第二十五章

概率初步25.3用頻率估計概率

情境引入投擲一枚質地均勻的硬幣時，結果“正面向上”的概率是多少？拋擲一枚質地均勻的硬幣時，“正面向上”和“反面向上”發生的可能性相等。情境引入周末，縣體育館有一場精彩的籃球比賽，我手中有一張球票，小強和小明都是班上籃球迷，兩人都想去，我很為難，不知給誰，請大家想個辦法解決這個問題。方案：抓間、擲硬幣等。為什么要用抓間、擲硬幣的方法呢？理由：這樣做公平。能保證小強和小明得到球票的可能性一樣大，即得票概率相同。情境引入不可以。也就是：當試驗的所有可能結果不是有限個，或各種可能結果發生的可能性不相等時，我們一般還要通過統計頻率來估計概率。在同樣條件下，大量重復試驗時，根據一個隨機事件發生的頻率所逐漸穩定到的常數，可以估計這個事件發生的概率。前面的列舉法只能在所有可能是等可能并且有限個的大前提下進行的，如果不滿足上面二個條件，是否還可以應用以上的方法呢？探索新知試驗把全班同學分成10組，每組同學拋擲一枚硬幣50次，整理同學們獲得的試驗數據，并完成如圖所示的表格。探索新知根據上頁表中的數據，在下圖中標出對應的點。試驗規律：探索新知可以發現，在重復拋擲一枚硬幣時，“正面向上”的頻率在0.5附近擺動。一般地，隨著拋擲次數的增加，頻率呈現出一定的穩定性：在0.5附近擺動的幅度會越來越小。這時，我們稱“正面向上”的頻率穩定于0.5。它與前面用列舉法得出的“正面向上”的概率是同一個數值。試驗規律：探索新知在拋擲一枚硬幣時，結果不是“正面向上”，就是“反面向上”因此，從上面的試驗中也能得到相應的“反面向上”的頻率。當“正面向上”的頻率穩定于0.5時，“反面向上”的頻率也穩定于0.5.它也與前面用列舉法得出的“反面向上”的概率是同一個數值。探索新知歷史上，有些人曾做過成千上萬次拋擲硬幣的試驗，其中一些試驗結果見下表。探索新知實際上，從長期實踐中，人們觀察到，對一般的隨機事件，在做大量重復試驗時，隨著試驗次數的增加，一個事件出現的頻率，總在一個固定數的附近擺動，顯示出一定的穩定性。因此，我們可以通過大量的重復試驗，用一個隨機事件發生的頻率去估計它的概率。探索新知從拋擲硬幣的試驗還可以發現，“正面向上”的概率是0.5，連續擲2次，結果不一定是“正面向上”和“反面向上”各1次；連續拋擲100次，結果也不一定是“正面向上”和“反面向上”各50次。也就是說，概率是0.5并不能保證擲2n次硬幣一定恰好有n次“正面向上”，只是當n越來越大時，正面向上的頻率會越來越穩定于0.5。可見，概率是針對大量重復試驗而言的，大量重復試驗反映的規律并非在每一次試驗中都發生。探索新知問題一：某林業部門要考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，應采用什么具體做法？它能夠用列舉法求出嗎？為什么？

探索新知下表是一張模擬的統計表，請補全表中空缺，并完成表下的填空。從表可以發現，隨著移植數的增加，幼樹移植成活的頻率越來越穩定。當移植總數為14000時，成活的頻率為0.902，于是可以估計幼樹移植成活的概率為

。0.9探索新知問題二：某水果公司以2元/kg的成本價新進10000kg柑橘.如果公司希望這些柑橘能夠獲得利潤5000元，那么在出售柑橘（去掉損壞的柑橘）時，每千克大約定價為多少元比較合適？銷售人員首先從所有的柑橘中隨機抽取若干柑橘，進行“柑橘損壞率”統計，并把獲得的數據記錄在下表中。請你幫忙完成此表。探索新知統計表如下:填完表后，從表可以看出，隨著柑橘質量的增加，柑橘損壞的頻率越來越穩定。柑橘總質量為500kg時的損壞頻率為0.103，于是可以估計柑橘損壞的概率為0.1（結果保留小數點后一位）。由此可知，柑橘完好的概率為0.9。探索新知

小結用頻率估計概率：一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發生的頻率會穩定在某一個常數p的附近，那么事件A發生的概率P（A）=p。其中0≤p≤1。通過試驗的方法去估計一個隨機事件發生的概率時，試驗次數越多，估計的效果就越好，但是頻率不能替代概率。小結3.

概率是對大量重復試驗而言的，大量試驗反映的規律并非在每一次試驗中一定出現。4.

用頻率估計概率是求概率的一種方法，目前主要學習了兩種求概率的方法。知識梳理知識點1：用頻率估計概率。一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發生的頻率會穩定在某一個常數p的附近，那么事件A發生的概率P（A）=p。其中0≤p≤1。條件是：在同等條件下，需要做大量的重復試驗。關鍵是：通過大量重復試驗找出頻率的穩定值。知識點2：概率的應用。通過計算頻率來估計概率，從而進行計算總體的數目。課堂練習例1：在一個不透明的布袋中，紅球、黑球、白球共有若干個，除顏色外，形狀、大小、質地等完全相同，小新從布袋中隨機摸出一球，記下顏色后放回布袋中，搖勻后再隨機摸出一球，記下顏色，……如此大量摸球實驗后，小新發現其中摸出紅球的頻率穩定于20%，摸出黑球的頻率穩定于50%，對此實驗，他總結出下列結論：①若進行大量摸球實驗，摸出白球的頻率穩定于30%，②若從布袋中任意摸出一個球，該球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是紅球。其中說法正確的是（

）。A.①②③B.①②

C.①③D.②③B課堂練習【解析】∵在一個不透明的布袋中，紅球、黑球、白球共有若干個，其中摸出紅球的頻率穩定于20%，摸出黑球的頻率穩定于50%，∴①若進行大量摸球實驗，摸出白球的頻率穩定于1-20%-50%=30%，故此選項正確；∵摸出黑球的頻率穩定于50%，大于其他頻率，∴②從布袋中任意摸出一個球，該球是黑球的概率最大，故此選項正確；③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是紅球，故此選項錯誤。故正確的有①②。課堂練習例2：為獲知野生動物保護區內某種野生動物的數量，工作人員逮到該種動物1200只，作標記后放回。若干天后，再逮到該種動物1000只，其中有100只作過標記。按概率方法估算，保護區內這種動物有

只。12000

小練習1.在一次質檢抽測中，隨機抽取某攤位20袋食鹽，測得各袋的質量分別為（單位：g）:492，496，494，495，498，497，501，502，504，496，497，503，506，508，507，492，496，500，501，499根據以上抽測結果，任買一袋該攤位的食鹽，質量在497.5g~501.5g之間的概率為（

）。

B小練習

小練習2.在一個暗箱里放有m個除顏色外完全相同的球，這m個球中紅球只有3個。每次將球充分搖勻后，隨機從中摸出一球，記下顏色后放回。通過大量的重復試驗后發現，摸到紅球的頻率在20%，由此可推算出m約為（

）。