26.3解直角三角形

學習目標12掌握直角三角形中的邊角關系.

(重點)掌握解直角三角形的條件和解題技巧.

(難點)3理解解直角三角形的概念.(重點)一個直角三角形有幾個元素？它們之間有何關系？(1)三邊之間的關系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；(2)銳角之間的關系:∠A＋∠B＝90o；(3)邊角之間的關系:

ＡＣＢabc有三條邊和三個角，其中有一個角為直角銳角三角函數知識回顧

30°

45°

60°三角函數知識回顧特殊角的三角函數值：在Rt△ABC中,∠C=90°,（1）根據∠A=60°,斜邊AB=30,A在直角三角形的六個元素中,除直角外,如果知道兩個元素,就可以求出其余三個元素.(其中至少有一個是邊),你發現了什么？BC∠B

AC

BC∠A∠B

AB一角一邊兩邊（2）根據AC=，BC=你能求出這個三角形的其他元素嗎？兩角（3）根∠A=60°,∠B=30°,

你能求出這個三角形的其他元素嗎?不能你能求出這個三角形的其他元素嗎?知識講解ABC探究解直角三角形,只有兩種:一、已知兩條邊;二、已知一條邊和一個銳角.

在直角三角形中,除直角外,還有三條邊和兩個銳角共五個元素.由這五個元素中的已知元素求出其余未知元素的過程,叫做解直角三角形.1.解直角三角形也就是說：在直角三角形中,由已知元素求出其余未知元素的過程,叫做解直角三角形.知識講解2.解直角三角形的依據ＡＣＢabc(1)三邊之間的關系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；(2)銳角之間的關系:∠A＋∠B＝90o；(3)邊角之間的關系:（4）面積公式：

知識講解知識講解例1

在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=34°,AC=6.解這個直角三角形.(結果精確到0.001)【思考】(3)你能根據∠A的正切求出線段BC的長嗎?(1)要解這個直角三角形,需要求出哪些元素?(需要求∠B的大小及BC,AB的長.)(2)∠A與∠B的大小關系是什么?(需要求∠B的大小及BC,AB的長.)（由tanA=得BC=ACtanA.）

知識講解(4)你能求出線段AB的長嗎?你還有其他方法求AB的長嗎?(勾股定理或∠A的正弦、余弦或∠B的正弦、余弦.)解:∠B=90°-∠A=90°-34°=56°,∵

，∴BC=AC·tanA=AC·tan34°≈6×0.6745=4.047.∴7.238.知識講解如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B＝35°，b=20，解這個直角三角形（結果保留小數點后一位）.ABCac2035°你還有其他方法求出c嗎？解：練一練例2如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,BC=8.解這個直角三角形.(角度精確到1″)(4)你有幾種方法可以求斜邊AB的長?(1)已知線段AC,BC分別是∠A的鄰邊和對邊,用哪個三角函數可以表示它們之間的等量關系?(2)已知∠A的三角函數值可以求∠A的度數嗎?(3)已知∠A的度數怎樣求∠B的度數?知識講解解：∵,∴∠A≈28°4'20″.∴∠B=90°-∠A≈90°-28°4'20″=61°55'40″.∵AB2=AC2+BC2=152+82=289,∴AB=17.知識講解如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，解這個直角三角形.解：ABC練一練1.直角三角形中一共有六個元素，即三條邊和三個角，除直角外，另外的五個元素中，只要已知一條邊和一個角或兩條邊，就可以求出其余的所有未知元素.知識歸納2.運用關系式解直角三角形時,常用到下列變形:（1）銳角之間的關系:∠A=90°-∠B,

∠B=90°-∠A.（2）三邊之間的常用變形：a

=，

b=，

c=.

知識講解（3）邊角之間的常用變形:a=c·sinA,b=c·cosA,a=b·tanA,a=c·cosB,b=c·sinB,b=a·tanB.3.雖然求未知元素時可選擇的關系式有很多種,但為了計算方便,最好遵循“先求角后求邊”和“寧乘勿除”的原則.4.選擇關系式時要盡量利用原始數據,以防“累積誤差”.5.遇到不是直角三角形的圖形時,要適當添加輔助線,將其轉化為直角三角形求解.知識講解1.在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,欲求∠A的值,最適宜的做法是 (

)A.計算tanA的值求出B.計算sinA的值求出C.計算cosA的值求出D.先根據sinB求出∠B,再利用90°-∠B解析:因為AC,BC分別是∠A的鄰邊、對邊,所以最適宜的方法是計算tanA的值求出∠A.故選A.A隨堂訓練2.在△ABC中,a,b,c分別是∠A,∠B,∠C的對邊,如果a2+b2=c2,那么下列結論正確的是(

)A.csinA=a B.bcosB=cC.atanA=b D.ctanB=b解析：由a2＋b2＝c2，得∠C=90°，∴sinA=,cosB=,tanA=,tanB=，∴csinA＝a

，ccosB＝a,btanA＝a,atanB＝b，故選A.A隨堂訓練3.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=20，c=20，則∠A=

，∠B=

,b=

.解析：∵sinA=，∴∠A=45°,∴∠B=90°-∠A=45°，∴∠A=∠B，∴b=a=20.故填45°、45°、20.45°45°20隨堂訓練4.根據下列條件解直角三角形.(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=6;(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,c=8.解：（1）∵tanA=，

∴∠A＝30°，∴∠B＝90°-30°=60°,AB=2BC=4.

（2）∵∠A＝60°，

∴∠B＝90°-60°=30°.

隨堂訓練∵sinA=，∴a=c·sinA=8×sin60°=8×=12.∵∠B=30°,∴b=.隨堂訓練5.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=25°,b=30,解這個直角三角形(精確到0.1).盡量選擇原始數據,避免累積誤