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文檔簡介
第四章指數函數與對數函數4.2.1指數函數的概念1.通過實際問題了解指數函數的實際背景2.理解指數函數的概念與意義(重點)3.理解指數函數增長變化迅速的特點(難點)學習目標1.數學抽象:指數函數的概念;2.邏輯推理:用待定系數法求函數解析式及解析值;3.數學運算:利用指數函數的概念求參數;4.數學建模:通過由抽象到具體,由具體到一般的思想總結指數函數概念.
數學學科素養
這個路徑對于其他基本初等函數的研究具有普適性,下面將按照這樣的路徑研究其他類型的基本初等函數.新知探究問題1:通過實例,理解指數函數的概念與掌握指數函數的解析式
A景區B景區年份人次增加量人次增加量20016002782002609930931200362011344352004631113833920056411042744200665094754820076611152853200867110588602009681106556720106911072974201170211811822012711990392201372110100510220147321111181132015743111224126思考1比較一下兩地景區旅游人次的變化情況,你發現了怎樣的規律?單純的數據,我們無法觀測出里面的變化!我們得借用工具進行協助觀察!表格、圖像我們先將A景區的數據進行分析列表描點連線你能發現有什么規律?1.表格中,數據的增長量相同,為10(左右)2.圖像中,連線近似域一條直線線性變化增加量=變后量-變前量思考3從表格與圖像中,景區人次與年份是不是函數關系?如果是,你能用函數表達式表示嗎?
你能否用相同的方法判斷B景區是否有函數關系?有的話求出它的解析式!我們知道,年增加量是對相鄰兩年的游客人次做減法得到的.追問
我們能否通過對B景區每年的游客人次做其他運算來發現規律呢?增加量=變后量-變前量但B景區的增加量不是一個定值!減法除法!……增加量=變后量-變前量增長率=增加量變前量=變前量變后量-變前量=變前量變后量-1增長量、增長率都是描述事物變化規律的兩個量結果表明,B景區的游客人次的年增長率都約為1.11-1=0.11,是一個常數.B景區的游客人次的年增長率都約為0.11.增長率為常數的變化方式,我們稱為指數增長,因此,B景區的游客人次近似于指數增長.B景區:2001年的游客人次為278萬;1年后,游客人次是2001年的1.11倍;2年后,游客人次是2001年的1.112;3年后,游客人次是2001年的1.113;············x年后,游客人次是2001年的1.11x;如果設x年后的游客人次是2001年的y倍,那么y=1.11x(x∈[0,+∞)).指數增長!問題2探尋古生物科普
科學研究表明宇宙射線在大氣中能產生包括碳14在內的放射性物資,碳14的衰減非常有規律,其準確性可以稱為自然界的“準確時鐘”。動植物在生產過程中衰減的碳14,可以通過與大氣的相互作用得到補充,所以活著的動植物體內的碳14含量不變,死亡后的植物停止了與外界相互作用,體內原有的碳14按確定的規律衰減,半衰期為5730年,這也是考古學中用碳14來推斷年代的原因.死亡生物體內碳14含量的年衰減率為多少?能否用函數解析式刻畫死亡生物體內碳14含量隨時間的變化情況?思考:設死亡生物體內碳14含量的年衰減率為P,剛死亡時碳14含量為1個單位。那么,死亡1年后,生物體內碳14含量為死亡2年后,生物體內碳14含量為死亡3年后,生物體內碳14含量為死亡5730年后,生物體內碳14含量為由已知條件:從而
,設生物死亡年數為x,死亡生物體內碳14含量為y,則這是一個函數,指數x是自變量。像這樣,衰減率為常數的變化方式,稱為指數衰減。如果用字母a代替上述
兩式中的底數1.11和
,則得“
”形式.①②其中指數x是自變量,底數a是一個大于0且不等于1的常量ax的系數是1y=1.11x(x∈[0,+∞))①②一般地,函數y=f(x)=ax(a>0且a≠1)叫做指數函數,其中指數x是自變量,函數的定義域是實數集R.指數函數的定義(1)底數a>0且a≠1,也不含有自變量x.(2)指數位置是自變量x,且x的系數是1.(3)ax的系數是1.指數函數和冪函數有何不同?(1)均是以自變量為底的冪;(2)指數為常數;(3)自變量前的系數為1。1、(1)給出下列函數:①y=2·3x;②y=3x+1;③y=3x;④y=x3;⑤y=(-2)x.其中,指數函數的個數是A.0
B.1
C.2
D.4練習①中,3x的系數是2,故①不是指數函數;②中,y=3x+1的指數是x+1,不是自變量x,故②不是指數函數;③中,3x的系數是1,冪的指數是自變量x,且只有3x一項,故③是指數函數;④中,y=x3的底數為自變量,指數為常數,故④不是指數函數;⑤中,底數-2<0,不是指數函數.√判斷一個函數是否為指數函的方法(1)底數的值是否符合要求.(2)ax前的系數是否為1.(3)指數是否符合要求.反思感悟(2)若函數y=(2a-1)x(x是自變量)是指數函數,則a的取值范圍是A.(0,1)∪(1,+∞)B.[0,1)∪(1,+∞)依題意得2a-1>0,且2a-1≠1,√一個函數是指數函數則:它的底數部分一定滿足大于0且不等于1概念應用你能舉出生活學習中指數函數的例子?如細胞分裂、折紙思考、銀行復利計算利息、生產量每年平均增長率等等。假定現在獲取的知識是1,學習的知識按照1%的速度增長,那么,一年后會怎樣?若學習的知識按照1%的速度減少,那么,一年后會怎樣?一天后
兩天后
三天后
365天后
例2(1)在問題1中,如果平均每位游客出游一次可給當地帶來1000元門票之外的收入,A地景區的門票價格為150元,比較這15年間A,B兩地旅游收入變化情況.解:(1)設經過x年,游客給A,B兩地帶來的收入分別為f(x)和g(x),利用計算工具可得,當x=0時,f(0)-g(0)=412000.當x≈10.22時,f(10.22)≈g(10.22).結合圖可知:當x<10.22時,f(x)>g(x),當x>10.22時,f(x)<g(x).當x=14時,f(14)-g(14)≈347303.則f(x)=1150×(10x+600),g(x)=1000×278×1.11x.
這說明,在2001年,游客給A地帶來的收入比B地多412000萬元;隨后10年,雖然f(x)>g(x),但g(x)的增長速度大于f(x);根據上述數據,并考慮到實際情況,在2011年2月某個時刻就有f(x)=g(x),這時游客給A地帶來的收入和B地差不多;此后,f(x)<g(x),游客給B地帶來的收入超過了A地;由于g(x)增長得越來越快,在2015年,B地的收入已經比A地多347303萬元了.(2)在問題2中,生物體死亡10000年后,它體內碳14的含量衰減為原來的百分之幾?解:設生物體死亡x年后,它體內碳14的含量為h(x)如果把剛死亡的生物體內碳14的含量看成1個單位,那么
所以,生物體死亡10000年后,它體內碳14的含量衰減為原來的30%在實際問題中,經常會遇到指數增長模型:設原有量為N,每次的增長率為p,經過x次增長,該量增長到y,則y=N(1+p)x,x∈N.形如y=kax(
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