2024屆太原市重點中學高二數學第一學期期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.2．在數列中抽取部分項（按原來的順序）構成一個新數列，記為，再在數列插入適當的項，使它們一起能構成一個首項為1，公比為3的等比數列.若，則數列中第項前（不含）插入的項的和最小為（）A.30 B.91C.273 D.8203．已知圓與圓，則圓M與圓N的位置關系是（）A.內含 B.相交C.外切 D.外離4．日常飲用水通常都是經過凈化的，隨若水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加．已知水凈化到純凈度為時所需費用單位：元為那么凈化到純凈度為時所需凈化費用的瞬時變化率是（）元/t.A. B.C. D.5．平面上動點到點的距離與它到直線的距離之比為，則動點的軌跡是（）A.雙曲線 B.拋物線C.橢圓 D.圓6．圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直線方程為（）A. B.C. D.7．新冠肺炎疫情的發生，我國的三大產業均受到不同程度的影響，其中第三產業中的各個行業都面臨著很大的營收壓力.2020年7月國家統計局發布了我國上半年國內經濟數據，如圖所示，圖1為國內三大產業比重，圖2為第三產業中各行業比重下列關于我國上半年經濟數據的說法正確的是（）A.第一產業的生產總值與第三產業中“其他服務業”的生產總值基本持平B.第一產業的生產總值超過第三產業中“金融業”的生產總值C.若“住宿和餐飲業”生產總值為7500億元，則“房地產”生產總值為22500億元D.若“金融業”生產總值為41040億元，則第二產業生產總值為166500億元8．拋物線的準線方程為（）A B.C. D.9．數列滿足，對任意，都有，則（）A. B.C. D.10．小方每次投籃的命中率為，假設每次投籃相互獨立，則他連續投籃2次，恰有1次命中的概率為（）A. B.C. D.11．下列命題中，真命題的個數為（）（1）是為雙曲線的充要條件；（2）若，則；（3）若，，則；（4）橢圓上的點距點最近的距離為；A.個 B.個C.個 D.個12．某工廠節能降耗技術改造后，在生產某產品過程中記錄的產量x（噸）與相應的生產能耗y（噸）的幾組對應數據如下表，現發現表中有個數據看不清，已知回歸直線方程為=6.3x+6.8，下列說法正確的是（）x23456y1925★4044A.看不清的數據★的值為33B.回歸系數6.3的含義是產量每增加1噸，相應的生產能耗實際增加6.3噸C.據此模型預測產量為8噸時，相應的生產能耗為50.9噸D.回歸直線=6.3x+6.8恰好經過樣本點（4，★）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若關于的不等式的解集為R，則的取值范圍是______.14．已知隨機變量X服從正態分布，若，則______15．已知，，且，則的最小值為___________16．數列的前項和為，則的通項公式為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某公交公司為了方便市民出行，科學規劃車輛投放，在一個人員密集流動地段增設一個起點站，為了研究車輛發車間隔時間x與乘客等候人數y之間的關系，經過調查得到如下數據：間隔時間x/分101112131415等候人數y/人232526292831調查小組先從這6組數據中選取4組數據求線性回歸方程，再用剩下的2組數據進行檢驗.檢驗方法如下：先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應的等候人數，再求與實際等候人數y的差，若差值的絕對值都不超過1，則稱所求方程是“恰當回歸方程”.（1）若選取的是中間4組數據，求y關于x的線性回歸方程=x+，并判斷此方程是否是“恰當回歸方程”.（2）假設該起點站等候人數為24人，請你根據（1）中的結論預測車輛發車間隔多少時間合適?附：對于一組數據(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計分別為18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）如圖1，在四邊形ABCD中，，，E是AD的中點，將沿BF折起至的位置，使得二面角的大小為120°（如圖2），M，N分別是，的中點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.20．（12分）已知空間中三點，，，設，（1）求向量與向量的夾角的余弦值；（2）若與互相垂直，求實數的值21．（12分）已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，的面積為1.（1）求拋物線的標準方程；（2）設點是拋物線上異于點的一點，直線與直線交于點，過作軸的垂線交拋物線于點，求證：直線過定點.22．（10分）已知圓C經過點，，且它的圓心C在直線上.（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的兩條切線，切點分別為M，N，求三角形PMN的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據題意，由為原點到直線上點的距離的平方，再根據點到直線垂線段最短，即可求得范圍.【詳解】由，，視為原點到直線上點的距離的平方，根據點到直線垂線段最短，可得，所有的取值范圍為，故選：C.2、C【解析】先根據等比數列的通項公式得到，列出數列的前6項，將其中是數列的項的所有數去掉即可求解.【詳解】因為是以1為首項、3為公比的等比數列，所以，則由，得，即數列中前6項分別為：1、3、9、27、81、243，其中1、9、81是數列的項，3、27、243不是數列的項，且，所以數列中第7項前（不含）插入的項的和最小為.故選：C.3、B【解析】將兩圓方程化為標準方程形式，計算圓心距，和兩圓半徑的和差比較，可得答案,【詳解】圓,即，圓心，圓，即，圓心，則故有，所以兩圓是相交的關系，故選：B4、B【解析】由題意求出函數的導函數，然后令即可求解【詳解】因為，所以，則，故選：5、A【解析】設點，利用距離公式化簡可得出點的軌跡方程，即可得出動點的軌跡圖形.【詳解】設點，由題意可得，化簡可得，即，曲線為反比例函數圖象，故動點的軌跡是雙曲線.故選：A.6、B【解析】兩圓的方程消掉二次項后的二元一次方程即為公共弦所在直線方程.【詳解】由x2＋y2－4＝0與x2＋y2－4x＋4y－12＝0兩式相減得：，即.故選：B7、D【解析】根據扇形圖及柱形圖中的各產業與各行業所占比重，得到第三產業中“其他服務業”及“金融業”的生產總值占總生產總值的比重，進而比較出AB選項，利用“住宿和餐飲業”生產總值和“房地產”生產總值的比值，求出“房地產”生產總值，判斷出C選項，利用第三產業中“金融業”的生產總值與第二產業的生產總值比值，求出第二產業生產總值，判斷D選項.【詳解】A選項，第三產業中“其他服務業”的生產總值占總生產總值的，因為，所以第三產業中“其他服務業”的生產總值明顯高于第一產業的生產總值，A錯誤；B選項，第三產業中“金融業”的生產總值占總生產總值的，因為，故第一產業的生產總值少于第三產業中“金融業”的生產總值，B錯誤；“住宿和餐飲業”生產總值和“房地產”生產總值的比值為，若“住宿和餐飲業”生產總值為7500億元，則“房地產”生產總值為億元，故C錯誤；第三產業中“金融業”的生產總值占總生產總值的，與第二產業的生產總值比值為，若“金融業”生產總值為41040億元，則第二產業生產總值為166500億元，D正確.故選：D8、D【解析】根據拋物線方程求出，進而可得焦點坐標以及準線方程.【詳解】由可得，所以焦點坐標為，準線方程為：，故選：D.9、C【解析】首先根據題設條件可得，然后利用累加法可得，所以，最后利用裂項相消法求和即可.【詳解】由，得，則，所以，.故選：C.【點睛】本題考查累加法求數列通項，考查利用錯位相減法求數列的前n項和，考查邏輯思維能力和計算能力，屬于常考題.10、A【解析】先弄清連續投籃2次，恰有1次命中的情況有兩種，它們是互斥關系，因此根據相互獨立事件以及互斥事件的概率計算公式進行求解.【詳解】由題意知，他連續投籃2次，有兩種互斥的情況，即第一次投中第二次不中和第一次不中第二次投中，因此恰有1次命中的概率為，故選：A.11、A【解析】利用方程表示雙曲線求出的取值范圍，利用集合的包含關系可判斷（1）的正誤；直接判斷命題的正誤，可判斷（2）的正誤；利用空間向量垂直的坐標表示可判斷（3）的正誤；利用橢圓的有界性可判斷（4）的正誤.【詳解】對于（1），若曲線為雙曲線，則，即，解得或，因為或，因此，是為雙曲線的充分不必要條件，（1）錯；對于（2），若，則或，（2）錯；對于（3），，則，（3）對；對于（4），設點為橢圓上一點，則且，則點到點的距離為，（4）錯.故選：A.12、D【解析】根據回歸直線方程的性質和應用，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：因為，將代入，故，∴，故A錯誤；對，回歸系數6.3的含義是產量每增加1噸，相應的生產能耗大約增加6.3噸，故錯誤；對，當時，，故錯誤；對，因為，故必經過，故正確.故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分為和考慮，當時，根據題意列出不等式組，求出的取值范圍.【詳解】當得：，滿足題意；當時，要想保證關于的不等式的解集為R，則要滿足：，解得：，綜上：的取值范圍為故答案為：14、##25【解析】根據正態分布曲線的對稱性即可求得結果.【詳解】，，又，，.故答案為：.15、25【解析】根據，，且，由，利用基本不等式求解.【詳解】因為，，且，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為25，故答案為：2516、【解析】討論和兩種情況，進而利用求得答案.【詳解】由題意，時，，時，，則，于是，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），是“恰當回歸方程”；（2）10分鐘較合適.【解析】（1）應用最小二乘法求出回歸直線方程，再分別估計、時的值，結合“恰當回歸方程”的定義判斷是否為“恰當回歸方程”.（2）根據（1）所得回歸直線方程，將代入求x值即可.【小問1詳解】中間4組數據是：間隔時間（分鐘）11121314等候人數（人）25262928因為，所以，故，又，所以，當時，，而；當時，，而；所以所求的線性回歸方程是“恰當回歸方程”；【小問2詳解】由（1）知：當時，，所以預測車輛發車間隔時間10分鐘較合適.18、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點，根據題意可知，兩兩垂直，所以以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，再分別求出向量和平面的一個法向量，即可根據線面角的向量公式求出【詳解】（1）中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以（2）由，，而與相交，所以平面，因為，所以，取中點，連接，則兩兩垂直，以點為坐標原點，如圖所示，建立空間直角坐標系,則,又為中點，所以.由（1）得平面，所以平面的一個法向量從而直線與平面所成角的正弦值為【點睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關系直線較多，易證平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關系可以建立空間直角坐標系，根據線面角的向量公式即可計算得出19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）構造中位線，利用面面平行，可以證明;（2）建立空間直角坐標系，用空間向量的方法即可.【小問1詳解】證明：如圖，取ED的中點P，連接MP，NP.在平行四邊形ABCD中，因為E是AD的中點，，所以，又，所以四邊形BCDE是平行四邊形；因為M，N分別是，BC的中點，所以，.又平面，平面，所以平面，平面.因為，所以平面平面.又平面，所以平面【小問2詳解】取BE的中點O，連接，CO，CE.在圖1中，因為，所以是等邊三角形，，又四邊形ABCD等腰梯形，所以，即是等邊三角形；所以如圖，，，所以.以為原點，射線OB為x軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，則，，，，則，設平面的法向量為，，得令，則，，即，由題可知，平面BCD的一個法向量為，.由圖可知，平面與平面BDC夾角余弦值為；20、（1）；（2）或.【解析】（1）坐標表示出、，利用向量夾角的坐標表示求夾角余弦值；（2）坐標表示出k＋、k－2，利用向量垂直的坐標表示列方程求的值.【詳解】由題設，＝(1,1,0)，＝(－1,0,2)（1）cosθ＝，所以和的夾角余弦值為.（2）k＋＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1,k,2)，k－2＝(k＋2,k,－4)，又(k＋)⊥(k－2)，則(k－1,k,2)·(k＋2,k,－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0，解得k＝－或2.21、（1）（2）證明見解析【解析】(1)由條件列方程求，由此可得拋物線方程；(2)方法一：聯立直線與拋物線方程，結合條件三點共