本文格式為Word版，下載可任意編輯——應用統計復習總結第一章抽樣和抽樣分布

1.4子樣數字特征

子樣值的數字特征（子樣數字特征的觀測值）1n①子樣均值x??xi

ni?121n1n22s?(x?x)?x?x②子樣方差?i?ini?1ni?12n子樣均方差sn?1n(xi?x)2??ni?121n2x?x?ini?1*2③修正子樣方差nsn21n122?(xi?x)?(?xi?nx)?n?1i?1n?1i?1*修正子樣均方差sn?1n2(x?x)??in?1i?1

n212(?xi?nx)n?1i?1

1nk?xi④子樣k階原點矩Ak?ni?11nk子樣k階中心矩Bk??(xi?x)ni?1當子樣值以頻數分布給出時

1l*①子樣均值x??mixi

ni?1ll211*22*2mi(xi?x)??mixi?x?②子樣方差sn?ni?1ni?1子樣均方差sn?*2n1l*2m(x?ii?x)?ni?121l*2mx?x?iini?1③修正子樣方差sl21l1*2*2?m(x?x)?(mx?nx)??iiiin?1i?1n?1i?1*修正子樣均方差sn?1l*mi(xi?x)2??n?1i?1

l21(?mixi*2?nx)n?1i?11l*k④子樣k階原點矩Ak??mixini?11l*kB?m(x?x)子樣k階中心矩k?iini?1順序統計量定義：子樣(X1,X2,?,Xn)有子樣值(x1,x2,?,xn)，將數據

x1,x2,?,xn由小到

大重新排序后記為x(1),x(2),?,x(n)，將其視為隨機變量(X(1),X(2),?,X(n))的觀測值，則稱(X(1),X(2),?,X(n))為(X1,X2,?,Xn)的順序統計量注：X(1),X(2),?,X(n)不獨立

子樣中位數及其觀測值:?Xn?1?(2)Me???X(n?1)?21?i?n1?i?nn為奇數n為偶數

子樣極差:R?X(n)?X(1)?maxXi?minXi

§2一些常用的抽樣分布

2.1?2?分布

?2分布的定義：X1,X2,?,Xn是來自母體X~N(0,1)的一個子樣，則稱

222222聽從自由度為n的?分布，記為：?~?(n)?2?X1?X2???Xn

概率密度函數

fn(x)

nx?1??1x2e2,x?0時?n?fn(x)??22?(n)

2??x?0時?0，

?2分布的性質：??

22D(?)?2nE(?)?n期望、方差：?~?(n)，則,

222222可加性，即：若?1~?(n1)，?2~?(n2)，且?1與?222相互獨立，則有

?12??22~?2(n1?n2)

?極限性質：設?2~?22?(n)，則對?x?R有?的標準化變量?n的分布函數

22nFn(x)滿足：limFn(x)??(x).

n??從而當n充分大時，?當n?45時,??2?2?n近似2n~N(0,1)，??~N(n,2n).

2近似(n)?n?u?2n

?2分布的上側分位數定義：設?2（0，1）~?2(n)，則對于???，存在唯一實數??(n),使得

2P(?2???(n))??稱實數??22????2(n)fn(x)dx??

(n)為?2的上?分位數．

備注：

?隨機變量的上側分位數定義：設X的分布密度為

f(x),則對???（0，1），存在唯一實數x?,使得

P(X?x?)???

??x?f(x)dx??，稱實數

x?為X的上側?分位數．

N(0,1)的上側分位數

定義：設U~N(0,1),則對???（0，1），存在唯一實數u?，使

P(U?u?)???(x)dx??

u???稱實數

u?為U的上?分位數．

P(U?u?)?1?P(U?u?)?1??(u?)??，故：

求法：

?(u?)?1??，反查標準正態分布函數表，可得u?值.

2.2t?分布

定義：設X~N(0,1)，Y~?2(n)，且X與Y相互獨立，令T?從自由度為

XY/n，則稱T服

n的t分布，記為：T~t(n)

?(n?1)n?12?t2(1?)2,???t???概率密度函數fn(t)：fn(t)?nnn??()2性質：?

t分布的極限分布是N(0,1).n很大時，若T~t(n)，則Tt1??(n)??t?(n)

近似~N(0,1).

?

?當n

?45時,t?(n)?u?

t分布的上側分位數定義：設T~t(n)，則對???（0，1）存在唯一實數t?(n),使

P(T?t?(n))????t?(n)fn(x)dx??

稱實數t?(n)為T的上

?分位數．

2.3F?分布

定義：設X~?2(n1)，Y~?2(n2)，且X與Y相互獨立，F?X/n1，則稱F服

Y/n2的

從自由度為

(n1,n2)F分布，

n1為第一自由度、n2為其次自由度.記為：

F~F(n1,n2)

概率密度函數

f(z)：

?n1?n2nn?n??(2)n121n21?1n1?122()z(1?z),z?0時?n2n2f(z)??n1n2?()?()?22?z?0時?0，

性質：①F②T~F(n1,n2),則1F~F(n2,n1);

~t(n),則T2~F(1,n);

1

F1??(n2,n1)②F?(n1,n2)?備注：當?較接近1時，F?(n1,n2)不能從附表4直接查到，故應查表求F1??(n2,n1)，

再用此公式計算F?(n1,n2).

2.4抽樣分布定理

單個正態母體情形

定理1設母體X有：E(X)??,D(X)??,X1,X2,?,Xn是X的一個子樣，X是子樣均值，則

①E(X)??,D(X)?2?2n；

②特別，當X~N(?,?)時，X~N(?,2?2n)，?2X??~N(0,1).

?/n定理2X1,X2,?,Xn是來自母體X~N(?,?)的一個子樣，則

?

(n?1)S*2n?2~?2(n?1)；