§2常用邏輯用語1.2.1

必要條件與充分條件

前面,我們學習了集合,會用集合語言表述集合的概念、關系和運算,集合語言是數學的基本語言,除此以外,數學還有其他的基本語言，本節課我們通過梳理初中學過的性質定理和判定定理,學習數學中關于命題的一種基本語言——邏輯語言,即

“常用邏用語”問題1：閱讀課本第14頁第一段和第二段及課本P14-P17的標題部分，

回答下列問題：

（1）本節將要研究哪些內容？

（2）本節要研究的對象在高中數學中的地位是怎樣的？

（3）并試著依據一個新概念的學習過程，給出你的研究思路與方法．

問題2：在初中，我們學習過命題，什么是命題？什么是真命題和假命題？

你能找到課本P14-P17有哪些命題嗎？

試著將這些命題改寫成“若p，則q”的形式．并判定他們的真假

問題3：定理1菱形的對角線互相垂直。

請將定理1菱形的性質定理寫成“若p，則q”形式的命題，

判定真假，并探究p與q之間的關系。

析：若p，則q形式

如果四邊形為菱形，那么這個四邊形的對角線互相垂直P：四邊形為菱形，

q：四邊形的對角線互相垂直追問1：這是真命題嗎？反過來，如果q不成立，p是否會成立呢？

析（1）

性質定理都是真命題，即p?q由條件p：四邊形為菱形，通過推理可以得到結論q：這個四邊形的對角線

互相垂直，即對角線互相垂直是菱形必有的性質

（2）反之，

如果某個四邊形的對角線不互相垂直,那么這個四邊形一定不是菱形，

（3）如果一個四邊形為菱形,那么這個四邊形的對角線互相垂直是必不可少的，是必需的，必要的。問題3：定理1菱形的對角線互相垂直。

請將定理1菱形的性質定理寫成“若p，則q”形式的命題，

判定真假，并探究p與q之間的關系。

析：若p，則q形式

如果四邊形為菱形，那么這個四邊形的對角線互相垂直P：四邊形為菱形，

q：四邊形的對角線互相垂直追問2：“對角線互相垂直是菱形必有的性質”,如何理解“必有”?“必有”:必須具備的,不可缺少的;如果沒有就不可以

所以說“四邊形的對角線互相垂直”是“四邊形為菱形”的必要條件.

即q是p的必要條件一般地,當命題“若p則q"”是真命題時,稱q是p的必要條件.

也就是說,一旦q不成立,p一定也不成立,即q對于p的成立是必要的問題3：定理1菱形的對角線互相垂直。

請將定理1菱形的性質定理寫成“若p，則q”形式的命題，

判定真假，并探究p與q之間的關系。

析：若p，則q形式

如果四邊形為菱形，那么這個四邊形的對角線互相垂直P：四邊形為菱形，

q：四邊形的對角線互相垂直

從集合的角度可知，

小范圍?大范圍

所以說“大范圍”是“小范圍”的必要條件抽象概括

一般地,當命題“若p則q"”是真命題時,稱q是p的必要條件.

也就是說,一旦q不成立,p一定也不成立,即q對于p的成立是必要的

從集合角度判定邏輯關系:對于命題“若p，則q”，

設集合A＝{x|x滿足條件p}，B＝{x|x滿足條件q}，

若A?B，則p?q，q是p的必要條件，

從集合的角度可知，小范圍?大范圍

，

所以說“大范圍”是“小范圍”的必要條件，

也可以說“小范圍”的必要條件是“大范圍”抽象概括問題3：定理1菱形的對角線互相垂直。

請將定理1菱形的性質定理寫成“若p，則q”形式的命題，

判定真假，并探究p與q之間的關系。追問4：p:四邊形為菱形，q:四邊形的對角線互相平分，q是否是p的必要條件

四邊形為菱形的必要條件唯一嗎？

析:若p，則q真命題，即p?q由條件p：四邊形為菱形，推理可以得到結論q：這個四邊形的對角線

互相平分，即對角線互相平分是四邊形是菱形的必要條件

四邊形為菱形的必要條件不唯一問題3：定理1菱形的對角線互相垂直。

請將定理1菱形的性質定理寫成“若p，則q”形式的命題，

判定真假，并探究p與q之間的關系。追問5：性質定理與必要條件有怎樣的關系？性質定理的作用是什么？析：四邊形的對角線互相平分，與四邊形的對角線互相垂直都是菱形的重要性質，是一個四邊形是菱形的必要條件，是菱形的重要特征，因此，性質定理是描述了數學對象的某一類特征，闡述了一個數學研究對象所具有的重要性質，其作用是提示這個研究對象的某個特征，是判定一個事物的必要條件，它僅僅是從某些方面反映事物的特征，因此，必要條件可用來區別一個事物與另外一個事物，一般地，數學中的每個性質定理都給出了成為相應數學對象的一個必要條件。問題3：定理1菱形的對角線互相垂直。

請將定理1菱形的性質定理寫成“若p，則q”形式的命題，

判定真假，并探究p與q之間的關系。追問6：p:四邊形為菱形，q:四邊形的對角線相等，q是否是p的必要條件

思考交流：結合定理1，試分析判定必要條件的思路，

并閱讀課本第14頁的實例分析定理2，定理3，

回答“思考交流”中的問題必要條件的判斷方法①分清命題的條件和結論，轉化為命題的基本結構：“若p，則q”形式；②判斷命題“若p，則q”的真假；③根據定義得出結論，在“若p，則q”是真命題的前提下，稱q是p的必要條件④除了用判斷命題的真假判斷充分條件之外，還可以用集合關系來判斷必要條件定理2如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等定理3如果兩個三角形是全等三角形,那么這兩個三角形的對應角相等析：兩個角相等是這兩個角是對頂角的必要條件；兩個三角形的對應角相等是這兩個三角形是全等三角形的必要條件問題4：定理4若a>0,b>0,則ab>0.

請分析定理4，寫出條件p和結論q，判定真假，并探究p與q之間的關系。

析：

P：a>0,b>0，

q：ab>0追問1：這是真命題嗎？

如果p不成立，q是否會成立呢？

析（1）

判斷定理都是真命題，由條件p：a>0,b>0，通過推理可以得到結論q：ab>0

即p?q

有了“a>0,b>0”這個條件足夠可以判定“ab>0”p?q,

只要有了p成立，足夠保證q成立，p成立充分保證q成立，即p是q的充分條件

（2）但要注意,當ab>0時,a>0,b>0不一定成立,

例如,由“a<0,b<0”,也可以判定“ab>0”，一般地,當命題“若p則q”是真命題時,稱p是q的充分條件

綜上,對于真命題“若p則q”即p?q時,

稱q是p的必要條件,也稱p是q的充分條件充分條件，必要條件的判斷方法①分清命題的條件和結論，轉化為命題的基本結構：“若p，則q”形式；②判斷命題“若p，則q”的真假；③根據定義得出結論，在“若p，則q”是真命題的前提下，稱q是p的必要條件,也稱p是q的充分條件④除了用判斷命題的真假判斷充分條件之外，還可以用集合關系來判斷充分條件抽象概括問題4：定理4若a>0,b>0,則ab>0.

請分析定理4，寫出條件p和結論q，判定真假，并探究p與q之間的關系。

析：

P：a>0,b>0，

q：ab>0

從集合的角度可知，

小范圍?大范圍

所以說“小范圍”是“大范圍”的充分條件析：A?B,x∈A?x∈B

p?q

p是q的充分條件

一般地,當命題“若p則q”是真命題時,稱p是q的充分條件

綜上,對于真命題“若p則q”即p?q時,

稱q是p的必要條件,也稱p是q的充分條件

從集合角度判定邏輯關系:對于命題“若p，則q”，

設集合A＝{x|x滿足條件p}，B＝{x|x滿足條件q}，

若A?B，則p?q，

p是q的充分條件，q是p的必要條件

從集合的角度可知，小范圍?大范圍，所以說“小范圍”是“大范圍”的充分條件，也可以說“大范圍”的充分條件是“小范圍”“大范圍”是“小范圍”的必要條件，也可以說“小范圍”的必要條件是“大范圍”抽象概括問題4：定理4若a>0,b>0,則ab>0.

請分析定理4，寫出條件p和結論q，判定真假，并探究p與q之間的關系。

析：

P：a>0,b>0，

q：ab>0追問3：結合定理4，試再寫出q：ab>0的一個充分條件

析：“a<0,b<0”,也可以判定“ab>0”，“a<0,b<0”是“ab>0”的充分條件

“ab>1”是“ab>0”的充分條件……注：q的充分條件不唯一問題4：定理4若a>0,b>0,則ab>0.

請分析定理4，寫出條件p和結論q，判定真假，并探究p與q之間的關系。

析：

P：a>0,b>0，

q：ab>0追問4：p：a>0q：ab>0,p是q的充分條件嗎？

問題4：定理4若a>0,b>0,則ab>0.

請分析定理4，寫出條件p和結論q，判定真假，并探究p與q之間的關系。追問5：（思考交流）試用分析定理4的方法分析定理5，定理6定理5對角線互相平分的四邊形是平行四邊形定理6平行于三角形一邊的直線,截其他兩邊所得的三角形與原三角形相似

定理5“四邊形的對角線互相平分”是“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件

定理6“

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊”是“截得其他兩邊所得的三角形

與原三角形相似”的一個充分條件

析：定理5若四邊形的對角線互相平分則這個四邊形是平行四邊形

真命題

定理6若平行于三角形一邊的直線截其他兩邊則截得其他兩邊所得的三角形

與原三角形相似真命題

課前預習發現問題01追問6：定理（5）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，

即“四邊形的對角線互相平分”．這樣的充分條件唯一嗎？

如果不唯一，請你再寫出幾個不同的充分條件．

析

①若四邊形一組對邊平行且相等，則這個四邊形是平行四邊形；

②若四邊形的兩組對邊分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；

③若四邊形的兩組對邊分別平行，則這個四邊形是平行四邊形．

④若四邊形是正方形，則這個四邊形是平行四邊形；……追問7：你認為充分條件與判定定理之間有怎樣的關系？析：判定定理是數學中一類重要的定理，闡述了結論成立的依據，

即判定定理中的條件給出了判定一個事物的充分條件，

數學中的每個判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件．追問8：試分別寫出“四邊形是矩形”的一個充分條件和一個

必要條件，比較判定定理與性質定理的區別追問9：分析p與q的邏輯關系有多少類不同的關系？若A?B，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件若B?A，則p是q的必要條件，若BA