關于smarnnech可乘函數的均值性質

簡單數的使用對于任何正整數n和smaradach，f（n）可乘數函數，即f（ab）=max（f（a）、f（b）、（a，b）=1。對任意素數p及任意正整數α,我們取定f(pα)=αp。顯然,如果n的標準分解式為n=p1α1p2α2p3α3…pkαk,我們就得到f(n)=max{f(piαi)}=max{αipi}在文獻中,對任意的n∈N+,如果n的真因子的乘積不超過n,就稱n為簡單數。記A為簡單數集合,即A={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13,14,15,17,19,21,…}.JozsefSandor關于Smarandache可乘函數的性質作出了一定的研究,但對Smarandache可乘函數的均值性質,特別是在一些特殊集合中的均值性質我們還知之甚少。本文的主要目的是利用初等方法研究Smarandache可乘函數在簡單數集中的均值性質,并給出一個有趣的漸近公式。具體說也就是證明下面的:定理對任意實數x≥2,A表示所有由簡單數構成的集合。我們有漸近公式:∑n≤xn∈Af(n)=D1x2lnx+D2x2ln2x+2xlnx+9x232lnx+Ο(x2ln3x)?其中D1,D2為可計算的常數。1有“n”還是“p”為了完成定理的證明,我們需要引入下面兩個簡單引理,首先有引理1設n∈A,則我們有n=p,或n=p2,或n=p3,或n=pq四種情形。這里p,q是不同的素數。證明首先我們定義:pd(n)=∏d|nd以及qd(n)=∏d|n,d＜nd。利用pd(n)的定義,我們有pd(n)=∏d|nd,以及pd(n)=∏d|nnd,結合這兩個式子,可得(pd(n))2=∏d|nn=nd(n)其中d(n)是除數函數,即:d(n)=∑d|n1,從而可得pd(n)=nd(n)2以及qd(n)=pd(n)n=nd(n)2-1(1)由于n是簡單數,則有qd(n)≤n,結合式(1)我們有nd(n)2-1≤n從而d(n)≤4利用d(n)的定義我們容易得到n=p,或n=p2,或n=p3,或n=pq四種情形。于是完成了引理1的證明。引理2設x≥3,p,q是兩個不同的素數。我們得到∑p≤xp=12x22lnx+14x24ln2x+Ο(x2ln3x);∑pq≤xp=C1x2lnx+C2x2ln2x+Ο(x2ln3x),其中C1,C2為兩個可計算的常數。證明注意到π(x)=xlnx+xln2x+Ο(xln3x),根據Abel恒等式,我們得到∑p≤xp=π(x)x-∫1xπ(t)dt=x2lnx+x2ln2x+Ο(x2ln3x)-∫2xtlntdt-∫2xtln2tdt+Ο(∫2xtln3tdt)=x2lnx+x2ln2x+Ο(x2ln3x)-12x2lnx-34x24ln2x+Ο(∫2xtln3tdt)=12x2lnx+14x24ln2x+Ο(x2ln3x)另一方面,我們知道當x<1,就可以得到11-x=1+x+x2+x3+?+xm+?,因此∑p≤xp∑q≤x/p1=∑p≤xp((xp)(lnx-lnp)+(xp)(lnx-lnp)2+Ο((xp)(lnx-lnp)3))=xlnx∑p≤x(1+lnplnx+ln2pln2x+?+lnmplnmx+?)+xln2x∑p≤x(1+2lnplnx+?+mlnm-1plnm-1x+?)+Ο(∑p≤xxln3xp)=B1x32ln2x+B2x32ln3x+Ο(x32ln4x)(2)上式記為(2)式,其中B1,B2為兩個可計算的常數。利用同樣的方法,我們可以得到∑q≤x1∑p≤x/qp=∑q≤x((xq)22(lnx-lnq)+(xq)24(lnx-lnq)2+Ο((xq)2(lnx-lnq)3))=x22lnx∑q≤x1q2(1+lnqlnx+ln2qln2x+?+lnmqlnmx+?)+x24ln2x∑q≤x1q2(1+2lnqlnx+?+mlnm-1qlnm-1x+?)+Ο(∑q≤xx2q2ln3xq)=x22lnx∑q1q2+x2ln2x(12∑qlnqq2+14∑q1q2)+Ο(x2ln3x)(3)上式記為(3)式,則根據式(2)及式(3),我們有∑pq≤xp=∑p≤xp∑q≤x/p1+∑q≤x1∑p≤x/qp-(∑p≤xp)(∑q≤x1)=C1x2lnx+C2x2ln2x+Ο(x2ln3x)其中C1,C2為兩個可計算的常數。于是完成了引理2的證明。2xnnafn、pxp2mxp、混合式4.2xp現在我們給出定理的證明。事實上,根據引理1及引理2我們立即可以得到,∑n≤xn∈Af(n)=