河南省洛陽市汝陽縣實驗高中2024屆數學高二上期末學業水平測試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在三棱錐中，，，則異面直線PC與AB所成角的余弦值是（）A. B.C. D.2．圓心，半徑為的圓的方程是（）A. B.C. D.3．已知命題是真命題，那么的取值范圍是（）A. B.C. D.4．過拋物線（）的焦點作斜率大于的直線交拋物線于，兩點（在的上方），且與準線交于點，若，則A. B.C. D.5．拋物線的準線方程是A. B.C. D.6．已知圓，圓，M，N分別是圓上的動點，P為x軸上的動點，則以的最小值為（）A B.C. D.7．酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.根據國家有關規定：100血液中酒精含量在20~80之間為酒后駕車，80及以上為醉酒駕車.假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會以每小時20%的速度減少，若他想要在不違法的情況下駕駛汽車，則至少需經過的小時數約為（）（參考數據：，）A.6 B.7C.8 D.98．在中，已知，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形9．已知F1、F2是雙曲線E：(a>0，b>0）的左、右焦點，過F1的直線與雙曲線左、右兩支分別交于點P、Q．若，M為PQ的中點，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現的點數分別記為a，b，則直線到原點的距離不超過1的概率是（）A. B.C. D.11．已知圓，則圓上的點到坐標原點的距離的最小值為（）A.-1 B.C.+1 D.612．已知，，且，則向量與的夾角為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與直線間的距離為___________.14．已知函數f（x）=ex-2x+a有零點，則a的取值范圍是___________15．如圖，在棱長為2的正方體中，點分別是棱的中點，是側面正方形內一點（含邊界），若平面，則線段長度的取值范圍是__________16．雙曲線的漸近線方程為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，焦點，A，B是上關于原點對稱的兩點，的周長的最小值為（1）求的方程；（2）直線FA與交于點M（異于點A），直線FB與交于點N（異于點B），證明：直線MN過定點18．（12分）已知數列是等差數列，其前n項和為，，，數列滿足(且)，.（1）求和的通項公式；（2）求數列的前n項和.19．（12分）已知甲組數據的莖葉圖如圖所示，其中數據的整數部分為莖，數據的小數部分(僅一位小數)為葉，例如第一個數據為5.3（1）求：甲組數據的平均值、方差、中位數；（2）乙組數據為，且甲、乙兩組數據合并后的30個數據的平均值為，方差為，求：乙組數據的平均值和方差，寫出必要的計算步驟.參考公式：平均值，方差20．（12分）已知拋物線C：的焦點為F，為拋物線C上一點，且（1）求拋物線C的方程：（2）若以點為圓心，為半徑圓與C的準線交于A，B兩點，過A，B分別作準線的垂線交拋物線C于D，E兩點，若，證明直線DE過定點21．（12分）已知是公差不為零等差數列，，且、、成等比數列（1）求數列的通項公式：（2）設．數列{}的前項和為，求證：22．（10分）已知橢圓C：的離心率為，，是橢圓的左、右焦點，過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求（O為坐標原點）的面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分別取、、的中點、、，連接、、、、，由題意結合平面幾何的知識可得、、或其補角即為異面直線PC與AB所成角，再由余弦定理即可得解.【詳解】分別取、、的中點、、，連接、、、、，如圖：由可得，所以，在，，可得由中位線的性質可得且，且，所以或其補角即為異面直線PC與AB所成角，在中，，所以異面直線AB與PC所成角的余弦值為.故選：A.【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角2、D【解析】根據圓心坐標及半徑，即可得到圓的方程.【詳解】因為圓心為，半徑為，所以圓的方程為:.故選：D.3、C【解析】依據題意列出關于的不等式，即可求得的取值范圍.【詳解】當時，僅當時成立，不符合題意；當時，若成立，則，解之得綜上，取值范圍是故選：C4、A【解析】分別過作準線的垂線，垂足分別為，設，則，，故選A.5、C【解析】根據拋物線的概念，可得準線方程為6、A【解析】求出圓關于軸的對稱圓的圓心坐標，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關于軸對稱圓的圓心坐標，半徑為1，圓的圓心坐標為，半徑為3，易知，當三點共線時，取得最小值，的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即：.故選：A.注意:9至12題為多選題7、C【解析】根據題意列出不等式，利用指對數冪的互化和對數的運算公式即可解出不等式.【詳解】設該駕駛員至少需經過x個小時才能駕駛汽車，則，所以，則，所以該駕駛員至少需經過約8個小時才能駕駛汽車.故選：C8、B【解析】利用誘導公式、兩角和的正弦公式化簡已知條件，由此判斷出三角形的形狀.【詳解】由，得，得，由于，所以，所以.故選：B9、D【解析】由題干條件得到，設出，利用雙曲線定義表達出其他邊長，得到方程，求出，從而得到，，利用勾股定理求出的關系，求出離心率.【詳解】因為M為PQ的中點，且，所以△為等腰三角形，即，因為，設，則，由雙曲線定義可知：，所以，則，又，所以，解得：，由勾股定理得：，其中，在三角形中，由勾股定理得：，即，解得：故選：D10、C【解析】先由條件得出a，b滿足，得出滿足的基本事件數，再求出總的基本事件數，從而可得答案.【詳解】直線到原點的距離不超過1，則所以當時，可以為5，6當時，可以為4，5，6當時，可以為4，5，6當時，可以為2，3，4，5，6當時，可以為1，2，3，4，5，6當時，可以為1，2，3，4，5，6滿足的共有25種結果.將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現的點數分別記為a，b，共有種結果所以滿足條件的概率為故選：C11、A【解析】先求出圓心和半徑，求出圓心到坐標原點的距離，從而求出圓上的點到坐標原點的距離的最小值.【詳解】變形為，故圓心為，半徑為1，故圓心到原點的距離為，故圓上的點到坐標原點的距離最小值為.故選：A12、B【解析】先求出向量與的夾角的余弦值，即可求出與的夾角.【詳解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴與的夾角為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用平行間的距離公式可求得結果.【詳解】由平行線間的距離公式可知，直線、間的距離為.故答案為：.14、【解析】根據零點定義，分離出，構造函數，通過研究的值域來確定的取值范圍【詳解】根據零點定義，則所以令則，令解得當時，，函數單調遞減當時，，函數單調遞增所以當時取得最小值，最小值為所以由零點的條件為所以，即的取值范圍為【點睛】本題考查了函數零點的意義，通過導數求函數的值域，分離參數法的應用，屬于中檔題15、【解析】取的中點G，連接FG，BG，FB，由正方體的幾何特征，易證平面AEC//平面BFG，再根據是側面內一點（含邊界），且平面，得到點P在線段BG上運動，然后在等腰中求解.【詳解】如圖所示：取的中點G，連接FG，BG，FB，在正方體中，易得又因為平面BFG，平面BFG，所以平面BFG，同理證得平面BFG，又因為，所以平面AEC//平面BFG，因為是側面內一點（含邊界），且平面，所以點P線段BG上運動，如圖所示：在等腰中，作，且，所以，設點F到線段BG的距離為d，由等面積法得，解得，所以線段長度的取值范圍是，故答案為：16、【解析】將雙曲線化為標準方程后求解【詳解】，化簡得，其漸近線方程故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設橢圓的左焦點為，根據橢圓的對稱性可得，則三角形的周長為，再設根據二次函數的性質得到，即可求出的周長的最小值為，從而得到，再根據，即可求出、，從而求出橢圓方程；（2）設直線MN的方程，，，，聯立直線與橢圓方程，消元列出韋達定理，再設直線的方程、，直線的方程、，聯立直線方程，消元列出韋達定理，即可表示，即可得到，整理得，再代入，，即可得到，從而求出，即可得解；【小問1詳解】設橢圓的左焦點為，則由對稱性，，所以的周長為設，則，當A，B是橢圓的上下頂點時，的周長取得最小，所以，即，又橢圓焦點，所以，所以，所以，解得，，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】解：當A，B為橢圓左右頂點時，直線MN與x軸重合；當A，B為橢圓上下頂點時，可得直線MN的方程為；設直線MN的方程，，，，由得，，，，設直線的方程，其中，，，由得，，，，設直線的方程，其中，，由得，，，所以，所以，所以，則，即，代入，，得，整理得，又所以，直線MN的方程為，綜上直線MN過定點18、（1），；（2）.【解析】(1)根據，列方程組即可求解數列的通項公式，根據可求數列的通項公式；(2)化簡，利用裂項相消法求該數列前n項和.【小問1詳解】設等差數列公差為d，∵，∴，∵公差，∴.由得，即，∴數列是首項為，公比為2的等比數列，∴；【小問2詳解】∵，∴，.19、（1），，；（2），.【解析】（1）根據莖葉圖求平均值，再由方差與均值的關系求，將莖葉圖中的數據從小到大排列確定中位數M.（2）由甲乙平均數及（1）的結果列方程求乙組數據的平均值，再由方差與均值的關系列方程組求出，進而求方差.【小問1詳解】，∴，由莖葉圖知：數據從小到大排列為∴.【小問2詳解】由題意，，又，因此.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）解方程和即得解；（2）設，，將與圓P方程聯立得到韋達定理，再寫出直線的方程即得解.【小問1詳解】解：因為為拋物線C上一點，且，所以到拋物線C的準線的距離為2則，，則，所以，故拋物線C的方程為【小問2詳解】證明：由（1）知，則圓P的方程為設，，將與圓P的方程聯立，可得，則，當時，，不妨令，則，此時；當時，直線DE的斜率為，則直線DE的方程為，即，即，令且，得，直線過點；綜上，直線DE過定點21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設等差數列的公差為，則，根據題意可得出關于的方程，求出的值，利用等差數列的通項公式可求得數列的通項公式；（2）求得，利用裂項相消法求出，即可證得結論成立.【小問1詳解】解：設等差數列的公差為，則，由題意可得，即，整理可得，，解得，因此，.【小問2詳解】證明：，因此，，故原不等式得證.22、（1）；（2）1.【解析】(1)根據給定條件結合列式計算得解.(2)設出直線l的方程，與橢圓C的方程聯立，借助韋達定理結合均值不等式計算作答.【小問1詳解】橢圓C的半焦距為c，離心率