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河北省臨西縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)平面向量,,其中m,,記“”為事件A,則事件A發(fā)生的概率為()A. B.C. D.2.的展開(kāi)式中的系數(shù)為,則()A. B.C. D.3.下列函數(shù)是偶函數(shù)且在上是減函數(shù)的是A. B.C. D.4.已知是邊長(zhǎng)為6的等邊所在平面外一點(diǎn),,當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),三棱錐外接球的表面積為()A. B.C. D.5.已知雙曲線:的左、右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為,若,則雙曲線的離心率是()A. B.C. D.6.直線在y軸上的截距為()A.-1 B.1C. D.7.若橢圓的弦恰好被點(diǎn)平分,則所在的直線方程為()A. B.C. D.8.阿基米德(公元前287年~公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家,也是著名的數(shù)學(xué)家,他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,焦點(diǎn)在y軸上,且橢圓C的離心率為,面積為6π,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.9.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足4x+3y=4,則的最小值為()A. B.C. D.10.在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B.C. D.11.在平面直角坐標(biāo)系中,線段的兩端點(diǎn),分別在軸正半軸和軸正半軸上滑動(dòng),若圓上存在點(diǎn)是線段的中點(diǎn),則線段長(zhǎng)度的最小值為()A.4 B.6C.8 D.1012.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,若(,且),則i的取值集合是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.圓(x+2)2+y2=4與圓(x-2)2+(y-1)2=9的位置關(guān)系為_(kāi)_______14.方程()所表示的直線恒過(guò)定點(diǎn)________15.已知點(diǎn),為拋物線:上不同于原點(diǎn)的兩點(diǎn),且,則的面積的最小值為_(kāi)_________.16.已知雙曲線,則圓的圓心C到雙曲線漸近線的距離為_(kāi)_____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知斜率為的直線與橢圓:交于,兩點(diǎn)(1)若線段的中點(diǎn)為,求的值;(2)若,求證:原點(diǎn)到直線的距離為定值18.(12分)已知拋物線的焦點(diǎn)與曲線的右焦點(diǎn)重合.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若拋物線上的點(diǎn)滿足,求點(diǎn)的坐標(biāo).19.(12分)已知圓的圓心在直線上,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線與圓交于,兩點(diǎn),且,求直線的方程.20.(12分)已知橢圓的離心率為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,為坐標(biāo)原點(diǎn),若的面積為,求直線的方程.21.(12分)如圖是一個(gè)正三棱柱(以為底面)被一平面所截得到的幾何體,截面為ABC.已知,,M為AB中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)求此幾何體的體積.22.(10分)已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn),橢圓C的離心率為.(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)從橢圓C在第一象限內(nèi)的部分上取橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)P,若橢圓C上有兩個(gè)點(diǎn)A,B使得的平分線垂直于坐標(biāo)軸,且點(diǎn)B與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)之差為,求直線AP的方程.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由向量的數(shù)量積公式結(jié)合古典概型概率公式得出事件A發(fā)生的概率.【詳解】由題意可知,即,因?yàn)樗械幕臼录灿蟹N,其中滿足的為,,只有1種,所以事件A發(fā)生的概率為.故選:D2、B【解析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng),先求得x的指數(shù)為1時(shí)r的值,再求得a的值.【詳解】由題意得:二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為:,令,則,故選:B3、C【解析】根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,綜合即可得答案【詳解】根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):對(duì)于A,為一次函數(shù),不是偶函數(shù),不符合題意;對(duì)于B,,,為奇函數(shù),不是偶函數(shù),不符合題意;對(duì)于C,,為二次函數(shù),是偶函數(shù)且在上是減函數(shù),符合題意;對(duì)于D,,,為奇函數(shù),不是偶函數(shù),不符合題意;故選C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定,關(guān)鍵是掌握常見(jiàn)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題4、C【解析】由題意分析可得,當(dāng)時(shí)三棱錐的體積最大,然后作圖,將三棱錐還原成正三棱柱,按照正三棱柱外接球半徑的計(jì)算方法來(lái)計(jì)算,即可計(jì)算出球半徑,從而完成求解.【詳解】由題意可知,當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)是時(shí),為正三角形,如圖所示,將三棱錐補(bǔ)成正三棱柱,該正三棱柱的外接球就是三棱錐的外接球,而正三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)上,設(shè)外接圓半徑為,三棱錐外接球半徑為,由正弦定理可得:,所以,,所以三棱錐外接球的表面積為.故選:C.5、B【解析】根據(jù)得到三角形為等腰三角形,然后結(jié)合雙曲線的定義得到,設(shè),進(jìn)而作,得出,由此求出結(jié)果【詳解】因?yàn)椋裕此裕呻p曲線的定義,知,設(shè),則,易得,如圖,作,為垂足,則,所以,即,即雙曲線的離心率為.故選:B6、A【解析】把直線方程由一般式化成斜截式,即可得到直線在軸上的截距.【詳解】由,可得,則直線在軸上的截距為.故選:A7、D【解析】判斷點(diǎn)M與橢圓的位置關(guān)系,再借助點(diǎn)差法求出直線AB的斜率即可計(jì)算作答.【詳解】顯然點(diǎn)橢圓內(nèi),設(shè)點(diǎn),依題意,,兩式相減得:,而弦恰好被點(diǎn)平分,即,則直線AB的斜率,直線AB:,即,所以所在的直線方程為.故選:D8、D【解析】設(shè)橢圓的方程為,根據(jù)題意得到和,求得的值,即可求解.【詳解】由題意,橢圓的焦點(diǎn)在軸上,可設(shè)橢圓的方程為,因?yàn)闄E圓C的離心率為,可得,又由,即,解得,又因?yàn)闄E圓的面積為,可得,即,聯(lián)立方程組,解答,所以橢圓方程為.故選:D.9、A【解析】將4x+3y=4變形為含2x+1和3y+2的等式,即2(2x+1)+(3y+2)=8,再由換元法、基本不等式換“1”的代換求解即可【詳解】由正實(shí)數(shù)x,y滿足4x+3y=4,可得2(2x+1)+(3y+2)=8,令a=2x+1,b=3y+2,可得2a+b=8,∴,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),∴的最小值為.故選:A10、C【解析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)即可知答案.【詳解】由點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為該點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的相反數(shù),所以.故選:C11、C【解析】首先求點(diǎn)的軌跡,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓有交點(diǎn),即根據(jù)兩圓的位置關(guān)系,求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè),,的中點(diǎn)為,則,故點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與圓有交點(diǎn),所以,,即,解得:,所以線段長(zhǎng)度的最小值為.故選:C12、C【解析】首先求出等差數(shù)列的首先和公差,然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d,由題知,,解得,,所以數(shù)列為,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、相交【解析】由題意知,兩圓的圓心分別為(-2,0),(2,1),故兩圓的圓心距離為,兩圓的半徑之差為1,半徑之和為5,而1<<5,所以兩圓的位置關(guān)系為相交14、【解析】將方程化為,令得系數(shù)等于0,即可得到答案.【詳解】方程可化為,由,得,所以方程()所表示的直線恒過(guò)定點(diǎn).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】設(shè),,利用可得即可求得,利用兩點(diǎn)間距離公式求出、,面積,利用基本不等式即可求最值.【詳解】設(shè),,由可得,解得:,,,,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以的面積的最小值為,故答案為:.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè),坐標(biāo),采用設(shè)而不求的方法,將轉(zhuǎn)化為,求出參數(shù)之間的關(guān)系,再利用基本不等式求的最值.16、2【解析】求出圓心和雙曲線的漸近線方程,即得解.【詳解】解:由題得圓的圓心為,雙曲線的漸近線方程為,即.所以圓心到雙曲線漸近線的距離為.故答案為:2三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用點(diǎn)差法即可求出的值;(2)設(shè)出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,寫韋達(dá);根據(jù),求出,從而可證明原點(diǎn)到直線的距離為定值【小問(wèn)1詳解】設(shè),則,,兩式相減,得,即,所以,即,又因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為,所以,即;【小問(wèn)2詳解】設(shè)斜率為的直線為,,由,得,所以,,因?yàn)椋裕矗裕裕矗裕c(diǎn)到直線的距離為.所以原點(diǎn)到直線的距離為定值.18、(1);(2)或.【解析】(1)求出雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo),可求出的值,即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn),由拋物線的定義求出的值,代入拋物線的方程可求得的值,即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】(1)由雙曲線方程可得,,所以,解得.則曲線的右焦點(diǎn)為,所以,.因此,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)設(shè),由拋物線的定義及已知可得,解得.代入拋物線方程可得,解得,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.19、(1)(2)【解析】(1)設(shè)圓心,由題意得,,結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式求解的值,則圓心與半徑可求,圓的方程可求;(2)若直線的斜率不存在,設(shè)直線的方程為,符合題意,若直線的斜率存在,設(shè)直線方程為,即,由圓心到直線的距離與半徑關(guān)系求得,則直線方程可求【小問(wèn)1詳解】解:(1)設(shè)圓心,由題意得,,,解得.圓心坐標(biāo)為,半徑.則圓的方程為;【小問(wèn)2詳解】解:(2)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,即,,圓心到直線的距離,即,解得,得直線的方程為.20、(1);(2)或.【解析】(1)由離心率公式、將點(diǎn)代入橢圓方程得出橢圓的方程;(2)聯(lián)立橢圓和直線的方程,由判別式得出的范圍,再由韋達(dá)定理結(jié)合三角形面積公式得出,求出的值得出直線的方程.【詳解】解:(1)因?yàn)闄E圓的離心率為,所以.①又因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以有.②聯(lián)立①②可得,,,所以橢圓的方程為.(2)由題意可知,直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為.由消去整理得,.因?yàn)橹本€與橢圓交于不同兩點(diǎn),所以,即,所以設(shè),,則,.由題意得,面積,即.因?yàn)榈拿娣e為,所以,即.化簡(jiǎn)得,,即,解得或,均滿足,所以或.所以直線的方程為或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:在第二問(wèn)中,關(guān)鍵是由韋達(dá)定理建立的關(guān)系,結(jié)合三角形面積公式求出斜率,得出直線的方程.21、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】(1)取的中點(diǎn),連接,,可得四邊形為平行四邊形,從而可得,然后證明平面,從而可證明.(2)過(guò)作截面平面,分別交,于,,連接,作于,由所求幾何體體積為從而可得答案.【小問(wèn)1詳解】如圖,取的中點(diǎn),連接,,因?yàn)椋謩e是,的中點(diǎn).所以且又因?yàn)椋郧遥仕倪呅螢槠叫兴倪呅危?因?yàn)檎切危堑闹悬c(diǎn),所以,又因?yàn)槠矫妫裕郑云矫嬗郑云矫?【小問(wèn)2詳解】如圖,過(guò)作截面平面,分別交,于,,連接,作于,因?yàn)槠矫嫫矫妫裕Y(jié)合直三棱柱的性質(zhì),則平面因?yàn)椋?所以所求幾何體體積為22、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由題意可得關(guān)于參數(shù)的方程,解之即可得到結(jié)果;(Ⅱ)設(shè)直線AP的斜率為k,聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得A點(diǎn)坐標(biāo),同理可得B點(diǎn)
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