教師輔導教案學員姓名年級初三輔導課目數學學科教師班主任課時數教學課題一元二次方程練習和應用題教學目標根的判別式和根與系數的關系熟練掌握一元二次方程應用題教學重難點根與系數的關系的應用一元二次方程應用題教學內容課堂收獲一、根與系數的關系（一）直接應用根與系數的關系若已知條件或待證結論中含有a＋b和a·b形式的式子，可考慮直接應用根與系數的關系．例1已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．（二）先恒等變形，再應用根與系數的關系若已知條件或待證結論，經過恒等變形或換元等方法，構造出形如a＋b、a·b形式的式子，則可考慮應用根與系數的關系．例2若實數x、y、z滿足x＝6－y，z2＝xy－9．求證：x＝y．例3已知，。求的值。（三）已知一元二次方程兩根的關系(或系數關系)求系數關系(或求兩根的關系)，可考慮根與系數的關系例4已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比為1∶2，方程的判別式的值為1．求p與q之值，解此方程．例5設方程x2＋px＋q＝0的兩根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的兩根之差，求證：p＝q或p＋q＝－4．（四）關于兩個一元二次方程有公共根的題目，可考慮根與系數的關系例6m為問值時，方程x2＋mx－3＝0與方程x2－4x－(m－1)＝0有一個公共根？并求出這個公共根．練習：1.若是方程的兩個根，試求下列各式的值：(1)； (2)； (3)； (4)．2.已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的兩根，則x1＋x2＝，x1·x2＝，（x1－x2）2＝已知方程2x2－3x+k=0的兩根之差為2EQ\F(1,2)，則k=;解方程組5.一個三角形的兩邊長是方程的兩根，第三邊長為2，求k的取值范圍。6.已知關于的方程，根據下列條件，分別求出的值．(1)方程兩實根的積為5； (2)方程的兩實根滿足．7.已知是一元二次方程的兩個實數根．(1)是否存在實數，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請您說明理由．(2)求使的值為整數的實數的整數值．課后練習：A組1．一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是( ) A． B． C． D．2．若是方程的兩個根，則的值為( ) A． B． C． D．3．已知菱形ABCD的邊長為5，兩條對角線交于O點，且OA、OB的長分別是關于的方程的根，則等于( ) A． B． C． D．4．若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關系是( ) A． B． C． D．大小關系不能確定5．若實數，且滿足，則代數式的值為( ) A． B． C． D．6．如果方程的兩根相等，則之間的關系是______7．已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰是方程的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是_______．8．若方程的兩根之差為1，則的值是_____．9．設是方程的兩實根，是關于的方程的兩實根，則=_____，=_____．10．已知實數滿足，則=_____，=_____，=_____．11．對于二次三項式，小明得出如下結論：無論取什么實數，其值都不可能等于10．你是否同意他的看法？請您說明理由．12．若，關于的方程有兩個相等的的正實數根，求的值．13．已知關于的一元二次方程．(1)求證：不論為任何實數，方程總有兩個不相等的實數根；(2)若方程的兩根為，且滿足，求的值．14．已知關于的方程的兩根是一個矩形兩邊的長．(1)取何值時，方程存在兩個正實數根？(2)當矩形的對角線長是時，求的值．B組1．已知關于的方程有兩個不相等的實數根．(1)求的取值范圍；(2)是否存在實數，使方程的兩實根互為相反數？如果存在，求出的值；如果不存在，請您說明理由．2．已知關于的方程的兩個實數根的平方和等于11．求證：關于的方程有實數根．3．若是關于的方程的兩個實數根，且都大于1． (1)求實數的取值范圍； (2)若，求的值．課后題答案：A組1．B 2．A 3．A 4．A 5．A6．7．3 8．9或 9．10． 11．正確 12．413．14．B組1． (2)不存在2． (1)當時，方程為，有實根；(2)當時，也有實根．3．(1) ； (2)．二、一元二次方程應用題（一）增長率問題例1恒利商廈九月份的銷售額為200萬元，十月份的銷售額下降了20%，商廈從十一月份起加強管理，改善經營，使銷售額穩步上升，十二月份的銷售額達到了193.6萬元，求這兩個月的平均增長率.（二）商品定價例2益群精品店以每件21元的價格購進一批商品，該商品可以自行定價，若每件商品售價a元，則可賣出（350－10a）件，但物價局限定每件商品的利潤不得超過20%，商店計劃要盈利400元，需要進貨多少件？每件商品應定價多少？（三）儲蓄問題例3王紅梅同學將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時存款的年利率已下調到第一次存款時年利率的90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時的年利率.（假設不計利息稅）（四）趣味問題例4一個醉漢拿著一根竹竿進城，橫著怎么也拿不進去，量竹竿長比城門寬4米，旁邊一個醉漢嘲笑他，你沒看城門高嗎，豎著拿就可以進去啦，結果豎著比城門高2米，二人沒辦法，只好請教聰明人，聰明人教他們二人沿著門的對角斜著拿，二人一試，不多不少剛好進城，你知道竹竿有多長嗎？（五）傳播問題例5有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（六）循環問題（又可分為單循環問題，雙循環問題和復雜循環問題）例6a．參加一次足球聯賽的每兩隊之間都進行一場比賽，共比賽45場比賽，共有多少個隊參加比賽？b.參加一次足球聯賽的每兩隊之間都進行兩次比賽，共比賽90場比賽，共有多少個隊參加比賽？（七）面積問題例7如圖12—1，在寬20米，長32米的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條路(兩條縱向，一條橫向，并且橫向與縱向互相垂直)，把這塊耕地分成大小相等的六塊試驗田，要使試驗田的面積是570平方米，問道路應該多寬?（八）圖表信息問題例8某開發區為改善居民的住房條件，每年都新建一批住房，人均住房面積逐年增加（人均住房面積＝，單位：平方米/人）．該開發區1997年至1999年，每年年底人口總數和人均住房面積的統計結果分別如圖12—4，請根據兩圖中所提供的信息解答下面的問題：（1）該區1998年和1999年兩年中，哪一年比上一年增加的住房面積多？多增加多少萬平方米?答：_______年比上一年增加的住房面積多，多增加__________萬平方米．（2）由于經濟的發展，預計到2001年底，該區人口總數將比1999年年底增加2萬，為使到2001年年底該區人均住房面積達到11平方米/人，試求2000年和2001年兩年該區住房總面積的年平均增長率應達到百分之幾？（九）行程問題：例9A、B兩地相距82km，甲騎車由A向B駛去，9分鐘后，乙騎自行車由B出發以每小時比甲快2km的速度向A駛去，兩人在相距B點40km處相遇。問甲、乙的速度各是多少?（十）工程問題：例10某公司需在一個月（31天）內完成新建辦公樓的裝修工程．如果由甲、乙兩個工程隊合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊單獨做，甲隊比乙隊少用10天完成．（1）求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程所需的天數．（2）如果請甲工程隊施工，公司每日需付費用2000元；如果請乙隊施工，公司每日需付費用1400元．在規定時間內：A．請甲隊單獨完成此項工程出．B請乙隊單獨完成此項工程；C．請甲、乙兩隊合作完成此項工程．以上三種方案哪一種花錢最少？（十一）數學問題：例11一個兩位數，十位上數字與個位上數字之和為5；把十位上的數字與個位上數字互換后再乘以原數得736，求原來兩位數．（十二）動態幾何：如圖，在△ABC中，∠B=90o。點P從點A開始沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點B開始沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動。如果P、Q分別從A，B同時出發，經過幾秒，△PBQ的面積等于8cm2？（十三）套餐選擇例13春秋旅行社為吸引市民組團去天水灣風景區旅游，推出了如圖1對話中收費標準.圖1圖1如果人數超過25人，每增加1人，人均旅游費用降低20元，但人均旅游費用不得低于700元.如果人數不超過25人，人均旅游費用為1000元.某單位組織員工去天水灣風景區旅游，共支付給春秋旅行社旅游費用27000元.請問該單位這次共有多少員工去天水灣風景區旅游？課后練習：1.將一塊長18米，寬15米的矩形荒地修建成一個花園（陰影部分）所占的面積為原來荒地面積的三分之二.（精確到0.1m）（1）設計方案1（如圖2）花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路.（2）設計方案2（如圖3）花園中每個角的扇形都相同.以上兩種方案是否都能符合條件?若能，請計算出圖2中的小路的寬和圖3中扇形的半徑；若不能符合條件，請說明理由.2.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點P從點A出發沿邊AC向點C以1cm/s的速度移動，點Q從C點出發沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動.（1）如果P、Q同時出發，幾秒鐘后，可使△PCQ的面積為8平方厘米？（2）點P、Q在移動過程中，是否存在某一時刻，使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半.若存在，求出運動的時間；若不存在，說明理由.3.一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端距墻角6m.（1）若梯子的頂端下滑1m，求梯子的底端水平滑動多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑動1m，梯子的頂端滑動多少米？（3）如果梯子頂端向下滑動的距離等于底端向外滑動的距離，那么滑動的距離是多少米？4.如圖5所示，我海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標B，在B的正東方向200海里處有一重要目標C，小島D恰好位于AC的中點，島上有一補給碼頭；小島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向，一艘軍艦從A出發，經B到C勻速巡航．一艘補給船同時從D出發，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送往軍艦.（1）小島D和小島F相距多少海里？（2）已知軍艦的速度是補給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇于E處，那么相遇時補給船航行了多少海里？（精確到0.1海里）圖5圖55.如圖6所示，正方形ABCD的邊長為12，劃分成12×12個小正方形格，將邊長為n（n為整數，且2≤n≤11）的黑白兩色正方形紙片按圖中的方式，黑白相間地擺放，第一張n×n的紙片正好蓋住正方形ABCD左上角的n×n個小正方形格，第二張紙片蓋住第一張紙片的部分恰好為(n－1)×(n－1)個小正方形.如此擺放下去，直到紙片蓋住正方形ABCD的右下角為止.請你認真觀察思考后回答下列問題：（1）由于正方形紙片邊長n的取值不同，完成擺放時所使用正方形紙片的張數也不同，請填寫下表：紙片的邊長n23456使用的紙片張數（2）設正方形ABCD被紙片蓋住的面積（重合部分只計一次）為S1，未被蓋住的面積為S2.①當n＝2時，求S1∶S2的值；②是否存在使得S1＝S2的n值？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由.6.將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形.（1）要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少?（2）兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎?若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由.7.在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.點E在下底邊BC上，點F在腰AB上.（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設BE長為x，試用含x的代數式表示△BEF的面積；（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由；（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1∶2的兩部分？若存在，求此時BE的長；若不存在，請說明理由.8.在如圖8中，每個正方形有邊長為1的小正方形組成：圖8圖8（1）觀察圖形，請填寫下列表格：正方形邊長1357…n（奇數）黑色小正方形個數…正方形邊長2468…n（偶數）黑色小正方形個數…（2）在邊長為n（n≥1）的正方形中，設黑色小正方形的個數為P1，白色小正方形的個數為P2，問是否存在偶數n，使P2＝5P1？若存在，請寫出n的值；若不存在，請說明理由.9.讀詩詞解題：