2024屆吉林省長春市榆樹市第一高級中學數學高二上期末檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．當圓的圓心到直線的距離最大時，（）A B.C. D.2．設變量，滿足約束條件，則目標函數的最大值為（）A. B.0C.6 D.83．在四棱錐中，底面為平行四邊形，為邊的中點，為邊上的一列點，連接，交于，且，其中數列的首項，則（）A. B.為等比數列C. D.4．命題：，的否定為（）A.， B.不存在，C.， D.，5．在正三棱錐S?ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點，且，若側棱，則正三棱錐S?ABC外接球的表面積是（）A. B.C. D.6．已知，命題“若，則，全為0”的否命題是（）A.若，則，全不為0. B.若，不全為0，則.C.若，則，不全為0. D.若，則，全不為0.7．五行學說是中華民族創造的哲學思想.古代先民認為，天下萬物皆由五種元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在如圖所示的相生相克關系.若從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種，則這兩種元素恰是相生關系的概率是（）A. B.C. D.8．在矩形中，，在該矩形內任取一點M，則事件“”發生的概率為（）A. B.C. D.9．已知a、b是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若a∥α，a∥b，則b∥α B.若a∥α，a∥β，則α∥βC.若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β D.若a⊥α，b⊥α，則a∥b10．命題“，都有”的否定為（）A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得11．如圖，在長方體中，，E，F分別為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.12．圓心為的圓，在直線x﹣y﹣1＝0上截得的弦長為，那么，這個圓的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線，拋物線上一動點到直線l的距離為d，則的最小值是______14．若平面內兩條直線，平行，則實數______15．如圖，某建筑物的高度，一架無人機上的儀器觀測到建筑物頂部的仰角為，地面某處的俯角為，且，則此無人機距離地面的高度為________16．與圓外切于原點，且被y軸截得的弦長為8的圓的標準方程為__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在長方體中，，，是棱的中點（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由18．（12分）設函數（1）求的值；（2）求的極大值19．（12分）已知在時有極值0.（1）求常數，的值；（2）求在區間上的最值.20．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點為,斜率為1的直線與橢圓交于兩點，以為底邊作等腰三角形，頂點為.（1）求橢圓的方程；（2）求的面積.21．（12分）設是首項為的等差數列的前項和，是首項為1的等比數列的前項和，為數列的前項和，為數列的前項和，已知.（1）若，求；（2）若，求.22．（10分）已知拋物線的準線方程為（1）求C的方程；（2）直線與C交于A，B兩點，在C上是否存在點Q，使得直線QA，QB分別與y軸交于M，N兩點，且？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】求出圓心坐標和直線過定點，當圓心和定點的連線與直線垂直時滿足題意，再利用兩直線垂直，斜率乘積為-1求解即可.【詳解】解：因為圓的圓心為,半徑，又因為直線過定點A(-1,1),故當與直線垂直時，圓心到直線的距離最大，此時有，即，解得.故選：C.2、C【解析】畫出可行域，利用幾何意義求出目標函數最大值.【詳解】畫出圖形，如圖所示：陰影部分即為可行域，當目標函數經過點時，目標函數取得最大值.故選：C3、A【解析】由得，為邊的中點得，設，所以，根據向量相等可判斷A選項；由得是公比為的等比數列，可判斷B選項；代入可判斷C選項；當時可判斷D選項.【詳解】由得，因為為邊的中點，所以，所以設，所以，所以，當時，A選項正確；，由得，是公比為的等比數列，所以，所以，所以，不是常數，故B選項錯誤；所以，由得，故C選項錯誤；當時，，所以，此時為的中點，與重合，即，，故D錯誤.故選：A.4、D【解析】含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結論即可【詳解】解：命題：，的否定為：，故選：D5、A【解析】由題意推出平面，即平面，，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對角線就是球的直徑，求出直徑即可求出球的體積【詳解】∵，分別為棱，的中點，∴，∵三棱錐為正棱錐，作平面，所以是底面正三角的中心，連接并延長交與點，∵底面是正三角形，，平面∴，，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∴，又∵，而，且，平面，∴平面，∴平面，∴，因為S?ABC是正三棱錐。所以，以，，為從同一定點出發的正方體三條棱，將此三棱錐補成以正方體，則它們有相同的外接球，正方體的體對角線就是球的直徑，，所以.故選：A.6、C【解析】根據四種命題的關系求解.【詳解】因為否命題是否定原命題的條件和結論，所以命題“若，則，全為0”的否命題是：若，則，不全為0，故選：C7、C【解析】先計算從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種的所有基本事件數，再計算其中兩種元素恰是相生關系的基本事件數，利用古典概型概率公式，即得解【詳解】由題意，從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種，共有（金，木），（金，水），（金，火），（金，土），（木，水），（木，火），（木土），（水，火），（水，土），（火，土），共10個基本事件，其中兩種元素恰是相生關系包含（金，木），（木，土），（土，水），（水，火）（火，金）共5個基本事件，所以所求概率.故選：C8、D【解析】利用幾何概型的概率公式，轉化為面積比直接求解.【詳解】以AB為直徑作圓，當點M在圓外時，.所以事件“”發生的概率為.故選：D9、D【解析】根據空間線、面的位置關系有關定理，對四個選項逐一分析排除，由此得出正確選項.【詳解】對于A選項，直線有可能平面內，故A選項錯誤.對于B選項，兩個平面有可能相交，平行于它們的交線，故B選項錯誤.對于C選項，可能相交，故C選項錯誤.根據線面垂直的性質定理可知D選項正確.故選:D.10、A【解析】根據命題的否定的定義判斷【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，命題“，都有”的否定為：，使得故選：A11、A【解析】利用平行線，將異面直線的夾角問題轉化為共面直線的夾角問題，再解三角形.【詳解】取BC中點H，BH中點I，連接AI、FI、，因為E為中點，在長方體中，，所以四邊形是平行四邊形，所以所以，又因為F為的中點，所以，所以，則即為異面直線與所成角(或其補角).設AB=BC=4，則，則,，根據勾股定理：，，，所以是等腰三角形，所以.故B，C，D錯誤.故選：A.12、A【解析】由垂徑定理，根據弦長的一半及圓心到直線的距離求出圓半徑，即可寫出圓的標準方程.【詳解】圓心到直線x﹣y﹣1＝0的距離弦長，設圓半徑為r，則故r=2則圓的標準方程為故選：A【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系和圓的標準方程，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】作直線l，拋物線準線且交y軸于A點，根據拋物線定義有，進而判斷目標式最小時的位置關系，結合點線距離公式求最小值.【詳解】如下圖示：若直線l，拋物線準線且交y軸于A點，則，，由拋物線定義知：，則，所以，要使目標式最小，即最小，當共線時，又，此時.故答案為：.14、-1或2【解析】根據兩直線平行，利用直線平行的條件列出方程解得答案.【詳解】∵，∴，解得或，經驗證都符合題意，故答案為：-1或215、200【解析】在Rt△ABC中求得AC的值，△ACQ中由正弦定理求得AQ的值，在Rt△APQ中求得PQ的值【詳解】根據題意，可得Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝300，∴AC200；△ACQ中，∠AQC＝45°+15°＝60°，∠QAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠QCA＝180°﹣∠AQC﹣∠QAC＝45°，由正弦定理，得，解得AQ200，在Rt△APQ中，PQ＝AQsin45°＝200200m故答案為200【點睛】本題考查了解三角形的應用問題，考查正弦定理，三角形內角和問題，考查轉化化歸能力，是基礎題16、；【解析】設所求圓的圓心為，根據兩圓外切于原點可知兩圓心與原點共線，再根據弦長列出方程組求出即可.【詳解】設所求圓的圓心為，因為圓的圓心為，與原點連線的斜率為，又所求圓與已知圓外切于原點，，①所以所求圓的半徑滿足，又被y軸截得的弦長為8，②由①②解得，所以圓的方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析（2）（3）存點，【解析】(1)先證明平面，由平面，可證明結論.(2)以分別為軸，建立空間直角坐標系,分別求出平面與平面的法向量，利用向量法求求解即可.(3)設，,則，則由向量法結合條件可得答案.【詳解】（1）在長方體中，,又，所以平面又平面,所以.(2)以分別為軸，建立空間直角坐標系因為，，是棱的中點則則為平面的一個法向量.設為平面的一個法向量.,所以，即取，可得所以如圖平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為.(3)設，，則由（2）平面的一個法向量設與平面所成角為則解得，取所以存在點，滿足條件.18、（1）-3（2）2【解析】（1）利用導數公式和法則求解；（2）令，利用極大值的定義求解.【小問1詳解】解：因為函數，所以，所以；【小問2詳解】令，得，當或時，，當時，，所以當時，取得極大值.19、（1），；（2）最小值為0，最大值為4.【解析】（1）對求導，根據在時有極值0，得到，再求出，的值；（2）由（1）知，，然后判斷的單調性，再求出的值域【詳解】解：（1），由題知：聯立（1）、（2）有(舍)或.當時在定義域上單調遞增，故舍去；所以，，經檢驗，符合題意（2）當，時，故方程有根或由，得或由得，函數的單調增區間為：，，減區間為：.函數在取得極大值，在取極小值；經計算，，，，所以最小值為0，最大值為4.20、（1）（2）【解析】（1）根據橢圓的簡單幾何性質知，又，寫出橢圓的方程；（2）先斜截式設出直線，聯立方程組，根據直線與圓錐曲線的位置關系，可得出中點為的坐標，再根據△為等腰三角形知，從而得的斜率為，求出，寫出：，并計算，再根據點到直線距離公式求高，即可計算出面積【詳解】（1）由已知得，，解得，又，所以橢圓的方程為（2）設直線的方程為，由得，①設、的坐標分別為，（），中點為，則，，因為是等腰△的底邊，所以所以的斜率為，解得，此時方程①為解得，，所以，，所以，此時，點到直線：距離，所以△的面積考點：1、橢圓的簡單幾何性質；2、直線和橢圓的位置關系；3、橢圓的標準方程；4、點到直線的距離.【思路點晴】本題主要考查的是橢圓的方程，橢圓的簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，點到直線的距離，屬于難題．解決本類問題時，注意使用橢圓的幾何性質，求得橢圓的標準方程；求三角形的面積需要求出底和高，在求解過程中要充分利用三角形是等腰三角形，進而知道定點與弦中點的連線垂直，這是解決問題的關鍵21、（1）或（2）【解析】（1）列方程組解得等差