20212022學(xué)年廣東省深圳市光明區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線m經(jīng)過，兩點(diǎn)，則直線m的斜率為（

）A．2 B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)斜率公式求得正確答案.【詳解】直線的斜率為：.故選：A2．已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】結(jié)合遞推關(guān)系式依次求得的值.【詳解】因?yàn)?，，所以，得．由，?故選：C3．拋物線型太陽灶是利用太陽能輻射的一種裝置．當(dāng)旋轉(zhuǎn)拋物面的主光軸指向太陽的時(shí)候，平行的太陽光線入射到旋轉(zhuǎn)拋物面表面，經(jīng)過反光材料的反射，這些反射光線都從它的焦點(diǎn)處通過，形成太陽光線的高密集區(qū)，拋物面的焦點(diǎn)在它的主光軸上．如圖所示的太陽灶中，灶深CD即焦點(diǎn)到灶底（拋物線的頂點(diǎn)）的距離為1m，則灶口直徑AB為（

）A．2m B．3m C．4m D．5m【答案】C【分析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，根據(jù)是拋物線的焦點(diǎn)，求得拋物線的方程，進(jìn)而求得的長.【詳解】由題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，O與C重合，設(shè)拋物線的方程為，由題意可得是拋物線的焦點(diǎn)，即，可得，所以拋物線的方程為，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：C.4．若等軸雙曲線C過點(diǎn)，則雙曲線C的頂點(diǎn)到其漸近線的距離為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】先求出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，再求頂點(diǎn)到其漸近線的距離.【詳解】設(shè)等軸雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故上頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離為.故選：A．5．如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別是BC，的中點(diǎn)，，則（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：D．6．已知在空間直角坐標(biāo)系（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）中，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，則z軸與平面OAB所成的線面角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，．設(shè)平面OAB的一個(gè)法向量為，則得所以，令，得，所以．又z軸的一個(gè)方向向量為，設(shè)z軸與平面OAB所成的線面角為，則，所以所求的線面角為，故選：B．7．若圓C：上有到的距離為1的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以．因?yàn)閳AC上有到的距離為1的點(diǎn)，所以圓C與圓：有公共點(diǎn)，所以．因?yàn)?，所以，解得，故選：C．8．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中討論過高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等．例如“百層球堆垛”：第一層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，第五層有15個(gè)球，…，各層球數(shù)之差：，，，，…即2，3，4，5，…是等差數(shù)列．現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前6項(xiàng)分別為1，3，6，12，23，41，則該數(shù)列的第8項(xiàng)為（

）．A．51 B．68 C．106 D．157【答案】C【分析】對(duì)高階等差數(shù)列按其定義逐一進(jìn)行構(gòu)造數(shù)列，直到出現(xiàn)一般等差數(shù)列為止，再根據(jù)其遞推關(guān)系進(jìn)行求解.【詳解】現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前6項(xiàng)分別為1，3，6，12，23，41，各項(xiàng)與前一項(xiàng)之差：，，，，，…即2，3，6，11，18，…，，，，，…即1，3，5，7，…是等差數(shù)列，所以，．故選：C．二、多選題9．已知雙曲線C：，則（

）A．雙曲線C與圓有3個(gè)公共點(diǎn)B．雙曲線C的離心率與橢圓的離心率的乘積為1C．雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線D．雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同【答案】BCD【分析】由圓錐曲線的幾何性質(zhì)直接可得.【詳解】解：作圖可知A不正確；由已知得雙曲線C中，，，，所以雙曲線C的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，漸近線方程為，離心率為，易知選項(xiàng)BCD正確．故選：BCD10．已知直線：，：，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若，則B．若，則C．若，在x軸上的截距相等則D．的傾斜角不可能是傾斜角的2倍【答案】AB【分析】根據(jù)直線平行、垂直的條件判斷AB選項(xiàng)的正確性；根據(jù)直線的截距、傾斜角判斷CD選項(xiàng)的正確性.【詳解】若，則，得，選項(xiàng)A正確；若，則，得，選項(xiàng)B正確；若，在x軸上的截距相等，則，解得，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，的傾斜角恰好是的傾斜角的2倍，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AB【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵是要弄清楚直線的點(diǎn)斜式和直線的一般式判斷兩直線平行和垂直的充要條件，其次還要注意斜率的存在性，一定要注意分類討論.易錯(cuò)點(diǎn)：兩直線平行一定要注意縱截距不等和斜率的存在性.11．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列條件中一定能得出是等比數(shù)列的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】應(yīng)用特殊數(shù)列，令數(shù)列為的常數(shù)列即可判斷A、D；利用關(guān)系求得、即可判斷B；由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有，結(jié)合等比中項(xiàng)性質(zhì)判斷C.【詳解】當(dāng)為常數(shù)列且時(shí)，、都成立，但不是等比數(shù)列，A、D不符合要求；B：由，則；當(dāng)時(shí)，，即，故是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；C：由，即且，故是等比數(shù)列；故選：BC12．如圖，已知正方體中，E，F(xiàn)，M，N分別是CD，，，BC的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）A．E，F(xiàn)，M，N四點(diǎn)共面B．BD與EF所成的角為C．在線段BD上存在點(diǎn)P，使平面EFMD．在線段上任取點(diǎn)Q，三棱錐的體積不變【答案】ABD【分析】以D為原點(diǎn)，以DA，DC，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．根據(jù)四點(diǎn)共面的向量表示直接判斷選項(xiàng)A；利用向量法求BD與EF所成的角，判斷選項(xiàng)B；假設(shè)在線段BD上存在點(diǎn)P，列方程組，由方程組無解，判斷選項(xiàng)C；用向量法判斷出，利用線面平行的判定定理證明出平面EFM，即可判斷選項(xiàng)D．【詳解】以D為原點(diǎn)，以DA，DC，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，，，，，，，，設(shè)，則，所以，解得故，即E，F(xiàn)，M，N四點(diǎn)共面，選項(xiàng)A正確；因?yàn)椋?，所以，所以BD與EF所成的角為，選項(xiàng)B正確；假設(shè)在線段BD上存在點(diǎn)P，則，若平面EFM，則，．因?yàn)?，，所以，此方程組無解，所以在線段BD上不存在點(diǎn)P，使平面EFM，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，又平面EFM，平面EFM，所以平面EFM，故上的所有點(diǎn)到平面EFM的距離均相等，即在線段上任取點(diǎn)Q，三棱錐的體積不變，選項(xiàng)D正確．故選：ABD三、填空題13．已知向量，，若，則______．【答案】【分析】根據(jù)向量平行求得，由此求得.【詳解】由于，所以.故答案為：14．已知等差數(shù)列滿足，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的通項(xiàng)公式______．【答案】3（答案不唯一）【分析】由已知條件結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則，從而可寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，所以，．當(dāng)公差為0時(shí)，；公差為1時(shí)，；…故答案為：3（答案為唯一）15．如圖，已知AB，CD分別是圓柱上、下底面圓的直徑，且，若該圓柱的底面圓直徑是其母線長的2倍，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為______．【答案】.【分析】利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】取CD的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，以CD所在直線為x軸，以底面內(nèi)過點(diǎn)O且與CD垂直的直線為y軸，以過點(diǎn)O且與底面垂直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，，，，所以，所以異面直線AC與BD所成角的余弦值為．故答案為：16．已知過橢圓上的動(dòng)點(diǎn)作圓（為圓心）：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若的最小值為，則橢圓的離心率為______．【答案】【分析】由橢圓方程和圓的方程可確定橢圓焦點(diǎn)、圓心和半徑；當(dāng)最小時(shí)，可知，此時(shí)；根據(jù)橢圓性質(zhì)知，解方程可求得，進(jìn)而得到離心率.【詳解】由橢圓方程知其右焦點(diǎn)為；由圓的方程知：圓心為，半徑為；當(dāng)最小時(shí)，則最小，即，此時(shí)最小；此時(shí)，；為橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，，解得：，橢圓的離心率.故答案為：.四、解答題17．已知圓C：的半徑為1．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)判斷直線l：與圓C是否相交？若不相交，請(qǐng)說明理由；若相交，請(qǐng)求出弦長．【答案】(1)；(2)直線l與圓C相交，.【分析】（1）利用配方法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合圓的弦長公式進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)將化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：．因?yàn)閳AC的半徑為1，所以，得．(2)由（1）知圓C的圓心為，半徑為1．設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則，所以直線l與圓C相交，設(shè)其交點(diǎn)為A，B，則，即．18．已知等比數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記的前n項(xiàng)和為，證明：，，成等差數(shù)列．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)，求得的值，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由等比數(shù)列的求和公式求得，得到，，化簡得到，即可求解．【詳解】(1)解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，解得，所以，所以?shù)列的通項(xiàng)公式．(2)解：由（1）可得，，，所以，所以，即，，成等差數(shù)列．19．已知直線恒過拋物線的焦點(diǎn)F．(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）把直線化為，得到拋物線的焦點(diǎn)為，求得，即可求得拋物線的方程；（2）聯(lián)立方程組，得到，，結(jié)合，列出方程求得的值，即可求得直線的方程．【詳解】(1)解：將直線化為，可得直線恒過點(diǎn)，即拋物線的焦點(diǎn)為，所以，解得，所以拋物線的方程為．(2)解：由題意顯然,聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，，則，，因?yàn)椋?，解得，所以或，所以直線的方程為或．20．已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減化簡可求得通項(xiàng)，（2）由（1）得，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果【詳解】(1)因?yàn)椋詴r(shí)，，兩式作差得，，所以時(shí)，，又時(shí)，，得，符合上式，所以的通項(xiàng)公式為．(2)由（1）知，所以．即數(shù)列的前n項(xiàng)和．21．如圖，在四棱錐中，平面底面ABCD，，，，，．(1)證明：是直角三角形；(2)求平面PCD與平面PAB的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接BD，在四邊形ABCD中求得，在中，取得，得到，由線面垂直的性質(zhì)證得平面，得到，再由線面垂直的判定定理，證得平面PBD，進(jìn)而得到，即可證得是直角三角形．（2）以為原點(diǎn)，以所在直線為x軸，過點(diǎn)且與平行的直線為y軸，所在直線為z軸，建立的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】(1)證明：如圖所示，連接BD，因?yàn)樗倪呅沃?，可得，，，所以，，則．在中，由余弦定理可得，所以，所以．因?yàn)槠矫娴酌?，平面底面，底面ABCD，所以平面PAB，因?yàn)槠矫鍼AB，所以，因?yàn)?，，所以平面PBD．因?yàn)槠矫鍼BD，所以，即是直角三角形．(2)解：由（1）知平面PAB，取AB的中點(diǎn)O，連接PO，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫妫矫娴酌妫矫娴酌妫缘酌?以為原點(diǎn)，以所在直線為x軸，過點(diǎn)且與平行的直線為y軸，所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，可得，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，，所以，因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，所以，即平面與平面的夾角的余弦值為．22．已知圓M：的圓心為M，圓N：的圓心為N，一動(dòng)圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動(dòng)圓的圓心E的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)已知點(diǎn)，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，；(2)過，.【分析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切和外切的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的