課時4

余弦定理、正弦定理應用舉例學習目標

1.熟練掌握正、余弦定理.（數學抽象）

2.能夠運用正、余弦定理等知識和方法求解距離、高度、角度問題.（數學抽象）自主預習·悟新知合作探究·提素養隨堂檢測·精評價1.在浩瀚無垠的海面上航行，最重要的是定位和保持航向.閱讀教材，看看船只是如何表達位置和航向的？[答案]

用方向角和方位角.2.方位角和方向角是如何定義的？

4.如何不登月測量地月的大致距離？[答案]

可以在地球上選兩點，與月亮構成三角形，測量地球上兩點的距離和這兩點看月亮的視角，通過解三角形求得地月的大致距離.1.判斷下列結論是否正確.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）（1）仰角是視線與視線在水平面的射影的夾角.(

)√（2）兩點間不可通又不可視問題的測量方案實質是構造已知兩邊及夾角的三角形并求解.(

)√（3）兩點間可視但不可到達問題的測量方案實質是構造已知兩角及一邊的三角形并求解.(

)√（4）高度問題大多通過正（余）弦定理構造直角三角形來解決.(

)√

A

B

探究1

測量距離問題

新知生成1.基線的概念與選擇原則（1）定義：在測量上，根據測量需要適當確定的______叫作基線.線段（2）性質：在測量過程中，要根據實際需要選取合適的__________，使測量具有較高的精確度.一般來說，基線越長，測量的精確度越____.基線長度高2.測量不可到達的兩點間的距離，若是其中一點可以到達，利用一個三角形即可解決，一般用正弦定理；若兩點均不可到達，則需用3個三角形才能解決，一般正、余弦定理都要用到.新知運用

&1&

三角形中與距離有關的問題的求解策略：

（1）解決三角形中與距離有關的問題，若在一個三角形中，則直接利用正弦定理、余弦定理求解即可；若所求的線段在多個三角形中，則要根據條件選擇適當的三角形，再利用正弦定理、余弦定理求解.

（2）解決三角形中與距離有關的問題的關鍵是轉化為求三角形中的邊，分析所解三角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應用正弦定理、余弦定理來解決.

C

探究2

測量高度問題

新知生成1.仰角和俯角：與目標視線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫______，目標視線在水平視線下方時叫______（如圖所示）.仰角俯角

夾角新知運用

A

方法指導

本例是底部不能到達或者無法直接測量的物體的高度問題.常用正弦定理或余弦定理計算出物體的頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉化為解三角形的問題.本例解題的關鍵是正確畫出示意圖.

&2&

解題思路

B

探究3

測量角度問題

請結合下圖，探究下面的問題.問題：你能用方向角表述圖中的角嗎？

新知生成

目標

順時針方位角的取值范圍：__________.

新知運用

[解析]

如圖所示.

&3&

運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的基本步驟：

（1）分析：理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖（一個或幾個三角形）；

（2）建模：根據已知條件與求解目標，把已知量與待求量盡可能地集中在有關三角形中，建立一個解三角