甘肅省蘭州市2024屆數學高二上期末達標檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．拋物線的焦點到直線的距離為，則（）A.1 B.2C. D.42．已知動直線的傾斜角的取值范圍是，則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.3．圓與直線的位置關系為（）A.相切 B.相離C.相交 D.無法確定4．已知雙曲線的離心率為2，則（）A.2 B.C. D.15．某校去年有1100名同學參加高考，從中隨機抽取50名同學總成績進行分析，在這個調查中，下列敘述錯誤的是A.總體是：1100名同學的總成績 B.個體是：每一名同學C.樣本是：50名同學的總成績 D.樣本容量是：506．變量，之間有如下對應數據：3456713111087已知變量與呈線性相關關系，且回歸方程為，則的值是（）A.2.3 B.2.5C.17.1 D.17.37．已知雙曲線，過其右焦點作漸近線的垂線，垂足為，延長交另一條漸近線于點A.已知為原點，且，則（）A. B.C. D.8．已知等比數列{an}中，，，則（）A. B.1C. D.49．新冠肺炎疫情的發生，我國的三大產業均受到不同程度的影響，其中第三產業中的各個行業都面臨著很大的營收壓力.2020年7月國家統計局發布了我國上半年國內經濟數據，如圖所示，圖1為國內三大產業比重，圖2為第三產業中各行業比重下列關于我國上半年經濟數據的說法正確的是（）A.第一產業的生產總值與第三產業中“其他服務業”的生產總值基本持平B.第一產業的生產總值超過第三產業中“金融業”的生產總值C.若“住宿和餐飲業”生產總值為7500億元，則“房地產”生產總值為22500億元D.若“金融業”生產總值為41040億元，則第二產業生產總值為166500億元10．設分別是橢圓的左、右焦點，P是C上的點，則的周長為（）A.13 B.16C.20 D.11．已知圓C的方程為，點P在圓C上，O是坐標原點，則的最小值為（）A.3 B.C. D.12．如圖所示，在三棱錐中，E，F分別是AB，BC的中點，則等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，從下列四個條件：①；②；③；④中選出三個條件，能使滿足所選條件的存在且唯一的所有c的值為______.14．已知實數，滿足，則的最大值為______.15．橢圓上一點到兩個焦點的距離之和等于，則的標準方程為______.16．若x，y滿足約束條件，則的最大值為_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：的長軸長為4，過C的一個焦點且與x軸垂直的直線被C截得的線段長為3（1）求C的方程；（2）若直線：與C交于A，B兩點，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點，且，求m的值18．（12分）已知O為坐標原點，、為橢圓C的左、右焦點，，P為橢圓C的上頂點，以P為圓心且過、的圓與直線相切（1）求橢圓C的標準方程；（2）若過點作直線l，交橢圓C于M，N兩點（l與x軸不重合），在x軸上是否存在一點T，使得直線TM與TN的斜率之積為定值？若存在，請求出所有滿足條件的點T的坐標；若不存在，請說明理由19．（12分）已知函數（1）討論函數的單調性；（2）若函數有兩個零點，，證明：20．（12分）已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，且拋物線上有一點到焦點的距離為3，直線與拋物線交于，兩點，為坐標原點(1)求拋物線的方程；(2)求的面積.21．（12分）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知，且.（1）求的面積；（2）若a、b、c成等差數列，求b的值.22．（10分）在等差數列中，已知且（1）求的通項公式；（2）設，求數列前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】首先確定拋物線的焦點坐標，然后結合點到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點坐標為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.2、B【解析】根據傾斜角與斜率的關系可得，即可求m的范圍.【詳解】由題設知：直線斜率范圍為，即，可得.故選：B.3、C【解析】先計算出直線恒過定點，而點在圓內，所以圓與直線相交.【詳解】直線可化為，所以恒過定點.把代入，有：，所以在圓內，所以圓與直線的位置關系為相交.故選：C4、D【解析】由雙曲線的性質，直接表示離心率，求.【詳解】由雙曲線方程可知，因為，所以，解得：，又，所以.故選：D【點睛】本題考查雙曲線基本性質，意在考查數形結合分析問題和解決問題能力，屬于中檔題型，一般求雙曲線離心率的方法：

直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.構造法：根據條件，可構造出的齊次方程，通過等式兩邊同時除以，進而得到關于的方程.5、B【解析】采用逐一驗證法，根據總體，個體，樣本的概念，可得結果.【詳解】據題意：總體是1100名同學的總成績，故A正確個體是每名同學的總成績，故B錯樣本是50名同學的總成績，故C正確樣本容量是：50，故D正確故選：B【點睛】本題考查總體，個體，樣本的概念，屬基礎題.6、D【解析】將樣本中心點代入回歸方程后求解【詳解】，，將樣本中心點代入回歸方程，得故選：D7、C【解析】畫出圖象，結合漸近線方程得到，，進而得到，結合漸近線的斜率及角度關系，列出方程，求出，從而求出.【詳解】漸近線為，如圖，過點F作FB垂直于點B，交于點A，則到漸近線距離為，則，又，由勾股定理得：，則，又，，所以，解得：，所以.故選：C8、D【解析】設公比為，然后由已知條件結合等比數列的通項公式列方程求出，從而可求出，【詳解】設公比為，因為等比數列{an}中，，，所以，所以，解得，所以，得故選：D9、D【解析】根據扇形圖及柱形圖中的各產業與各行業所占比重，得到第三產業中“其他服務業”及“金融業”的生產總值占總生產總值的比重，進而比較出AB選項，利用“住宿和餐飲業”生產總值和“房地產”生產總值的比值，求出“房地產”生產總值，判斷出C選項，利用第三產業中“金融業”的生產總值與第二產業的生產總值比值，求出第二產業生產總值，判斷D選項.【詳解】A選項，第三產業中“其他服務業”的生產總值占總生產總值的，因為，所以第三產業中“其他服務業”的生產總值明顯高于第一產業的生產總值，A錯誤；B選項，第三產業中“金融業”的生產總值占總生產總值的，因為，故第一產業的生產總值少于第三產業中“金融業”的生產總值，B錯誤；“住宿和餐飲業”生產總值和“房地產”生產總值的比值為，若“住宿和餐飲業”生產總值為7500億元，則“房地產”生產總值為億元，故C錯誤；第三產業中“金融業”的生產總值占總生產總值的，與第二產業的生產總值比值為，若“金融業”生產總值為41040億元，則第二產業生產總值為166500億元，D正確.故選：D10、B【解析】利用橢圓的定義及即可得到答案.【詳解】由橢圓的定義，，焦距，所以的周長為.故選：B11、B【解析】化簡判斷圓心和半徑，利用圓的性質判斷連接線段OC，交圓于點P時最小，再計算求值即得結果.【詳解】化簡得圓C的標準方程為，故圓心是，半徑，則連接線段OC，交圓于點P時最小，因為原點到圓心的距離，故此時.故選：B.12、D【解析】根據向量的線性運算公式化簡可得結果.【詳解】因為E，F分別是AB，AC的中點，所以，，所以，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、，##，【解析】由①②結合正弦定理可求出，但是角不唯一，故所選條件中不能同時有①②，只能是①③④或②③④，若選①③④，結合余弦定理可求，若選②③④，結合正弦定理即可求解【詳解】由①②結合正弦定理，所以，此時角不唯一，所以故所選條件中不能同時有①②，所以只能是①③④或②③④，若選①③④，即，，，由余弦定理可得，解得，若選②③④，即，，，因為，，所以，由正弦定理得，，故答案為：，14、【解析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組得到最優解的坐標，代入目標函數得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖所示，化目標函數為，由圖可知，當直線過點時，直線在y軸上的截距最大，z最大，聯立方程組，解得點，則取得最大值為.故答案為：【點睛】本題考查的是線性規劃問題，解決線性規劃問題的實質是把代數問題幾何化，即數形結合的思想，需要注意的是：一，準確無誤作出可行域；二，畫目標函數所對應直線時，要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率比較；三，一般情況下，目標函數的最值會在可行域的端點或邊界上取得.15、【解析】根據橢圓定義求出其長半軸長，再結合焦點坐標即可計算作答.【詳解】因橢圓上一點到兩個焦點的距離之和等于，則該橢圓長半軸長，而半焦距，于是得短半軸長b，有，所以的標準方程為.故答案為：16、3【解析】根據題意，畫出可行域，找出最優解，即可求解.【詳解】根據題意，不等式組所表示的可行域如圖陰影部分，由圖易知，取最大值的最優解為，故.故答案為：3三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由題設可得且，求出，即可得橢圓方程.（2）聯立直線l和橢圓C并整理為關于x的一元二次方程，由求出m的范圍，再應用韋達定理、弦長公式求，進而可得線段AB的中垂線，同理聯立曲線C求相交弦長，再由已知條件求m值，注意其范圍.【小問1詳解】由題意知，，則，令，可得，由題設有，則，所以C的方程為【小問2詳解】聯立方程得：，由，得設，，則，，所以，另一方面，，即線段AB的中點為，所以線段AB的中垂線方程為令，聯立方程得：同理求法，可得：，即因此，解得，故18、（1）；（2）存在；.【解析】(1)根據給定條件求出a，c，b即可作答.(2)聯立直線l與橢圓C的方程，利用斜率坐標公式并結合韋達定理計算即可推理作答.【小問1詳解】依題意，，，，由橢圓定義知：橢圓長軸長，即，而半焦距，即有短半軸長，所以橢圓C的標準方程為：【小問2詳解】依題意，設直線l方程為，由消去x并整理得，設，，則，，假定存在點，直線TM與TN的斜率分別為，，，要使為定值，必有，即，當時，，，當時，，，所以存在點，使得直線TM與TN的斜率之積為定值【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值19、（1）函數的單調性見解析；（2）證明見解析.【解析】(1)求出函數的導數，按a值分類討論判斷的正負作答.(2)將分別代入計算化簡變形，再對所證不等式作等價變形，構造函數，借助函數導數推理作答.【小問1詳解】已知函數的定義域為，，當時，恒成立，所以在區間上單調遞增；當時，由，解得，由，解得，的單調遞增區間為，單調遞減區間為，所以，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，在上單調遞減.【小問2詳解】依題意，不妨設，則，，于是得，即，亦有，即，因此，，要證明，即證，即證，即證，即證，令，，，則有在上單調遞增，，，即成立，所以.【點睛】思路點睛：涉及雙變量的不等式證明問題，將所證不等式等價轉化，構造新函數，再借助導數探討函數的單調性、極(最)值問題處理.20、（1）；（2）【解析】（1）由題意可設拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），運用拋物線的定義，可得23，解得p＝2，進而得到拋物線的方程；（2）由題意，直線AB方程為y＝x﹣1，與y2＝4x消去y得：x2﹣6x+1＝0．再用一元二次方程根與系數的關系和弦長公式，算出|AB|；利用點到直線的距離公式算出點O到直線AB的距離，即可求出△AOB的面積【詳解】（1）拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸上，且過一點P（2，m），可設拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），P（2，m）到焦點的距離為3，即有P到準線的距離為6，即23，解得p＝2，即拋物線的標準方程為y2＝4x；（2）聯立方程化簡，得x2﹣6x+1＝0設交點為A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1+x2＝6，x1x2＝1可得|AB||x1﹣x2|＝8點O到直線l的距離d，所以△AOB的面積為S|AB|?d82【點睛】本題考查拋物線的