第2章2.3.2兩條直線的交點坐標課標要求1.掌握兩條直線的位置關系中的相交幾何意義,并能根據已知條件求出兩條直線的交點坐標;2.能夠根據方程組解的個數判定兩條直線的位置關系;3.能根據兩條直線相交的性質求待定參數.基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養全提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測全達標基礎落實·必備知識全過關知識點兩直線的交點坐標設兩條直線方程分別為l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,兩條直線的位置關系與對應直線方程組成的方程組的解的關系方程組的解的情況一組解無解無數組解直線l1與l2的公共點個數一個零個無數個直線l1與l2的位置關系

相交

平行重合名師點睛1.點與直線關系的幾何意義及其表示幾何元素及關系代數表示點MM(a,b)直線ll:Ax+By+C=0(A,B不同時為0)點M在直線l上Aa+Bb+C=0直線l1與l2的交點是M方程組

的解是2.兩直線的交點坐標與兩直線的方程構成的方程組之間的關系如果兩條直線相交,則交點一定同時在這兩條直線上,且交點坐標是這兩個直線方程的唯一公共解;如果這兩個二元一次方程組成的方程組只有一個解,那么以這個解為坐標的點必是l1和l2的交點.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)兩直線方程構成的方程組可以有兩個解.(

)(2)若兩直線方程構成的方程組的解集不是空集,則兩直線不會平行.(

)(3)兩直線方程構成的方程組的解集最多只有一個元素.(

)×√×2.若直線l1:x-2y=0與l2:2x-ay+3=0構成的方程組無解,則實數a的值為(

)A.2 B.3C.-2 D.4D解析

依題意,直線l1,l2構成的方程組無解,則兩直線平行,即(-a)-(-2)×2=0,且1×3-2×0≠0,解得a=4.3.若直線l1:x+ay-4=0與直線l2:bx-y+5=0的交點坐標是P(2,1),則a=

,b=

.

2-2解析

將P(2,1)代入直線l1:x+ay-4=0,得2+a-4=0,解得a=2;將P(2,1)代入直線l2:bx-y+5=0的方程可得2b-1+5=0,解得b=-2.重難探究·能力素養全提升探究點一兩直線的交點坐標的求法【例1】

判斷下列各組中兩條直線之間的位置關系.如果相交,求出交點的坐標:(1)l1:x-y=0,

l2:3x+3y-10=0;(2)l1:3x-y+4=0, l2:6x-2y-1=0;(3)l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0.分析

聯立兩直線的方程構成的方程組,通過方程組是否有解及解的個數,確定直線位置關系及交點的坐標.①×2-②得9=0,矛盾.由此可知方程組無解,所以直線l1與l2平行.①×2得6x+8y-10=0.說明方程②是方程①的2倍,方程①的解都是方程②的解.因此直線l1與l2重合.規律方法

根據兩相交直線的直線方程求直線的交點的方法將兩條直線的方程聯立,得方程組

若方程組有唯一解,則兩直線相交,此解就是交點的坐標;若方程組無解,則兩直線無公共點,此時兩直線平行;若方程組有無數組解,則兩直線重合.變式訓練1判斷下列各組中直線的位置關系.如果相交,求出交點的坐標:(1)l1:2x-3y=7,

l2:4x+2y=1;②×6得6y=2x+4,整理得2x-6y+4=0,說明方程①是方程②的6倍,方程②的解都是方程①的解.因此直線l1與l2重合.探究點二過兩直線的交點的直線方程的求法【例2】

求經過直線3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交點,且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程.分析

解方程組求出兩直線的交點坐標,利用條件求出直線的方程,也可以設過兩直線的交點的直線方程,利用條件求解.當直線在兩坐標軸上的截距不為0時,設直線的方程為x+y=a,將點(-4,3)代入可得a=-1,整理得直線方程為x+y+1=0.綜上所述,所求直線方程為x+y+1=0或3x+4y=0.(方法2)由于直線2x+5y-7=0在兩坐標軸上的截距不相等,設直線方程為3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0,即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0.規律方法

過兩直線的交點的直線方程的求法

方法過程結論方程組法解方程組求出交點坐標根據交點及其他條件求解直線系法先設出過兩條直線交點的直線方程利用條件求直線系中的參數得方程說明:過兩條直線l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2的方程)(其中λ為參數).變式訓練2求經過兩直線l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交點P,且與直線l3:3x-4y+5=0垂直的直線l的方程.(方法2)∵直線l過直線l1和l2的交點,∴可設直線l的方程為x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.∵l與l3垂直,∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,解得λ=11.∴直線l的方程為12x+9y-18=0,整理得4x+3y-6=0.探究點三直線過定點問題【例3】

求證:不論m取什么實數,直線(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都經過一個定點.求出這個定點的坐標.證明(方法1)對于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0,令m=0,得x-3y-11=0;令m=1,得x+4y+10=0.將點(2,-3)代入已知直線方程左邊,得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=0.這表明不論m為什么實數,所給直線均經過定點(2,-3).(方法2)以m為未知數,整理為(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.所以不論m取什么實數,該直線都經過定點(2,-3).規律方法

求解含有參數的直線過定點問題的方法(1)給直線中的參數任意賦兩個不同的值,得到兩條不同的直線,然后驗證這兩條直線的交點就是題目中含參數直線所過的定點.(2)分項整理,將含參數的項并為一項,不含參數的項并為一項,整理成等號右邊為零的形式,然后令含參數的項和不含參數的項分別為零,解方程組所得的解即為所求定點.變式訓練3求證:不論m為何值時,直線l:y=(m-1)x+2m+1一定過第二象限.證明(方法1)直線l的方程可化為y-3=(m-1)(x+2),∴直線l過定點(-2,3).由于點(-2,3)在第二象限,故直線l總過第二象限.(方法2)直線l的方程可化為(x+2)m-(x+y-1)=0.∴無論m取何值,直線l總經過點(-2,3).∵點(-2,3)在第二象限,故直線l總過第二象限.本節要點歸納1.知識清單:兩直線交點的坐標與兩直線方程構成的方程組解的關系.2.方法歸納:解方程組法判斷兩直線交點的個數及求兩直線的交點,設直線系方程求解過兩直線的交點的直線方程;特殊值法與轉化法求直線過定點問題.3.注意事項:兩直線的交點的個數可以轉化為直線的方程構成的方程組解的個數,使用直線系方程時要注意驗證與參數結合的直線是否滿足題意.學以致用·隨堂檢測全達標1234561.直線x+y=1與直線2x+y-1=0交點坐標是(

)A.(1,0) B.(0,1)C.(-1,0) D.(0,-1)B1234562.兩直線x-y+5=0與ax-2y+8=0的交點不存在,則實數a的值為(

)A.-2 B.2

C.-4 D.4B解析

由兩直線x-y+5=0與ax-2y+8=0的交點不存在,可知兩條直線平行.則1×(-2)-(-1)×a=0,且1×8-5a≠0,解得a=2.1234563.兩直線x-y+5=0與2x-by+10=0有無數個交點,則b的值為(

)A.-2 B.2C.-4 D.4B解析

由兩直線x-y+5=0與2x-by+10=0有無數個交點,可知兩直線重合,所以可得b=2.1234564.直線l經過原點,且經過另兩條直線2x+3y-1=0,x-4y-6=0的交點,則直線l的方程為(

)A.2x+y=0 B.x+2y=0C.2x-y=0 D.x-2y=0B1234565.無論k取何值,直線y=2k(x-2)+3必過定點,該定點的