海淀區2022—2023學年第一學期期中練習

高三數學參考答案

一、選擇題

題目12345678910

答案BACBADBCAD

二、填空題

(11)45(12)(0,l)U(l,+°o)(13)答案不唯一，小于1的實數均可

(14)2；-1或1(15)2；(0,2)

三、解答題

(16)(本小題13分)

解：(I)設等差數列｛4｝的公差為d,

因為生=3,S$=25,

67|+d=3,

所以|5x4

5a.+—d=25.

12

解得夕；

[a=2.

所以4,=2"—1.

(II)選擇條件③.

因為4=1,4=3,

所以

因為4”=%，

即2m-l=3i.

徂3口1

得m=--------.

2

因為keN*,3i為奇數，3*T+1為偶數，

所以meN*.

-r殂3*-'+1

可得，"=-----.

2

(17)(本小題14分)

解：(I)/(--)=2sin(--)cos(--)+2COS2(--)-1

4444

=2(當等+2(爭T

=-1.

(II)/(x)=sin2x+cos2x=\/2sin(2x4--).

4

所以f(x)的最小正周期為7=曰=九

(III)因為04x4烏，所以巴42x+二42，

2444

當2x+冷,即x弋時，f(x)取得最大值，

所以f(x)在區間［0,-］上的最大值為/(-)=72;

28

當2》+工=型，即x=2時，/(X)取得最小值，

442

所以,(幻在區間嗚］上的最小值為/(|)=-i.

(18)(本小題14分)

解：(I)f{x}的定義域為R

2

f\x)=x-2x,令尸(x)=0,X,=0,X2=2.

XS,0)0(0,2)2(2次)

/'(x)+0—0+

fW7極大值極小值/

由表可得，/(x)的單調遞增區間為(-co,0),(2,+oo)；單調遞減區間為(0,2).

44

(II)由函數解析式及(I)可知/(一1)=一1/(0)=0,/(2)=-1/(3)=0.

①當小￡(一1,2)時，J(x)w-g,不符合題意；

_A

②當me［2,3］時，/(x)在區間［-1,汨上的取值范圍是,符合題意；

③當相>3時，由f(x)在區間(2,go)上單調遞增可知/(㈤>"3)=0,不符合題意.

綜合上述，we［2,3］

(19)(本小題14分)

解：(I)在△ABD中，ABAD=15°,NA8D=45。,所以NA￡>8=60。.

由正弦定理：一些一=—"一，得*-=*_,

sinZABDsinZ.ADBsin45°sin60°

0

cin4S。Ol

所以，AD=———-AB=4=.X12=4V6(km).

sin600yfj

T

sinABAD=sin750=sin(450+30°)=-(—+-)=■丁,

所以的面積為

SAABD=^AB-AD-sinZBAD=1x12x4>76x=36+1273(km2).

(11)由NS4C=3O°,ZABC=60°,得NC4￡)=45°,AC=6G.

在△ACO中由余弦定理，得

CD2=AC2+AD2-2ACA￡>cosZC4D=36x3+16x6-2x6>/3x4x/6x—=60.

2

所以，CD=2岳(km).

即點C,D之間的距離為2后km.

(20)(本小題15分)

解：(I)當a=2時，/(x)=ev-2sinx,

則/(0)=L

f\x)=e'—2cosx,貝ijr(0)=—1.

曲線f(x)在(0,/(0))處的切線方程為y=-x+\.

(II)當a=l時，記8(了)=/。)一2=巳，一5巾不一2,

則g'(x)=e*-cosx.

當x￡(0,兀)時，ev>e°=l,cosx<1,

所以g3>g'(0)=。.

所以g(x)在(0,兀)上單調遞增.

因為g(0)=-l<0,gm)=e"-2>。，

所以函數丁=/(%)-2在區間(0,兀)上有且僅有一個零點.

(III)設〃(x)=/(x)+cosx-2=ev-tzsinx+cosx-2.

則h'(x)=ev-acosx-sinx.

設s(x)=e'-tzcosx-sinx.

則s'(x)=e"-cosx+asinx.

因為當xe［O,兀|時，e*Ne。=l,cosx京Q,sinx0,

所以當aNO時，xe［O,n］時，.v'(x)>0,

所以h\x)在區間［0,河上單調遞增(*).

(1)當a>l時，/i'(0)=l-a<0,/i'S)=e"+a>0,

且h\x)在區間［0,兀］上單調遞增，

所以存在唯一與€(0,兀)，使得"x0)=0.

當X€(O,Xo)時，/?'(X)<0,

所以〃(x)在區間(O,xo)上單調遞減.

可得〃(與)<〃(0)=0,所以與題意不符.

(2)當a=l時，

/i(x)=e*-sinx+cosx-2.

h'(x)=ev-cosx-sinx

由(*)可知：〃'(x)在區間［0,兀］上單調遞增，

所以當xe［0,2時，/z'(x)>/z'(O)=O.

所以h(x)在區間［0,兀］上單調遞增.

所以“(X)..〃(0)=0區間［0,7t］上恒成立.

符合題意.

(3)當4<1時，

h(x)=e*-asinx+cosx-2>e"-sinx+cosx-2.

由(2)可知,此時〃(x)>0在區間［0,何上恒成立.

綜上所述，實數。的取值范圍是

(21)(本小題15分)

解：(I)(i)數表1不具有性質p(2).

理由：|a2J-a3A|+1a22-1+|?2.3-^,31=1*2.

(ii)存在.1=3時，數表2具有性質p(f).

(II)不存在數表A“X2023具有性質P(6).

假設存在m使得數表A.X2023具有性質P(6)，則

a

14.i一6+MI+14.2一4+I,2I+?..+14."-M,n1=6(/=1,2,-.

即在這兩行中，有6列的數不同，設其中有“列是第i行的數為1,第i+1行的數為0,

則有6-左列是第i行的數為0,第i+1行的數為1.

所以，從第i行到第i+1行，一共增加了6-2左個1,1的個數的奇偶性不變.……7分

所以，任意兩行中，1的個數的奇偶性相同.

與數表4*2⑼第一行有2023個1,最后一行有0個1矛盾.

所以，不存在具有性質2(6)的數表4x2023-

(III)/⑺的最大值的為〃+1.

定義機-1行〃列的數表庫…,：

其第i行第，列為k=|atj-ai+l.1,z=1,2,--?,/?-1(./=1,2,?-?,?).

則Me{0,l},且均=0表示%p4+ij兩數相同，％；=1表示兩數不同.

因為數表的第1行確定，所以給定數表瓦,1刖后，數表4,*“唯一確定.

①先證+

我們按照如下方式，構造數表紇/對于第2s-1行和第2s行，s=l,2,…

令b2s-3-1=1也-1,2s=。,%.2s-l=°也Os=1，

且在這兩行其余的〃-2列中，任選相同的f-1列都為1,其他列都為0.

于是可得到具有性質P。)的數表A?+1)x?如下：

第1列第2列第3列第4列第止1列第〃歹U

111111

001111

000011

000000

即對于每個小{2,3,…，〃—1},當根=〃+1時，都存在數表A…具有性質p⑺.

所以/(/)</?+!.

②再證，=〃一1時，+