安徽省六安市第二中學河西校區2023-2024學年高二數學第一學期期末學業水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等差數列中，，則（）A.6 B.3C.2 D.12．若過點（2，1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的距離為（）A. B.C. D.3．若數列是等差數列，其前n項和為，若，且，則等于（）A. B.C. D.4．在區間上隨機取一個數，則事件“曲線表示圓”的概率為（）A. B.C. D.5．直線的傾斜角為A. B.C. D.6．已知拋物線上一點的縱坐標為4，則點到拋物線焦點的距離為A.2 B.3C.4 D.57．兩個圓和的位置是關系是（）A.相離 B.外切C.相交 D.內含8．在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為A. B.C. D.9．給出命題：若函數是冪函數，則函數的圖象不過第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數是（）A.3 B.2C.1 D.010．設,是雙曲線（）的左、右焦點，是坐標原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為A. B.C. D.11．已知四面體中，，若該四面體的外接球的球心為，則的面積為（）A. B.C. D.12．若雙曲線（，）的焦距為，且漸近線經過點，則此雙曲線的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若和或都是假命題，則的范圍是__________14．甲乙兩艘輪船都要在某個泊位停靠8個小時，假定它們在一晝夜的時間段內隨機地到達，則兩船中有一艘在停靠泊位時、另一艘船必須等待的概率為______.15．某個年級有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從該年級全體學生中抽取一個容量為280的樣本，則此樣本中男生人數為____________.16．已知函數，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的存在，求實數的取值范圍；若問題中的不存在，請說明理由設等差數列的前n項和為，數列的前n項和為，___________，，，是否存在實數，對任意都有？18．（12分）已知橢圓，其焦點為，，離心率為，若點滿足.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，的重心滿足：，求實數的取值范圍.19．（12分）寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假：（1）：任意兩個等邊三角形都是相似的；（2）：，.20．（12分）已知數列中，，且滿足（1）求證數列是等差數列，并求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和21．（12分）已知等差數列的前項和滿足，.（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和.22．（10分）如圖，在三棱錐中，底面，．點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據等差數列下標性質進行求解即可.【詳解】因為是等差數列，所以，故選：B2、B【解析】由題意可知圓心在第一象限，設圓心的坐標為，可得圓的半徑為，寫出圓的標準方程，利用點在圓上，求得實數的值，利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設圓心的坐標為，則圓的半徑為，圓的標準方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點睛】本題考查圓心到直線距離的計算，求出圓的方程是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.3、B【解析】由等差數列的通項公式和前項和公式求出的首項和公差，即可求出.【詳解】設等差數列的公差為，則解得：，所以.故選：B.4、D【解析】先求出曲線表示圓參數的范圍，再由幾何概率可得答案.【詳解】由可得曲線表示圓，則解得或又所以曲線表示圓的概率為故選：D5、B【解析】分析出直線與軸垂直，據此可得出該直線的傾斜角.【詳解】由題意可知，直線與軸垂直，該直線的傾斜角為.故選：B.【點睛】本題考查直線的傾斜角，關鍵是掌握直線傾斜角的定義，屬于基礎題6、D【解析】拋物線焦點在軸上，開口向上，所以焦點坐標為，準線方程為，因為點A的縱坐標為4，所以點A到拋物線準線的距離為，因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，所以點A與拋物線焦點的距離為5.考點：本小題主要考查應用拋物線定義和拋物線上點的性質拋物線上的點到焦點的距離，考查學生的運算求解能力.點評：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，這條性質在解題時經常用到，可以簡化運算.7、C【解析】根據圓的方程得出兩圓的圓心和半徑，再得出圓心距離與兩圓的半徑的關系，可得選項.【詳解】圓的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，則，所以兩圓的位置是關系是相交，故選：C.【點睛】本題考查兩圓的位置關系，關鍵在于運用判定兩圓的位置關系一般利用幾何法.即比較圓心之間的距離與半徑之和、之差的大小關系，屬于基礎題.8、C【解析】利用正方體中，，將問題轉化為求共面直線與所成角的正切值，在中進行計算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設正方體邊長為，則由為棱的中點，可得，所以，則.故選C.【點睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關系，找到（或構造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應的余弦取絕對值即為直線所成角的余弦值.9、C【解析】若函數是冪函數，則函數的圖象不過第四象限，原命題是真命題，則其逆否命題也是真命題；其逆命題為：若函數的圖象不過第四象限，則函數是冪函數是假命題，所以原命題的否命題也是假命題.故它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題有一個．選C10、B【解析】分析：由雙曲線性質得到，然后在和在中利用余弦定理可得詳解：由題可知在中，在中,故選B.點睛：本題主要考查雙曲線的相關知識，考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應用，屬于中檔題11、C【解析】根據四面體的性質，結合線面垂直的判定定理、球的性質、正弦定理進行求解即可.【詳解】由圖設點為中點，連接，由，所以，面，則面，且，所以球心面，所以平面與球面的截面為大圓，延長線與此大圓交于點.在三角形中，由，所以，由正弦定理知：三角形的外接圓半徑為，設三角形的外接圓圓心為點，則面，有，則，設的外接圓圓心為點，則面，由正弦定理知：三角形PAB的外接圓半徑為，所以，又三角形中，，所以為的角平分線，則，在直角三角形OMD中，，在直角三角形OED中，，在三角形中，取中點，由，所以，故選：C.【點睛】關鍵點睛：運用正弦定理、勾股定理、線面垂直的判定定理是解題的關鍵.12、B【解析】根據題意得到，，解得答案.【詳解】雙曲線（，）的焦距為，故，.且漸近線經過點，故，故，雙曲線方程為：.故選：.【點睛】本題考查了雙曲線方程，意在考查學生對于雙曲線基本知識的掌握情況.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先由和或都是假命題，求出x的范圍，取交集即可.【詳解】若為假命題，則有或若或是假命題，則所以的范圍是即的范圍是胡答案：14、【解析】利用幾何概型的面積型概率計算，作出邊長為24的正方形面積，求出部分的面積，即可求得答案.【詳解】設甲乙兩艘輪船到達的時間分為，則，記事件為兩船中有一艘在停靠泊位時、另一艘船必須等待，則，即∴.故答案為：.【點睛】本題考查幾何概型，考查轉化與化歸思想、數形結合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意對概率模型的抽象成面積型.15、160【解析】∵某個年級共有980人，要從中抽取280人，∴抽取比例為，∴此樣本中男生人數為，故答案為160.考點：本題考查了分層抽樣的應用點評：掌握分層抽樣的概念是解決此類問題的關鍵，屬基礎題16、2【解析】根據導數的計算法則計算即可.【詳解】∵，∴，∴∴.故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、答案見解析【解析】由已知條件可得，假設時，取最小值，則，若補充條件是①，則可求得，代入化簡可求出的取值范圍，從而可求得答案，若補充條件是②，則可得，該數列是遞減數列，所以不存在k，使得取最小值，若補充條件是③，則可得，代入化簡可求出的取值范圍，從而可求得答案，【詳解】解：等差數列的公差為d，當時，，得，從而，當時，得，所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以，由對任意，都有，當等差數列的前n項和存在最小值時，假設時，取最小值，所以；若補充條件是①，因為，，從而，由得，所以，由等差數列的前n項和存在最小值，則，得，又，所以.所以，故實數的取值范圍為若補充條件是②，由，即，又，所以.所以，由于該數列是遞減數列，所以不存在k，使得取最小值，故實數不存在以下為嚴格的證明：由等差數列的前n項和存在最小值，則，得，所以，所以不存在k，使得取最小值，故實數不存在若補充條件是③，由，得，又，所以，所以由等差數列的前n項和存在最小值，則，得，又，所以.所以存在，使得取最小值，所以，故實數的取值范圍為18、（1）（2）【解析】（1）運用橢圓的離心率公式，結合橢圓的定義可得在橢圓上，代入橢圓方程，求出，，即可求橢圓的方程；（2）設出直線方程，聯立直線和橢圓方程，利用根與系數之間的關系、以及向量數量積的坐標表示進行求解即可.【小問1詳解】依題意得，點，滿足，可得在橢圓上，可得：，且，解得，，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】設，，，，，，當時，，此時A,B關于y軸對稱，則重心為，由得：，則，此時與橢圓不會有兩交點，故不合題意，故；聯立與橢圓方程,可得，可得，化為，，，①，設的重心，由，可得②由重心公式可得，代入②式，整理可得可得③①式代入③式并整理得,則，，令，則，可得，，，.【點睛】本題主要考查橢圓的方程以及直線和橢圓的位置關系的應用，利用消元法轉化為一元二次方程形式是解決本題的關鍵.19、（1）存在兩個等邊三角形不是相似的，假命題（2），真命題【解析】根據全稱命題與存在性命題的關系，準確改寫，即可求解.【小問1詳解】解：命題“任意兩個等邊三角形都是相似的”是一個全稱命題根據全稱命題與存在性命題的關系，可得其否定“存在兩個等邊三角形不是相似的”，命題為假命題.【小問2詳解】解：根據全稱命題與存在性命題關系，可得：命題的否定為.因為，所以命題為真命題.20、（1）證明見解析；；（2）.【解析】（1）根據等差數列的定義證明為常數即可；（2）利用錯位相減法即可求和.【小問1詳解】由得，，∴數列是以1為首項，1為公差的等差數列，∴，∴；【小問2詳解】①，②，①－②得：，.21、（1）；（2）.【解析】（1）由，，可得求出，從而可得的通項公式；（2）由（1）可得，從而可得，然后利用裂項相消求和法可求得【詳解】解：（1）設等差數列的公差為，因為，.所以，化簡得，解得，所以，（2）由（1）可知，所以，所以【點睛】此題考查等差數列前項和的基本量計算，考查裂項相消求和法的應用，考查計算能力，屬于基礎題22、（1）證明見解析；（2）；（3）或【解析】本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.首先要建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，證明線面平行只需求出平面的法向量，計算直線對應的向量與法向量的數量積為0，求二面角只需求出兩個半平面對應的法向量，借助法向量的夾角求二面角，利用向量的夾角公式，求出異面直線所成角的余弦值，利用已知條件，求出的值.試題解析：如圖，以A為原點，分別以，，方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系.依題意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（1）證明：=（0，2，0），=（2，0，）.設，為平面BDE的法向量，則，即.不妨設，可得.又=（1，2，），可得.因為平