河北衡中同卷2023年高二上數學期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）A. B.C. D.與相交但不垂直2．數列中前項和滿足，若是遞增數列，則的取值范圍為（）A. B.C. D.3．已知為偶函數，且當時，，其中為的導數，則不等式的解集為()A. B.C. D.4．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為30%，甲不輸的概率為80%，則甲、乙下成平局的概率（）A.50% B.30%C.10% D.60%5．△ABC的兩個頂點坐標A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點C的軌跡方程是（）A. B.（y≠0）C. D.6．下列直線中，與直線垂直的是（）A. B.C. D.7．若直線過點（1，2），（4，2＋），則此直線的傾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.90°8．某老師希望調查全校學生平均每天的自習時間.該教師調查了60位學生，發現他們每天的平均自習時間是3.5小時.這里的總體是（）A.楊高的全校學生；B.楊高的全校學生的平均每天自習時間；C.所調查的60名學生；D.所調查的60名學生的平均每天自習時間.9．沙糖桔網店2019年全年的月收支數據如圖所示，則針對2019年這一年的收支情況，下列說法中錯誤的是（）A.月收入的最大值為90萬元，最小值為30萬元 B.這一年的總利潤超過400萬元C.這12個月利潤的中位數與眾數均為30 D.7月份的利潤最大10．已知等比數列的首項為1，公比為2，則=（）A. B.C. D.11．下面四個說法中，正確說法的個數為（）（1）如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合；（2）兩條直線可以確定一個平面；（3）若，，，則；（4）空間中，兩兩相交的三條直線在同一平面內.A.1 B.2C.3 D.412．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀為（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．《九章算術》是人類科學史上應用數學的最早巔峰，書中有這樣一道題：“今有大夫、不更，簪裹、上造、公士，凡五人，共獵得五只鹿，欲以爵次分之，問各得幾何？”其譯文是“現在有從高到低依次為大夫，不更，簪裹，上造、公士的五個不同爵次的官員，共獵得五只鹿，要按爵次商低分（即根據爵次高低分配得到的獵物數依次成等差數列），向各得多少鹿？”已知上造分得只鹿，則不更所得的鹿數為_______只14．已知拋物線的準線方程為，在拋物線C上存在A、B兩點關于直線對稱，設弦AB的中點為M，O為坐標原點，則的值為___________.15．在長方體中，設，，則異面直線與所成角的大小為______16．已知，動點滿足，則點的軌跡方程為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如下圖，已知點是離心率為的橢圓：上的一點，斜率為的直線交橢圓于、兩點，且、、三點互不重合（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線，的斜率之和為定值18．（12分）已知函數在處的切線方程為.（1）求的解析式；（2）求函數圖象上的點到直線的距離的最小值.19．（12分）某中學共有名學生，其中高一年級有名學生，為了解學生的睡眠情況，用分層抽樣的方法，在三個年級中抽取了名學生，依據每名學生的睡眠時間（單位：小時），繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求樣本中高一年級學生人數及圖中的值；（2）估計樣本數據的中位數（保留兩位小數）；（3）估計全校睡眠時間超過個小時的學生人數.20．（12分）如圖所示，平面ABCD，四邊形AEFB為矩形，，，（1）求證：平面ADE；（2）求平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值21．（12分）已知函數.（1）設x=2是函數f(x)的極值點，求a，并求f(x)的單調區間；（2）證明：當時，.22．（10分）函數，.（1）討論函數的單調性；（2）若在上恒成立，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】通過判斷直線的方向向量與平面的法向量的關系，可得結論【詳解】因為，，所以，所以∥，因為直線的方向向量為，平面的法向量為，所以，故選：B2、B【解析】由已知求得，再根據當時，，，可求得范圍.【詳解】解：因為，則，兩式相減得，因為是遞增數列，所以當時，，解得，又，，所以，解得，綜上得，故選：B.3、A【解析】根據已知不等式和要求解的不等式特征，構造函數，將問題轉化為解不等式.通過已知條件研究g(x)的奇偶性和單調性即可解該不等式.【詳解】令，則根據題意可知，，∴g(x)是奇函數，∵，∴當時，，單調遞減，∵g(x)是奇函數，g(0)＝0，∴g(x)在R上單調遞減，由不等式得，.故選：A.4、A【解析】根據甲獲勝和甲、乙兩人下成平局是互斥事件即可求解.【詳解】甲不輸有兩種情況：甲獲勝或甲、乙兩人下成平局，甲獲勝和甲、乙兩人下成平局是互斥事件，所以甲、乙兩人下成平局的概率為.故選：A.5、D【解析】根據三角形的周長得出，再由橢圓的定義得頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，可求得頂點C的軌跡方程.【詳解】因為，所以，所以頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點C的軌跡方程是，故選：D.【點睛】本題考查橢圓的定義，由定義求得動點的軌跡方程，求解時，注意去掉不滿足的點，屬于基礎題.6、C【解析】，，若，則，項，符合條件，故選7、A【解析】求出直線的斜率，由斜率得傾斜角【詳解】由題意直線斜率為，所以傾斜角為故選：A8、B【解析】由總體的概念可得答案.【詳解】某老師希望調查全校學生平均每天的自習時間，該教師調查了60位學生，發現他們每天的平均自習時間是3.5小時，這里的總體是全校學生平均每天的自習時間.故選：B.9、B【解析】根據圖形和中位數、眾數的概念依次判斷選項即可.【詳解】A：由圖可知，月收入的最大值為90，最小值為30，故A正確；B：各個月的利潤分別為20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，所以總利潤為20+30+20+10+30+30+60+40+30+30+50+30=380(萬元)，故B錯誤；C：這12個月利潤的中位數與眾數均為30，故C正確；D：7月份的利潤最大，為60萬元，故D正確.故選：B10、D【解析】數列是首項為1，公比為4的等比數列，然后可算出答案.【詳解】因為等比數列的首項為1，公比為2，所以數列是首項為1，公比為4的等比數列所以故選：D11、A【解析】如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合或者是相交，即可判斷；利用兩條異面直線不能確定一個平面即可判斷；利用平面的基本性質中的公理判斷即可；若兩兩相交的三條直線相交于同一點，則相交于同一點的三直線不一定在同一平面內（如棱錐的3條側棱），即可判斷.【詳解】如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合或者是相交，故（1）不正確；兩條異面直線不能確定一個平面，故（2）不正確；利用平面的基本性質中的公理判斷（3）正確；空間中，若兩兩相交的三條直線相交于同一點，則相交于同一點的三直線不一定在同一平面內（如棱錐的3條側棱），故（4）不正確，綜上所述只有一個說法是正確的，故選：A【點睛】本題主要考查了空間中點，線，面的位置關系.屬于較易題.12、C【解析】由正弦定理得出，再由余弦定理得出，從而判斷為鈍角得出的形狀.【詳解】因為，所以，所以，所以的形狀為鈍角三角形.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意分析，利用等差數列基本量代換列方程組即可求解.【詳解】記大夫，不更，簪裹，上造、公士得到的獵物數為等差數列，公差為d，由題意可得，即，解得，∴故答案為：14、5【解析】先運用點差法得到，然后通過兩點距離公式求出結果詳解】解：拋物線的準線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為，設點，，，，的中點為，，則，，兩式相減得，即，又因為，兩點關于直線對稱，所以，解得，可得，則，故答案為：515、##【解析】建立空間直角坐標系，用向量法即可求出異面直線與所成的角.【詳解】以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則,所以，因為，所以，即，所以異面直線與所成的角為.故答案為：90°.16、【解析】表示出、，根據題意，列出等式，化簡整理即可得答案.【詳解】，由題意得，所以整理可得，即.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據離心率為可得，把代入方程可得，又，解方程組即可求得方程；（2）設直線的方程為，整理方程組，求得，及參數的范圍，由斜率公式表示出，結合直線方程和韋達定理整理即可得到定值.試題解析：（1）由題意，可得，代入得，又，解得，，所以橢圓的方程為.（2）證明：設直線的方程為，又，，三點不重合，∴，設，，由得，所以，解得，，①，②設直線，的斜率分別為，，則（），分別將①②式代入（），得，所以，即直線，的斜率之和為定值考點：橢圓的標準方程及直線與橢圓的位置關系.【方法點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程及直線與橢圓的位置關系，考查了方程的思想和考試與運算能力，屬于中檔題.求橢圓方程通常用待定系數法，注意隱含條件；研究圓錐曲線中的定值問題，通常根據交點與方程組解得對應性，設而不解，表示出待求定值的表達式，利用韋達定理代入整理，消去參數即可得到定值.18、（1）；（2）.【解析】（1）由題可得，然后利用導數的幾何意義即求；（2）由題可得切點到直線的距離最小，即得.【小問1詳解】∵函數，∴的定義域為，，∴在處切線的斜率為，由切線方程可知切點為，而切點也在函數圖象上，解得，∴的解析式為；【小問2詳解】由于直線與直線平行，直線與函數在處相切，所以切點到直線的距離最小，最小值為，故函數圖象上的點到直線的距離的最小值為.19、（1）樣本中高一年級學生的人數為，；（2）；（3）.【解析】（1）利用分層抽樣可求得樣本中高一年級學生的人數，利用頻率直方圖中所有矩形的面積之和為可求得的值；（2）利用中位數左邊的矩形面積之和為可求得中位數的值；（3）利用頻率分布直方圖可計算出全校睡眠時間超過個小時的學生人數.【小問1詳解】解：樣本中高一年級學生的人數為.，解得.【小問2詳解】解：設中位數為，前兩個矩形的面積之和為，前三個矩形的面積之和為，所以，則，得，故樣本數據的中位數約為.【小問3詳解】解：由圖可知，樣本數據落在的頻率為，故全校睡眠時間超過個小時的學生人數約為.20、（1）見解析（2）【解析】（1）根據，，從而證明平面平面ADE，從而平面ADE。（2）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，寫出點的空間坐標，根據向量法求解即可。【詳解】（1）∵四邊形ABEF為矩形又平面ADE，AE平面ADE平面ADE又，同理可得：平面ADE又，BF，BC平面BCF∴平面平面ADE又CF平面BCF平面ADE（2）如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，,,設是平面CDF的一個法向量，則即令，解得又是平面AEFB的一個法向量，∴平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值為.【點睛】此題考查立體幾何線面平行證明和二面角求法，線面平行可先證面面平行得到，屬于簡單題目。21、（1），的單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）證明見解析；【解析】（1）求出函數的定義域與導函數，依題意可得，即可求出參數的值，再根據導函數與函數的單調性的關系求出函數的單調區間；（2）依題意可得，令，即證，，又，所以即證，令，利用導數說明其單調性，即可得解；【詳解】解：（1）因為，定義域為，所以，因為是函數的極值點，所以，所以，解得，所以，令，則，所以在上單調遞增，又，所以當時，，即，所以在上單調遞減，當時，，即，所以上單調遞增，綜上可得的單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）證明：依題意即證，即證，令，則，所以即證，因為，所以即證，令，則，所以當時，，當時，所以，所以，所以當時，22、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求出函數的定義域為，求得，分、、三種情況討論，分析導數的符號變化，由此可得出函數的單調遞增區間和遞減區間；（2）構造函數，由題意可知恒成立，對實數分和兩種情況討論，利用導數分析函數在區間上的單調性，驗證是否成立，由此可得出實數的取值范圍.【詳解】（1）函數的定義域為，.（i）當時，，函數