福建省海濱學校、港尾中學2023-2024學年高二數學第一學期期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若數列滿足，則（）A.2 B.6C.12 D.202．數列滿足，對任意，都有，則（）A. B.C. D.3．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點P為橢圓與雙曲線的交點，且，則當取最大值時的值為（）A. B.C. D.4．在區間內隨機取一個數，則方程表示焦點在軸上的橢圓的概率是A. B.C. D.5．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點F(－c，0)作圓O：x2＋y2＝a2的切線，切點為E，延長FE交雙曲線于點P，若E為線段FP的中點，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.＋1 D.6．若雙曲線經過點，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的方程是（）A. B.C. D.7．“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．如圖，我市某地一拱橋垂直軸截面是拋物線，已知水利人員在某個時刻測得水面寬，則此時刻拱橋的最高點到水面的距離為（）A. B.C. D.9．中國古代數學名著九章算術中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之栗五斗羊主曰：“我羊食半馬”馬主曰：“我馬食半?！苯裼斨瑔柛鞒鰩缀?？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗的主人要求賠償5斗栗羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率償還，他們各應償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應償還栗a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是A.a，b，c依次成公比為2的等比數列，且B.a，b，c依次成公比為2的等比數列，且C.a，b，c依次成公比為的等比數列，且D.a，b，c依次成公比為的等比數列，且10．在中，內角所對的邊為，若，，，則（）A. B.C. D.11．過兩點和的直線的斜率為（）A. B.C. D.12．直線與直線交于點Q，m是實數，O為坐標原點，則的最大值是（）A.2 B.C. D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的離心率為.（1）證明：；（2）若點在橢圓的內部，過點的直線交橢圓于、兩點，為線段的中點，且.①求直線的方程；②求橢圓的標準方程.14．已知某地區內貓的壽命超過10歲的概率為0.9，超過12歲的概率為0.6，那么該地區內，一只壽命超過10歲的貓的壽命超過12歲的概率為___________.15．已知點是橢圓上的一點，分別為橢圓的左、右焦點，已知=120°，且，則橢圓的離心率為___________.16．隨機變量X的取值為0，1，2，若，，則_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某高校自主招生考試分筆試與面試兩部分，每部分考試成績只記“通過”與“不通過”，兩部分考試都“通過”者，則考試“通過”，并給予錄取.甲、乙兩人在筆試中“通過”的概率依次為，在面試中“通過”的概率依次為，筆試和面試是否“通過”是獨立的，那么（1）甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，誰獲得錄取的可能性大？（2）甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，求恰有一人獲得錄取的概率.18．（12分）設橢圓的左，右焦點分別為，其離心率為，且點在C上.（1）求C的方程；（2）O為坐標原點，P為C上任意一點.若M為的中點，過M且平行于的直線l交橢圓C于A，B兩點，是否存在實數，使得？若存在，求值；若不存在，說明理由.19．（12分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：（a>b>0）的左、右焦點分別為，其離心率，且橢圓C經過點.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點M作兩條不同的直線與橢圓C分別交于點A，B（均異于點M）.若∠AMB的角平分線與y軸平行，試探究直線AB的斜率是否為定值？若是，請給予證明；若不是，請說明理由.20．（12分）在直角坐標系中，點到兩點、的距離之和等于，設點的軌跡為，直線與交于、兩點（1）求曲線的方程；（2）若，求的值21．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，且，，三角形為等腰直角三角形，且，.（1）若點為棱的中點，證明：平面平面；（2）若平面平面，點為棱的中點，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知是等差數列，是各項都為正數的等比數列，，再從①；②；③這三個條件中選擇___________，___________兩個作為已知.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由已知條件變形可得，然后累乘法可得，即可求出詳解】由得，，.故選：D2、C【解析】首先根據題設條件可得，然后利用累加法可得，所以，最后利用裂項相消法求和即可.【詳解】由，得，則，所以，.故選：C.【點睛】本題考查累加法求數列通項，考查利用錯位相減法求數列的前n項和，考查邏輯思維能力和計算能力，屬于常考題.3、D【解析】由橢圓的定義及雙曲線的定義結合余弦定理可得，，的關系，由此可得，再利用重要不等式求最值，并求此時的的值.【詳解】設為第一象限的交點，、，則、，解得、，在中，由余弦定理得：，∴，∴，∴，∴，∴，，即，當且僅當，即，時等號成立，此時故選：D4、D【解析】若方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得，，故方程表示焦點在軸上的橢圓的概率是，故選D.5、A【解析】設F′為雙曲線的右焦點，連接OE，PF′，根據圓的切線性質和三角形中位線得到|OE|＝a，|PF′|＝2a，利用雙曲線的定義求得|PF|＝4a，得到|EF|＝2a，在Rt△OEF中，利用勾股定理建立關系即可求得離心率的值.【詳解】不妨設E在x軸上方，F′為雙曲線的右焦點，連接OE，PF′，如圖所示:因為PF是圓O的切線，所以OE⊥PE，又E，O分別為PF，FF′的中點，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根據雙曲線的定義，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故選A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，聯想到雙曲線的另一個焦點，作輔助線，利用雙曲線的定義是求解離心率問題的有效方法.6、A【解析】根據雙曲線漸近線方程設出方程，再由其過的點即可求解.【詳解】漸近線方程是，設雙曲線方程為，又因為雙曲線經過點，所以有，所以雙曲線方程為，化為標準方程為.故選：A7、B【解析】因但8、D【解析】代入計算即可.【詳解】設B點的坐標為，由拋物線方程得，則此時刻拱橋的最高點到水面的距離為2米.故選：D9、D【解析】由條件知，，依次成公比為的等比數列，三者之和為50升，根據等比數列的前n項和，即故答案為D.10、B【解析】利用正弦定理角化邊得到，再利用余弦定理構造方程求得結果.【詳解】，，由余弦定理得：，，.故選：B.11、D【解析】應用兩點式求直線斜率即可.【詳解】由已知坐標，直線的斜率為.故選：D12、B【解析】求出兩直線的交點坐標，結合兩點間的距離公式得到，進而可以求出結果.【詳解】因為與的交點坐標為所以，當時，，所以的最大值是，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）證明見解析；（2）①；②.【解析】（1）由可證得結論成立；（2）①設點、，利用點差法可求得直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程；②將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，由可得出，利用平面向量數量積的坐標運算可得出關于的等式，可求出的值，即可得出橢圓的方程.【詳解】（1），，因此，；（2）①由（1）知，橢圓的方程為，即，當在橢圓的內部時，，可得.設點、，則，所以，，由已知可得，兩式作差得，所以，所以，直線方程為，即.所以，直線的方程為；②聯立，消去可得.，由韋達定理可得，，又，而，，，解得合乎題意，故，因此，橢圓的方程為.14、【解析】根據條件概率公式求解即可.【詳解】設事件A：貓的壽命超過10歲，事件B：貓的壽命超過12歲.依題意有，，則一只壽命超過10歲貓的壽命超過12歲的概率.故答案為：15、【解析】設，由余弦定理知，所以，故填.16、##0.4【解析】設出概率，利用期望求出相應的概率，進而利用求方差公式進行求解.【詳解】設，則，從而，解得：，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）甲獲得錄取的可能性大；（2）【解析】（1）利用獨立事件的乘法公式求出甲、乙兩人被錄取的概率并比較大小，即得結果.（2）應用對立事件、獨立事件的概率求法，結合互斥事件的加法公式求恰有一人獲得錄取的概率.【小問1詳解】記“甲通過筆試”為事件，“甲通過面試”為事件，“甲獲得錄取”為事件A，“乙通過筆試”為事件，“乙通過面試”為事件，“乙獲得錄取”為事件B，則，，即，所以甲獲得錄取的可能性大.【小問2詳解】記“甲乙兩人恰有一人獲得錄取”為事件C，則.18、（1）；（2）.【解析】(1)列出關于a、b、c的方程組求解即可；(2)直線l斜率不存在時，易得λ的值；斜率存在時，設l方程為，聯立直線l與橢圓C的方程，求出；求出OP方程，聯立OP方程與橢圓C的方程，求出；代入即可求得λ.【小問1詳解】由已知可得，解得，∴橢圓C的標準方程為.【小問2詳解】若直線的斜率不存在時，，∴；當斜率存在時，設直線l的方程為.聯立直線l與橢圓方程，消去y，得，∴.∵，設直線的方程為，聯立直線與橢圓方程，消去y，得，解得.∴，∴，同理，∴，∵，∴，故，存在滿足條件，綜上可得，存在滿足條件.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于弦長公式的運用，AB斜率為k，，M(1，0)，則，，，將弦長之積轉化為韋達定理求解.19、（1）（2）是，證明見解析【解析】（1）根據離心率及橢圓上的點可求解；（2）根據題意分別設出直線MA、MB，與橢圓聯立后得到相關點的坐標，再通過斜率公式計算即可證明.【小問1詳解】由，得，所以a2=9b2①，又橢圓過點，則②，由①②解得a=6，b=2，所以橢圓的標準方程為【小問2詳解】設直線MA的斜率為k，點，因為∠AMB的平分線與y軸平行，所以直線MA與MB的斜率互為相反數，則直線MB的斜率為-k.聯立直線MA與橢圓方程，得整理，得，所以，同理可得，所以，又所以為定值.20、（1）；（2）.【解析】（1）本題可根據橢圓的定義求出點的軌跡；（2）本題首先可設、，然后聯立橢圓與直線方程，通過韋達定理得出、，最后通過得出，代入、的值并計算，即可得出結果.【詳解】（1）因為點到兩點、的距離之和等于，所以結合橢圓定義易知，點的軌跡是以點、為焦點且的橢圓，則，，，點的軌跡.（2）設，，聯立，整理得，則，，因為，所以，即，整理得，則，整理得，解得.【點睛】關鍵點點睛：本題考查根據橢圓定義求動點軌跡以及直線與拋物線相關問題的求解，橢圓的定義為動點到兩個定點的距離為一個固定的常數，考查韋達定理的應用，考查計算能力，是難題.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先證明，，進而證明平面，即可證明平面，從而證明平面平面.（2）以點為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，用向量法求解即可【小問1詳解】因為為等腰直角三角形，點為棱的中點，所以，又因為，，所以，又因為在中，，，所以，所以，所以，又因為，所以平面，又因為為平行四邊形，所以，所以平面，又因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】因為平面平面，平面平面，，所以平面，又因為，以點為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，所以，，，，設平面的一個法向量為，則由，，可得令，得，設直線與平面所成角為，，所以直線與平面所成角的正弦值為.22、答案見解析【解析】（1）根據題設條件可得關于基本量的方程組，求解后可得的通項公式.（2）利用公式法可求數列的前項和.【詳解】解：選擇條件①和條件②（1）設等差數列的公差為，∴解得：，.∴，.（2）設等比數列