河南省張家口市涿鹿中學2023-2024學年高二數學第一學期期末質量跟蹤監視試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設x∈R，則x<3是0<x<3的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件2．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A. B.C. D.3．若點P在曲線上運動，則點P到直線的距離的最大值為（）A. B.2C. D.44．已知兩直線方程分別為l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，則a＝（）A2 B.－2C. D.5．已知函數，則曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積是（）A B.C. D.6．若實數滿足約束條件，則最小值為（）A.-2 B.-1C.1 D.27．設等差數列的前n項和為，，公差為d，，，則下列結論不正確的是（）A. B.當時，取得最大值C. D.使得成立的最大自然數n是158．若直線過點（1，2），（4，2＋），則此直線的傾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.90°9．已知雙曲線的右焦點為F，則點F到其一條漸近線的距離為（）A.1 B.2C.3 D.410．已知F1、F2是雙曲線E：(a>0，b>0）的左、右焦點，過F1的直線與雙曲線左、右兩支分別交于點P、Q．若，M為PQ的中點，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.11．為迎接2022年冬奧會，某校在體育冰球課上加強冰球射門訓練，現從甲、乙兩隊中各選出5名球員，并分別將他們依次編號為1，2，3，4，5進行射門訓練，他們的進球次數如折線圖所示，則在這次訓練中以下說法正確的是（）A.甲隊球員進球的中位數比乙隊大 B.乙隊球員進球的中位數比甲隊大C.乙隊球員進球水平比甲隊穩定 D.甲隊球員進球數的極差比乙隊小12．如圖，用隨機模擬方法近似估計在邊長為e（e為自然對數的底數）的正方形中陰影部分的面積，先產生兩組區間上的隨機數和，因此得到1000個點對，再統計出落在該陰影部分內的點數為260個，則此陰影部分的面積約為（）A.0.70 B.1.04C.1.86 D.1.92二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點，，點P在x軸上，且，則點P的坐標為______14．已知，空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為.用以上知識解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為___________.15．我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節約用水，計劃調整居民生活用水收費方案．通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，則a=______________16．已知球的半徑為4，圓與圓為該球的兩個小圓，為圓與圓的公共弦，，若，則兩圓圓心的距離___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數R)（1）當時，求函數的圖象在處的切線方程；（2）求的單調區間18．（12分）已知橢圓的離心率為，且經過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知，經過點的直線與橢圓交于、兩點，若原點到直線的距離為，且，求直線的方程.19．（12分）已知是數列的前n項和，且.（1）求數列的通項公式；（2）若，求的前n項和.20．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線(t為參數).以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）設點的直角坐標為，直線與曲線的交點為，求的值.21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面底面ABCD，，，，，（1）證明：是直角三角形；（2）求平面PCD與平面PAB的夾角的余弦值22．（10分）在棱長為4的正方體中，點分別在線段上，點在線段延長線上，，，連接交線段于點.（1）求證平面；（2）求異面直線所成角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用充分條件、必要條件的定義可得出結論.【詳解】，因此，“”是“”必要不充分條件.故選：B.2、D【解析】分析：根據等比數列的定義可知每一個單音的頻率成等比數列，利用等比數列的相關性質可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D.點睛：此題考查等比數列的實際應用，解決本題的關鍵是能夠判斷單音成等比數列.等比數列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數列等比數列；（2）等比中項公式法，若數列中，且（），則數列是等比數列.3、A【解析】由方程確定曲線的形狀，然后轉化為求圓上的點到直線距離的最大值【詳解】由曲線方程為知曲線關于軸成軸對稱，關于原點成中心對稱圖形，在第一象限內，方程化為，即，在第一象限內，曲線是為圓心，為半徑的圓在第一象限的圓弧（含坐標軸上的點），實際上整個曲線就是這段圓弧及其關于坐標軸．原點對稱的圖形加上原點，點到直線的距離為，所以所求最大值為故選：A4、B【解析】直接利用直線垂直公式計算得到答案.【詳解】因為l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即-＝1，解得a＝－2.故選：【點睛】本題考查了根據直線垂直計算參數，屬于簡單題.5、B【解析】根據導數的幾何意義，求出切線方程，求出切線和橫截距a和縱截距b，面積為【詳解】由題意可得，所以，則所求切線方程為令，得；令，得故所求三角形的面積為故選：B6、B【解析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，把最優解的坐標代入目標函數得答案【詳解】由約束條件作出可行域如圖，聯立，解得，由，得，由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最小，有最小值為故選：B7、D【解析】根據等差數列等差中項的性質，求和公式及單調性分別判斷.【詳解】因為，，所以，則，故A正確;當時,取得最大值，故B正確;，故C正確;因為，，，所以使得成立的最大自然數是，故D錯誤.故選：D8、A【解析】求出直線的斜率，由斜率得傾斜角【詳解】由題意直線斜率為，所以傾斜角為故選：A9、A【解析】由雙曲線方程可寫出右焦點坐標，再寫一漸近線方程，根據點到直線的距離公式可得答案.【詳解】雙曲線的右焦點F坐標為，根據雙曲線的對稱性，不妨取一條漸近線為，故點F到漸近線的距離為，故選：A10、D【解析】由題干條件得到，設出，利用雙曲線定義表達出其他邊長，得到方程，求出，從而得到，，利用勾股定理求出的關系，求出離心率.【詳解】因為M為PQ的中點，且，所以△為等腰三角形，即，因為，設，則，由雙曲線定義可知：，所以，則，又，所以，解得：，由勾股定理得：，其中，在三角形中，由勾股定理得：，即，解得：故選：D11、C【解析】根據折線圖，求出甲乙中位數、平均數及方差、極差，即可判斷各選項的正誤.【詳解】由題圖，甲隊數據從小到大排序為，乙隊數據從小到大排序為，所以甲乙兩隊的平均數都為5，甲、乙進球中位數相同都為5，A、B錯誤；甲隊方差為，乙隊方差為，即，故乙隊球員進球水平比甲隊穩定，C正確.甲隊極差為6，乙隊極差為4，故甲隊極差比乙隊大，D錯誤.故選：C12、D【解析】根據幾何概型的概率公式即可直接求出答案.【詳解】易知，根據幾何概型的概率公式，得，所以.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設，由，可得，求解即可【詳解】設，由故解得：則點P的坐標為故答案為：14、【解析】由題意分別求出這三個平面的法向量，設直線的方向向量為，由直線與平面與的法向量垂直，得出，由向量的夾角公式可得答案.【詳解】由，解得，即直線與平面的交點坐標為平面的方程為，可得所以平面的法向量為平面的法向量為，的法向量為設直線的方向向量為，則，即取，設直線與平面所成角則故答案為：15、3##【解析】由頻率之和等于1，即矩形面積之和為1可得.【詳解】由題知，解得.故答案為：0.316、【解析】欲求兩圓圓心的距離，將它放在與球心組成的三角形中，只要求出球心角即可，通過球的性質構成的直角三角形即可解得【詳解】∵，球半徑為4，∴小圓的半徑為，∵小圓中弦長，作垂直于，∴，同理可得，在直角三角形中，∵，，∴，∴，∴故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）答案見解析【解析】(1)根據切點處的導數等于切線斜率，切點在曲線上可得切線方程；(2)求導，分類討論可得.【小問1詳解】當時，，，，則，所以在處的切線方程為【小問2詳解】，，當時，，函數在R上單調遞增；當時，令，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增當時，的單調遞增區間為，當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為18、（1）；（2）.【解析】（1）由已知條件可得出關于、、的方程組，求出這三個量的值，由此可得出橢圓的標準方程；（2）分析可知直線的斜率存在且不為零，設直線的方程為，由點到直線的距離公式可得出，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，由可得出，代入韋達定理求出、的值，由此可得出直線的方程.【詳解】（1）設橢圓的焦距為，則，解得，因此，橢圓的標準方程為；（2）若直線斜率不存在，則直線過原點，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設斜率為，設直線方程為，設、，原點到直線的距離為，，即①.聯立直線與橢圓方程可得，則，則，由韋達定理可得，.，則為線段的中點，所以，，，得，，所以，，整理可得，解得，即，，因此，直線的方程為或.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.19、（1）（2）【解析】（1）當時，化簡得到，進而得到數列的通項公式；（2）由（1）得到，結合裂項法，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，數列的前n項和，且，當時，，當時，，滿足上式，所以數列的通項公式為.【小問2詳解】解：由，可得，所以.20、（1）；（2）3.【解析】（1）把展開得，兩邊同乘得,再代極坐標公式得曲線的直角坐標方程.（2）將代入曲線C的直角坐標方程得，再利用直線參數方程t的幾何意義和韋達定理求解.【詳解】（1）把展開得，兩邊同乘得①將代入①，即得曲線的直角坐標方程為②（2）將代入②式，得，點M的直角坐標為（0，3），設這個方程的兩個實數根分別為t1，t2，則∴t1＜0，t2＜0則由參數t的幾何意義即得.【點睛】本題主要考查極坐標和直角坐標的互化、直線參數方程t的幾何意義，屬于基礎題.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接BD，在四邊形ABCD中求得，在中，取得，得到，由線面垂直的性質證得平面，得到，再由線面垂直的判定定理，證得平面PBD，進而得到，即可證得是直角三角形（2）以為原點，以所在直線為x軸，過點且與平行直線為y軸，所在直線為z軸，建立的空間直角坐標系，分別求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：如圖所示，連接BD，因為四邊形中，可得，，，所以，，則在中，由余弦定理可得，所以，所以因為平面底面，平面底面，底面ABCD，所以平面PAB，因為平面PAB，所以，因為，，所以平面PBD因為平面PBD，所以，即是直角三角形【小問2詳解】解：由（1）知平面PAB，取AB的中點O，連接PO，因為，所以，因為平面，平面底