第三節二項式定理第十一章內容索引0102強基礎增分策略增素能精準突破課標解讀衍生考點核心素養1.能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理.2.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.1.二項展開式的通項及其應用2.二項式系數與各項的系數和問題3.二項式系數的性質數學運算邏輯推理

強基礎增分策略知識梳理1.二項式定理(1)二項式定理:(a+b)n=

,n∈N*.

(2)通項:

,它表示展開式的第k+1項.

(3)二項式系數:二項展開式中各項的系數(k=0,1,2,…,n)叫做二項式系數.字母a,b是一種“符號”,實際上可以是數和式

只與各項的項數有關,而與a,b的值無關

微點撥二項式系數

(k=0,1,2,…,n)是組合數,它與二項展開式中對應項的系數不一定相等,應注意區分二項式系數與項的系數這兩個不同的概念.項的系數是指該項中除變量外的常數部分,它不僅與各項的項數有關,而且也與a,b的值有關.如(a+bx)n的展開式中,第k+1項的二項式系數是

,而該項的系數是

an-kbk.當然,在某些二項展開式中,各項的系數與二項式系數是相等的.微思考(a+b)n與(b+a)n的展開式有何區別與聯系?提示

(a+b)n的展開式與(b+a)n的展開式的項完全相同,但對應的項不相同,兩個展開式的通項不同.2.二項式系數的性質

微點撥利用賦值法求二項式系數的和.微思考二項展開式中二項式系數最大時該項的系數就最大嗎?提示

不一定最大.當二項式中a,b的系數為1時,二項式系數等于項的系數,則二項式系數最大時,該項的系數就最大,否則不一定.常用結論

對點演練1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)(a+b)n的展開式中的第k項是

an-kbk.(

)(2)在二項展開式中,系數最大的項為中間的一項或中間的兩項.(

)(3)通項Tk+1=an-kbk中的a和b不能互換.(

)(4)在(a+b)n的展開式中,某項的系數與該項的二項式系數相同.(

)√×××2.在(1+2x)5的展開式中,x2的系數等于(

)A.80 B.40 C.20 D.10答案

B

3.若

的展開式中第3項的二項式系數是15,則展開式中所有項的系數之和為

.

增素能精準突破考點一二項展開式的通項及其應用(多考向探究)考向1.二項展開式中的特定項(或系數)典例突破(2)設i為虛數單位,則(x+i)6的展開式中含x4的項為

.

(3)二項式

的展開式中的常數項為15,則實數a=

.

答案

(1)C

(2)-15x4

(3)3

方法歸納求二項展開式中特定項的步驟

對點訓練1(1)的展開式中常數項為(

)A.-15 B.-20 C.15 D.20(2)已知

的展開式中x5的系數為A,x2的系數為B,若A+B=11,則實數a=

.

答案

(1)B

(2)±1

考向2.已知兩個因式之積求其特定項(或系數)典例突破答案

(1)D

(2)28

方法總結求兩個因式之積的特定項(或系數)的兩種常用方法

A.-4 B.-3 C.3 D.4(2)(2-x)(2x+1)6的展開式中的x4的系數為

.

答案

(1)B

(2)320

考向3.已知三項式求其特定項(或系數)典例突破例3.(1)(x2+3x-1)5展開式中x的系數為(

)A.-3 B.3 C.-15 D.15方法總結求三項展開式中某些特定項(或系數)的三種方法

對點訓練3(2022山東煙臺二模)在(x2-2x+y)6的展開式中,含x5y2項的系數為(

)A.-480 B.480 C.-240 D.240答案A

解析

(x2-2x+y)6看成是6個(x2-2x+y)相乘,要得到x5y2,需要“從6個因式中,2個因式取y,1個因式取x2,3個因式取-2x”,此時x5y2的系數為考點二二項式系數與各項的系數和問題典例突破

例4.(1)(多選)在

的展開式中,各項系數和與二項式系數和之和為128,則(

)A.二項式系數和為64 B.各項系數和為64C.常數項為-135 D.常數項為135(2)若(1-2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,則|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=(

)A.28-1 B.28C.38-1 D.38答案

(1)ABD

(2)D

(2)由題可知,x的奇數次冪的系數均為負數,所以|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=a0-a1+a2-a3+…+a8.因為(1-2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,令x=-1得a0-a1+a2-a3+…+a8=38,則|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=38.故選D.名師點析形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子,求其展開式的各項系數之和,常用賦值法.對點訓練4(1)已知(2+x)2021=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a2021(x+1)2021,則a1+a2+…+a2021=(

)A.24042+1 B.22021-1C.22021

D.22021+1(2)已知二項式

的展開式的二項式系數和為64,則展開式中的有理項系數和為

.

答案

(1)B

(2)65

考點三二項式系數的性質典例突破例5.(1)若

的展開式中只有第六項的二項式系數最大,則展開式中的常數項是

.

(2)的展開式中各項系數的和為-1,則該展開式中系數最大的項為

.

答案

(1)180

(2)80x-3

方法總結1.二項式系數最大項的確定方法

2.二項展開式系數最大項的求法

(2)已知(+3x2)n的展開式中,各項系數和比它的二項式系數和大992,則展開式中系數最大的項為

.

對點訓練5(1)(多選)(2022廣東茂名二模)已知

的展開式共有13項,則下列說法中正確的有(

)A.所有奇數項的二項式系數和為2