又，則存在使得成立；當時，切線與軸交于點，切線與軸交于點，由，得的中點，由得，即，又，所以，所以，，又，所以存在實數使得成立.綜上，命題成立.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的