第三節(jié)圓的方程第九章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀衍生考點(diǎn)核心素養(yǎng)1.了解確定圓的幾何要素,在平面直角坐標(biāo)系中,探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題.1.求圓的方程2.與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題3.與圓有關(guān)的最值問(wèn)題數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象邏輯推理強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略知識(shí)梳理1.圓的定義及方程定義平面上到

的距離等于

的點(diǎn)的集合(軌跡)叫做圓

標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)

確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的三個(gè)要素:圓心的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)及半徑圓心:

半徑:

一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)

圓的一般方程形式上的特點(diǎn):(1)x2項(xiàng)和y2項(xiàng)的系數(shù)相等且為1;(2)沒(méi)有xy項(xiàng)圓心:(-)半徑:

定點(diǎn)

定長(zhǎng)

(a,b)r微思考寫(xiě)出圓x2+y2+Dx+Ey+F=0和兩坐標(biāo)軸都相切的條件.2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),點(diǎn)M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2

r2?點(diǎn)M在圓上;

(2)(x0-a)2+(y0-b)2

r2?點(diǎn)M在圓外;

(3)(x0-a)2+(y0-b)2

r2?點(diǎn)M在圓內(nèi).

=><常用結(jié)論1.確定圓的方程時(shí),常用到的圓的三個(gè)性質(zhì)(1)圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上;(2)圓心在任一弦的中垂線上;(3)兩圓內(nèi)切或外切時(shí),切點(diǎn)與兩圓圓心共線.2.以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.對(duì)點(diǎn)演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)已知圓的方程為x2+y2-2y=0,過(guò)點(diǎn)A(1,2)作該圓的切線只有一條.(

)(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圓心為(a,b),半徑為t的圓.(

)×××√2.(2022廣東廣州三模)設(shè)甲:實(shí)數(shù)a<3;乙:方程x2+y2-x+3y+a=0是圓,則甲是乙的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案

B解析若方程x2+y2-x+3y+a=0表示圓,3.半徑為3,圓心的縱、橫坐標(biāo)相等且與兩條坐標(biāo)軸都相切的圓的方程為

.

答案

(x-3)2+(y-3)2=9或(x+3)2+(y+3)2=9

解析

由題意可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,a),則圓的方程為(x-a)2+(y-a)2=9,且|a|=r=3,得a=±3.故所求圓的方程為(x-3)2+(y-3)2=9或(x+3)2+(y+3)2=9.增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一求圓的方程典例突破例1.(1)以直線ax-y-3-a=0(a∈R)過(guò)的定點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓的方程是(

)A.x2+y2-2x+6y+6=0 B.x2+y2+2x-6y+6=0C.x2+y2+6x-2y+6=0 D.x2+y2-6x+2y+6=0(2)已知圓C與x軸的正半軸相切于點(diǎn)A,圓心在直線y=2x上.若點(diǎn)A在直線x-y-4=0的左上方且到該直線的距離等于,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A.(x-2)2+(y+4)2=4 B.(x+2)2+(y+4)2=16C.(x-2)2+(y-4)2=4 D.(x-2)2+(y-4)2=16答案

(1)A

(2)D解析

(1)因?yàn)橹本€方程為ax-y-3-a=0(a∈R),即a(x-1)-y-3=0(a∈R),所以直線過(guò)定點(diǎn)(1,-3),所以圓的方程為(x-1)2+(y+3)2=4,即x2+y2-2x+6y+6=0.故選A.(2)因?yàn)閳AC的圓心在直線y=2x上,所以可設(shè)C(a,2a).因?yàn)閳AC與x軸正半軸相切于點(diǎn)A,所以a>0,且圓C的半徑r=2a,A(a,0).所以A(2,0)或A(6,0).因?yàn)锳在直線x-y-4=0的左上方,所以A(2,0),所以C(2,4),r=4,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-4)2=16.故選D.方法總結(jié)求圓的方程的兩種方法

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2022全國(guó)甲,文14)設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y-1=0上,點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在☉M上,則☉M的方程為

.

(2)(2022全國(guó)乙,文15)過(guò)四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為

.

即圓心M的坐標(biāo)為(1,-1).設(shè)☉M的半徑為r,則r2=(3-1)2+12=5.故所求☉M的方程為(x-1)2+(y+1)2=5.(方法2)設(shè)圓心M(a,1-2a),☉M的半徑為r,則r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-1)2,整理可得-10a+10=0,即a=1.則圓心M(1,-1),故所求☉M的方程為(x-1)2+(y+1)2=5.(2)(方法1)若圓過(guò)點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),則設(shè)圓心為(a1,b1),半徑為r1,(方法2)設(shè)點(diǎn)A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2),圓過(guò)其中三點(diǎn)共有四種情況.若圓過(guò)A,B,C三點(diǎn),則線段AB的垂直平分線方程為x=2,線段AC的垂直平考點(diǎn)二與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題典例突破例2.已知直角三角形ABC的斜邊為AB,且點(diǎn)A(-1,0),B(3,0).(1)求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程;(2)求直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.方法總結(jié)求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的常用方法

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)若動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(8,0)的距離是到點(diǎn)B(2,0)的距離的2倍,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(

)A.x2+y2=32 B.x2+y2=16C.(x-1)2+y2=16 D.x2+(y-1)2=16(2)已知圓C:(x-1)2+(y-1)2=9,過(guò)點(diǎn)A(2,3)作圓C的任意弦,則這些弦的中點(diǎn)P的軌跡方程為

.

考點(diǎn)三與圓有關(guān)的最值問(wèn)題(多考向探究)考向1.借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最值典例突破例3.已知點(diǎn)M(m,n)為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點(diǎn).(1)求m+2n的最大值;方法總結(jié)與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的三種幾何轉(zhuǎn)化法

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1,設(shè)點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn).記d=|PB|2+|PA|2,其中A(0,1),B(0,-1),則d的最大值為

.

答案

74

考向2.利用對(duì)稱性求最值典例突破例4.已知圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9,點(diǎn)M,點(diǎn)N分別是圓C1,圓C2上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值為(

)答案

A

解析

由題可知圓心C1(2,3),圓心C2(3,4).因?yàn)辄c(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn),所以|PM|的最小值為|PC1|-1,同理,|PN|的最小值為|PC2|-3,所以|PM|+|PN|的最小值為|PC1|+|PC2|-4.作C1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'1(2,-3)(圖略),名師點(diǎn)析形如|PA|+|PQ|形式的與圓有關(guān)的折線段問(wèn)題(其中P,Q均為動(dòng)點(diǎn)),要立足兩點(diǎn):(1)減少動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)“曲化直”,即將折線段轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和,一般要通過(guò)對(duì)稱性解決.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4已知圓O:x2+y2=1,A(3,3),點(diǎn)P在直線l:x-y=2上運(yùn)動(dòng),則|PA|+|PO|的最小值為

.

解析

點(diǎn)A與點(diǎn)O在直線l:x-y=2的同側(cè),設(shè)點(diǎn)O關(guān)于直線l:x-y=2的對(duì)稱點(diǎn)為O'(x',y').∵kOO'=-1,OO'所在直線方程為y=-x.考向3.建立函數(shù)關(guān)系求最值典例突破例5.設(shè)點(diǎn)P(x,y)是圓x2+(y-3)2=1上的動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)A(2,0),B(-