極坐標視野動力學方程的研究現狀

攻擊平面的視線動力學方程極端坐標格式的視覺動力學方程直接將兩個物體的運動與動態策略聯系起來，便于研究動態策略對視線變化規律的影響，因此它經常被用來研究自我控制、運動策略、戰爭與撤退的動機策略。然而文獻上的視線動力學方程都是二維的,雖然Cochran曾想建立三維視線動力學方程,但由于結論產生之前作了簡化處理,視線方程實際上是二維的。本文首先建立了三維極坐標形式的視線動力學方程,而后證明了在特定條件下三維極坐標形式的視線動力學方程可簡化為平面二維極坐標形式的視線動力學方程,將此平面稱之為攻擊平面。在攻擊平面內研究末制導、空戰、交會中某些特定問題,不失其一般性。13d極坐標跟蹤理論的構建1.1極坐標參數圖1給出了坐標系和有關符號。圖中,e為逃方,p為追方;exvyvzv為原點過e的平移垂直坐標系,是視線運動的參考系,xvezv為水平面,eyv豎直向上;exyz為視線坐標系,ex與視線重合,ey垂直視線向上,ez在水平面內;R,δ,ε分別為視線長度、方位角、高低角,是視線的極坐標參數;i,j,k分別為xv,yv,zv軸上的單位向量;i′,j′,k′分別為視線坐標系上的單位向量;˙δ?˙εδ˙?ε˙分別為視線方位角、高低角角速度;ωx,ωy,ωz分別為視線角速度在視線坐標系的三個分量;axe,axp,aye,ayp,aze,azp分別為e和p的加速度在x,y,z軸上的分量,它們的最大值對應為Axe,Axp,Aye,Ayp,Aze,Azp,代表了它們的機動能力。1.2ncos0-sincossinsinsincossinsin由圖1不難導出以下關系:[ijk]Τ=Τ[i′j′k′]Τ(1)其中:Τ=[cosδcosε-cosδsinεsinδsinεcosε0-sinδcosεsinδsinεcosδ](2)由式(1)、式(2)進一步可得以下關系:di′dε=j′?di′dδ=-cosεk′dj′dε=-i′?dj′dδ=sinεk′dk′dε=0?dk′dδ=cosεi′-sinεj′di′dt=˙εj′-˙δcosεk′dj′dt=-˙εi′+˙δsinεk′dk′dt=˙δ(cosεi′-sinεj′)1.3cosr-r2-2-r2-22-4s,2azp,2.52r22234352222234522222222224522452452452352452452452424524524524524524524522245222222222223524523423222222222222223333322222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222定義:描述兩個運動體的機動策略(力和加速度)影響兩物體連線(視線)變化規律的微分方程稱為視線動力學方程。視線向量表示為:R=Ri′R對時間求導數并考慮以上等式得:˙R=˙Ri′+R˙εj′-R˙δcosεk′R對時間二次求導,并考慮到以上各等式得:??R=(??R-R˙ε2-R˙δ2cos2ε)i′+(??εR+2˙R˙ε+R˙δ2cosεsinε)j′-(??δRcosε+2˙R˙δcosε-2R˙ε˙δsinε)k′(3)又知??R=Δaxi′+Δayj′+Δazk′,比較此式與式(3)得三維標量形式的相對運動方程為:??R-R[˙ε2+(˙δcosε)2]=Δax(4)??εR+2˙R˙ε+R˙δ2cosεsinε=Δay(5)??δRcosε+2˙R˙δcosε-2R˙ε˙δsinε=Δaz(6)其中:Δax=axp-axeΔay=ayp-ayeΔaz=aze-azp23d極坐標視覺動力學方程的簡化2.1大小不影響問題的性質當只關心視線長度變化時(如末制導問題),視線方位角和高低角的大小不影響問題的性質,不妨設δ=ε=0。方程式(4)～式(6)可簡化為:??R-R(˙ε2+˙δ2)=Δax(7)??εR+2˙R˙ε=Δay(8)??δR+2˙R˙δ=Δaz(9)2.2az幾何關系令ωy=˙δ?ωz=˙ε,ω2=ωy2+ωz2。ω為處于yz平面與R垂直的視線角速度向量ω的幅值。定義:與向量ω正交且過ex軸的平面稱為攻擊平面。exy′z′為攻擊平面直角坐標系,x和y′在攻擊平面內,z′與ω重合。在攻擊平面坐標系建立等價于式(7)～式(9)的視線運動方程為:??R-Rω2=Δax(10)˙ωR+2˙Rω=Δay′(11)˙ωy′R+2˙Rωy′=Δaz′(12)式中,Δay′,Δaz′分別為:Δay′=Δaycos(arctanωyωz)-Δazsin(arctanωyωz)(13)Δaz′=Δaysin(arctanωyωz)-Δazcos(arctanωyωz)(14)攻擊平面、攻擊平面坐標系、Δay′和Δaz′的幾何關系如圖2所示。由攻擊平面的定義知:ωy′≡0,故式(12)變為˙ωy′=Δaz′/R。這意味著Δaz′只能導致ω的轉動,而不會引起它的幅值的變化。因此Δaz′不會影響視線長度的變化(見式(10))。也就是說,當只研究視線長度變化時,式(12)是無效的。最終得到三維極坐標視線動力學方程在攻擊平面內的簡化形式:??R-Rω2=Δax(15)˙ωR+2˙Rω=Δay′(16)它與二維極坐標相對運動方程具有相同的形式。3平面加速度的影響(1)二維極坐