海南省定安縣定安中學2023-2024學年高二數學第一學期期末統考試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．有一個圓錐形鉛垂，其底面直徑為10cm，母線長為15cm．P是鉛垂底面圓周上一點，則關于下列命題：①鉛垂的側面積為150cm2；②一只螞蟻從P點出發沿鉛垂側面爬行一周、最終又回到P點的最短路徑的長度為cm．其中正確的判斷是（）A.①②都正確 B.①正確、②錯誤C.①錯誤、②正確2．已知橢圓的離心率為，直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，且，則橢圓的方程為A B.C. D.3．若x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.1 B.0C.?1 D.?34．已知等比數列的前n項和為，且，則（）A.20 B.30C.40 D.505．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點，點E在線段上，點F在線段上，則線段EF長的最小值為（）A B.C.1 D.6．若等差數列，其前n項和為，，，則（）A.10 B.12C.14 D.167．已知雙曲線：（）的離心率為，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.8．（2017新課標全國卷Ⅲ文科）已知橢圓C：的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A. B.C. D.9．在等差數列中，已知，則（）A.4 B.8C.3 D.610．函數在處的切線方程為()A. B.C. D.11．已知雙曲線的左焦點為F，O為坐標原點，M，N兩點分別在C的左、右兩支上，若四邊形OFMN為菱形，則C的離心率為（）A. B.C. D.12．已知圓：，圓：，則兩圓的位置關系為（）A.外離 B.外切C.相交 D.內切二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個六棱錐的體積為，其底面是邊長為的正六邊形，側棱長都相等，則該六棱錐的側面積為.14．設是數列的前項和，且，，則__________15．已知點在拋物線上，那么點到點的距離與點到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點的坐標為______16．已知，則曲線在點處的切線方程是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）當時，求的極值；（2）設函數，，，求證：.18．（12分）如圖，在正方體中，為棱的中點.求證：（1）平面；（2）求直線與平面所成角的大小.19．（12分）如圖，在三棱錐中，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）若點在棱上，且，求點到平面的距離.20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，，分別為，的中點（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值21．（12分）已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，且拋物線上有一點到焦點的距離為3，直線與拋物線交于，兩點，為坐標原點(1)求拋物線的方程；(2)求的面積.22．（10分）阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希臘)不僅是著名的哲學家、物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標系中，橢圓的面積等于，且橢圓的焦距為.（1）求橢圓的標準方程；（2）點是軸上的定點，直線與橢圓交于不同的兩點，已知A關于軸的對稱點為，點關于原點的對稱點為，已知三點共線，試探究直線是否過定點.若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據圓錐的側面展開圖為扇形，由扇形的面積公式計算即可判斷①，在展開圖中可知沿著爬行即為最短路徑，計算即可判斷②.【詳解】直徑為10cm，母線長為15cm.底面圓周長為.將其側面展開后得到扇形半徑為cm，弧長為，則扇形面積為，①錯誤.將其側面展開，則爬行最短距離為，由弧長公式得展開后扇形弧度數為,作，，又,,cm,②正確.故選：C2、D【解析】根據等腰直角三角形的性質可得，將代入橢圓方程，結合離心率為以及性質列方程組求得與的值，從而可得結果.【詳解】設直線與橢圓在第一象限的交點為，因為，所以，即，由可得，，故所求橢圓的方程為.故選D.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程與性質，以及橢圓離心率的應用，意在考查對基礎知識掌握的熟練程度，屬于中檔題.3、B【解析】先畫出可行域，由，得，作出直線，過點時，取得最大值，求出點的坐標代入目標函數中可得答案【詳解】不等式組表示的可行域如圖所示，由，得，作出直線，過點時，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故選：B4、B【解析】利用等比數列的前n項和公式即可求解.【詳解】設等比數列的首項為，公比為，則，由得，即，解得或（舍），且代入①得，則，所以.故選：B.5、B【解析】根據給定條件建立空間直角坐標系，令，用表示出點E，F坐標，再由兩點間距離公式計算作答.【詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設，則，設，有，線段EF長最短，必滿足，則有，解得，即，因此，，當且僅當時取“=”，所以線段EF長的最小值為.故選：B6、B【解析】由等差數列前項和的性質計算即可.【詳解】由等差數列前項和的性質可得成等差數列，，即，得.故選：B.7、A【解析】先根據雙曲線的離心率得到，然后由，得，即為所求的漸近線方程，進而可得結果【詳解】∵雙曲線的離心率，∴又由，得，即雙曲線（）的漸近線方程為，∴雙曲線的漸近線方程為故選：A8、A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標原點，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，則橢圓的離心率，故選A.【名師點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及取值范圍問題，其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.9、B【解析】根據等差數列的性質計算出正確答案.【詳解】由等差數列的性質可知，得.故選:B10、C【解析】利用導數的幾何意義即可求切線方程﹒【詳解】，，，，在處的切線為：，即﹒故選：C﹒11、C【解析】由題意可得且，從而求出點的坐標，將其代入雙曲線方程中，即可得出離心率.【詳解】由題意，四邊形為菱形，如圖，則且，分別為的左，右支上的點，設點在第二象限，在第一象限.由雙曲線的對稱性，可得，過點作軸交軸于點，則，所以,則，所以，所以，則，即，解得，或，由雙曲線的離心率，所以取，則故選：C12、C【解析】求出兩圓的圓心和半徑，根據圓心距與半徑和與差的關系，判斷圓與圓的位置關系【詳解】圓：的圓心為，半徑，圓：，即，圓心，半徑，兩圓的圓心距，顯然，即，所以圓與圓相交.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】判斷棱錐是正六棱錐，利用體積求出棱錐的高，然后求出斜高，即可求解側面積∵一個六棱錐的體積為，其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等，∴棱錐是正六棱錐，設棱錐的高為h，則棱錐斜高為該六棱錐的側面積為考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積14、【解析】原式為，整理為：，即，即數列是以-1為首項，-1為公差的等差的數列，所以，即.【點睛】這類型題使用的公式是，一般條件是，若是消，就需當時構造，兩式相減，再變形求解；若是消，就需在原式將變形為：，再利用遞推求解通項公式.15、【解析】由拋物線定義可得，由此可知當為與拋物線的交點時，取得最小值，進而求得點坐標.【詳解】由題意得：拋物線焦點為，準線為作，垂直于準線，如下圖所示：由拋物線定義知：（當且僅當三點共線時取等號）即的最小值為，此時為與拋物線的交點故答案為【點睛】本題考查拋物線線上的點到焦點的距離與到定點距離之和最小的相關問題的求解，關鍵是能夠熟練應用拋物線定義確定最值取得的位置.16、【解析】求導，得到，寫出切線方程.【詳解】因為，所以，則，所以曲線在點處的切線方程是，即，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），無極大值（2）證明見解析【解析】（1）求出函數的導數，判斷函數的單調性，進而確定極值點，求得答案；（2）將要證明的不等式變形為，然后構造函數，利用導數判斷其單調性，求其最值，進而證明結論.【小問1詳解】當時，，,由得，列表得：1--0+減減極小值增由上表可知，無極大值.；【小問2詳解】證明：，即證；∵，則，故只需證，即證令，，得，得，∴在上遞增，在上遞減∴，∴，∴.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接，交于，連接，推導出，由此能證明平面.（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線與平面所成角的大小.【詳解】（1）證明：連接，交于，連接，∵在正方體中，是正方形，∴是中點，∵為棱的中點，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）解：以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設正方體中棱長為2，則，，，，，，，設平面的法向量，則，取，得，設直線與平面所成角的大小為，則，∴，∴直線與平面所成角的大小為.【點睛】(1)求直線與平面所成的角的一般步驟：①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；②計算，要把直線與平面所成的角轉化到一個三角形中求解(2)作二面角的平面角可以通過垂線法進行，在一個半平面內找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角19、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）易得，再由勾股定理逆定理證明，即可得線面垂直；（2）根據（1）得，進而根據幾何關系，利用等體積法求解即可.【詳解】解：（1）連接，∵，是中點，∴，，又，，∴，∴，∵，∴，∴，，平面，∴平面；（2）∵點在棱上，且，，為的中點.∴，∴由余弦定理得，即，∴，由（1）平面，設點到平面的距離為∴，即，解得：所以點到平面的距離為.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）利用空間向量求出空間直線的向量積，即可證明兩直線垂直.（2）利用空間向量求直線與平面所成空間角的正弦就是就出平面的法向量與直線的方向向量之間夾角的余弦即可.【小問1詳解】如圖，以為坐標原點，，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，因為，，所以，即；【小問2詳解】設平面的法向量為因為，由，得，令，則所以平面的一個法向量為，又所以故直線與平面所成角的正弦值為21、（1）；（2）【解析】（1）由題意可設拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），運用拋物線的定義，可得23，解得p＝2，進而得到拋物線的方程；（2）由題意，直線AB方程為y＝x﹣1，與y2＝4x消去y得：x2﹣6x+1＝0．再用一元二次方程根與系數的關系和弦長公式，算出|AB|；利用點到直線的距離公式算出點O到直線AB的距離，即可求出△AOB的面積【詳解】（1）拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸上，且過一點P（2，m），可設拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），P（2，m）到焦點的距離為3，即有P到準線的距離為6，即23，解得p＝2，即拋物線的標準方程為y2＝4x；（2）聯立方程化簡，得x2﹣6x+1＝0設交點為A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1+x2＝6，x1x2＝1可得|AB||x1﹣x2|＝8點O到直線l的距離d，所以△AOB的面積為S|AB|?d82【點睛】本題考查拋物線的方程的求法及拋物線定義的應用，考查待定系數法的運用，考查求焦點弦AB與原點