廣東省江門市新會區梁啟超紀念中學2024屆高二數學第一學期期末檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某學習小組研究一種衛星接收天線（如圖①所示），發現其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內的衛星波束呈近似平行狀態射入形為拋物線的接收天線，經反射聚焦到焦點處（如圖②所示）．已知接收天線的口徑（直徑）為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線的焦點到頂點的距離為（）A.1.35m B.2.05mC.2.7m D.5.4m2．某校高二年級統計了參加課外興趣小組的學生人數，每人只參加一類，數據如下表：學科類別文學新聞經濟政治人數400300100200若從參加課外興趣小組的學生中采用分層抽樣的方法抽取50名參加學習需求的問卷調查，則從文學、新聞、經濟、政治四類興趣小組中抽取的學生人數分別為（）A.15，20，10，5 B.15，20，5，10C.20，15，10，5 D.20，15，5，103．已知動點滿足，則動點的軌跡是（）A.橢圓 B.直線C.線段 D.圓4．已知雙曲線的離心率為5，則其標準方程為()A. B.C. D.5．設點是點，，關于平面的對稱點，則（）A.10 B.C. D.386．已知雙曲線的兩個頂點分別為A、B，點P為雙曲線上除A、B外任意一點，且點P與點A、B連線的斜率為，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.37．若某群體中成員只用現金支付的概率為，既用現金支付也用非現金支付的概率為，則不用現金支付的概率為（）A. B.C. D.8．已知函數，則（）A.0 B.1C.2 D.9．設，則“”是“直線與直線”平行的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件10．2020年北京時間11月24日我國嫦娥五號探月飛行器成功發射.嫦娥五號是我國探月工程“繞、落、回”三步走的收官之戰，經歷發射入軌、地月轉移、近月制動、環月飛行、著陸下降、月面工作、月面上升、交會對接與樣品轉移、環月等待、月地轉移、再入回收等11個關鍵階段.在經過交會對接與樣品轉移階段后，若嫦娥五號返回器在近月點（離月面最近的點）約為200公里，遠月點（離月面最遠的點）約為8600公里，以月球中心為一個焦點的橢圓形軌道上等待時間窗口和指令進行下一步動作，月球半徑約為1740公里，則此橢圓軌道的離心率約為（）A.0.32 B.0.48C.0.68 D.0.8211．在棱長為2的正方體中，為線段的中點，則點到直線的距離為（）A. B.C. D.12．把直線繞原點逆時針轉動，使它與圓相切，則直線轉動的最小正角度A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓的圓心與點關于直線對稱，直線與圓相交于、兩點，且，則圓的方程為_________14．已知曲線與曲線有相同的切線，則________15．設是定義在上的可導函數，且滿足，則不等式解集為_______16．若，若，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線：，點，過點的直線l與拋物線交于A，B兩點：當l與拋物線的對稱軸垂直時，（1）求拋物線的標準方程；（2）若點A在第一象限，記的面積為，的面積為，求的最小值18．（12分）在公差為的等差數列中,已知，且成等比數列.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.19．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，E，F分別為AD和PB的中點.請用空間向量知識解答下列問題：（1）求證：EF//平面PDC；（2）求平面EFC與平面PBD夾角的余弦值.20．（12分）已知圓C的圓心為，且圓C經過點（1）求圓C的一般方程；（2）若圓與圓C恰有兩條公切線，求實數m的取值范圍21．（12分）如圖，點是曲線上的動點(點在軸左側)，以點為頂點作等腰梯形，使點在此曲線上，點在軸上.設，等腰梯的面積為.（1）寫出函數的解析式，并求出函數的定義域；（2）當為何值時，等腰梯形的面積最大？求出最大面積.22．（10分）已知數列是公比為正數的等比數列，且，.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據題意先建立恰當的坐標系，可設出拋物線方程，利用已知條件得出點在拋物線上，代入方程求得p值，進而求得焦點到頂點的距離.【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標系xOy，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點O重合，焦點F在x軸上設拋物線的標準方程為，由已知條件可得，點在拋物線上，所以，解得，因此，該拋物線的焦點到頂點的距離為1.35m，故選：A.2、D【解析】利用分層抽樣的等比例性質求抽取的樣本中所含各小組的人數.【詳解】根據分層抽樣的等比例性質知：文學小組抽取人數為人；新聞小組抽取人數為人；經濟小組抽取人數為人；政治小組抽取人數為人；故選：D.3、C【解析】根據兩點之間的距離公式的幾何意義即可判定出動點軌跡.【詳解】由題意可知表示動點到點和點的距離之和等于，又因為點和點的距離等于，所以動點的軌跡為線段.故選：4、D【解析】雙曲線離心率公式和a、b、c的關系即可求得m，從而得到雙曲線的標準方程.【詳解】∵雙曲線，∴，又，∴，∵離心率為，∴，解得，∴雙曲線方程.故選：D.5、A【解析】寫出點坐標，由對稱性易得線段長【詳解】點是點，，關于平面的對稱點，的橫標和縱標與相同，而豎標與相反，，，，直線與軸平行，，故選：A6、C【解析】根據題意設設，根據題意得到，進而求得離心率【詳解】根據題意得到設，因為，所以，所以，則故選：C.7、A【解析】利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由對立事件概率公式可知，該群體中的成員不用現金支付的概率為.故選：A.8、C【解析】對函數f(x)求導即可求得結果.【詳解】函數,則，，故選C【點睛】本題考查正弦函數的導數的應用，屬于簡單題.9、D【解析】由兩直線平行確定參數值，根據充分必要條件的定義判斷【詳解】時，兩直線方程分別為，，它們重合，不平行，因此不是充分條件；反之，兩直線平行時，，解得或，由上知時，兩直線不平行，時，兩直線方程分別為，，平行，因此，本題中也不是必要條件故選：D10、C【解析】由題意可知，求出的值，從而可求出橢圓的離心率【詳解】解：由題意得，解得，所以離心率，故選：C11、D【解析】根據正方體的性質，在直角△中應用等面積法求到直線的距離.【詳解】由正方體的性質：面，又面，故，直角△中，若到上的高為，∴，而，，，∴.故選：D.12、B【解析】根據直線過原點且與圓相切，求出直線的斜率，再數形結合計算最小旋轉角【詳解】解析：由題意，設切線為，∴.∴或.∴時轉動最小∴最小正角為.故選B.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用對稱條件求出圓心C的坐標，借助直線被圓所截弦長求出圓半徑即可寫出圓的方程.【詳解】設圓的圓心，依題意，，解得，即圓心，點C到直線的距離，因圓截直線所得弦AB長為6，于是得圓C的半徑所以圓的方程為：.故答案為：14、0【解析】設切點分別為，．利用導數的幾何意義可得，則．由，，計算可得，進而求得點坐標代入方程即可求得結果.【詳解】設切點分別為，由題意可得，則，即因為，，所以，即，解得，所以，則，解得故答案為：015、【解析】構造函數，結合題意求得，由此判斷出在上遞增，由此求解出不等式的解集.【詳解】令，，故函數在上單調遞增，不等式可化為，則，解得：【點睛】本小題主要考查構造函數法解不等式，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于基礎題.16、2【解析】首先利用二項展開式的通項公式，求，再利用賦值法求系數的和以及【詳解】展開式的通項為，令，則，即，故，令，得.又，所以故故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）.（2）8.【解析】（1）將點代入拋物線方程可解得基本量.（2）設直線AB為，代入聯立得關于的一元二次方程，運用韋達定理，得到關于的函數關系，再求函數最值.【小問1詳解】當l與拋物線的對稱軸垂直時，，，則代入拋物線方程得，所以拋物線方程是【小問2詳解】設點，，直線AB方程為，聯立拋物線整理得：，，∴，，有，由A在第一象限，則，即，∴，可得，又O到AB的距離，∴，而，∴，，當，，單調遞減；，，單調遞增；∴的最小值為,此時，.18、(Ⅰ)或(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)由題意求得數列的公差后可得通項公式．(Ⅱ)結合條件可得，分和兩種情況去掉中的絕對值后，利用數列的前n項和公式求解試題解析：（Ⅰ）∵成等比數列，∴，整理得，解得或，當時，;當時，所以或（Ⅱ）設數列前項和為，∵，∴，當時，，∴；當時，綜上19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，然后求出平面的法向量，再求出，判斷是否與法垂直即可，（2）分別求出平面EFC與平面PBD的法向量，利用向量夾角公式求解即可【小問1詳解】因PD⊥底面ABCD，平面，所以，因為四邊形為正方形，所以，所以兩兩垂直，所以以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，因為E，F分別為AD和PB的中點，所以，所以，因為,所以平面，所以平面的一個法向量為，因為，所以,因為平面，所以EF//平面PDC；【小問2詳解】設平面的法向量為，因為，，所以，令，則，設平面的法向量為，因為,所以，令，則，設平面EFC與平面PBD夾角為，，則，所以平面EFC與平面PBD夾角的余弦值為20、（1）（2）【解析】（1）設圓C的一般方程為．由圓C的圓心和圓C經過點求解；（2）根據圓與圓C恰有兩條公切線，由圓O與圓C相交求解.【小問1詳解】解：設圓C的一般方程為∵圓C的圓心，∴即又圓C經過點，∴解得經檢驗得圓C的一般方程為；【小問2詳解】由（1）知圓C的圓心為，半徑為5∵圓與圓C恰有兩條公切線，∴圓O與圓C相交∴∵，∴∴m的取值范圍是21、（1）；（2）當時取到最大值，【解析】（1）設點，則根據題意得，，故；（2）令，研究函數的單調性，進而得的最值，進而得的最大值.【詳解】解：（1）根據題意，設點，由是曲線上的動點得：，由