13.1.2圓柱、圓錐、圓臺和球新課程標準解讀核心素養利用實物模型、計算機軟件等觀察空間圖形，認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構數學抽象、直觀想象如圖，觀察下列實物圖.問題（1）上述三個實物圖抽象出的幾何體與多面體有何不同？（2）上述實物圖抽象出的幾何體中的曲面能否由某些平面圖形旋轉而成？

知識點一圓柱、圓錐、圓臺的概念分類定義圖形及表示圓柱將矩形繞著它的一邊所在的直線旋轉一周，形成的空間圖形叫作圓柱我們用表示圓柱軸的字母表示圓柱，上圖可表示為圓柱OO'分類定義圖形及表示圓錐將直角三角形繞著它的一直角邊所在的直線旋轉一周，形成的空間圖形叫作圓錐我們用表示圓錐軸的字母表示圓錐，上圖可表示為圓錐SO圓臺將直角梯形繞著它垂直于底邊的腰所在的直線旋轉一周，形成的空間圖形叫作圓臺我們用表示圓臺軸的字母表示圓臺，上圖可表示為圓臺OO'以直角三角形的一邊為軸旋轉所得的旋轉體是圓錐嗎？提示：不一定是.當以直角三角形的斜邊為軸旋轉所得的旋轉體就不是圓錐，如圖所示.下列說法正確的是（）A.圓錐的母線長一定等于底面圓直徑B.圓柱的母線與軸垂直C.圓臺的母線與軸平行D.圓臺所有母線的延長線交于一點解析：D由圓柱、圓錐、圓臺的定義知D正確，故選D.知識點二球的定義及其有關概念1.概念：如圖，半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面叫作球面，球面圍成的空間圖形叫作球體，簡稱球.2.表示：用表示球心的字母表示球.如球O.球與球面有何區別？乒乓球、籃球、鉛球都是球嗎？提示：球與球面是兩個不同的概念，球是幾何體，球面是曲面，但兩者也有聯系，即球面是球的表面.乒乓球和籃球都不是球（因為它們是空心的），鉛球是球（它是實心的）.下列說法中正確的是（填序號）.

①半圓以其直徑為軸旋轉所形成的曲面叫球；②半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面叫作球面.解析：由球及球面的定義知②正確.答案：②知識點三旋轉面與旋轉體一條平面曲線繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫作旋轉面，封閉的旋轉面圍成的空間圖形稱為旋轉體.圓柱、圓錐、圓臺和球都是特殊的旋轉體.提醒（1）空間幾何體包括多面體、旋轉體和由簡單的多面體與旋轉體組成的簡單組合體，棱柱、棱錐、棱臺是三類簡單的多面體，圓柱、圓錐、圓臺和球是四類簡單的旋轉體，理解柱、錐、臺、球的定義、結構特征和相關概念是進一步研究它們的性質、基本量計算、表面積、側面積和體積計算的基礎；（2）空間幾何體的常見問題有折疊與展開問題、割補問題、切接問題、截面問題、拼接與旋轉問題，學習時應從最簡單幾何體開始，由淺入深地逐步總結解題方法.等邊三角形繞其一邊中線所在的直線旋轉半周形成的面所圍成的空間圖形是什么幾何體？提示：圓錐.如圖所示的組合體的結構特征是（）A.一個棱柱中截去一個棱柱B.一個棱柱中截去一個圓柱C.一個棱柱中截去一個棱錐D.一個棱柱中截去一個棱臺解析：C由簡單組合體的基本形式可知，該組合體是一個棱柱中截去一個棱錐.題型一旋轉體的結構特征【例1】下列說法：①以直角梯形的一腰所在的直線為旋轉軸，旋轉一周得到的旋轉體為圓臺；②分別以矩形兩條相鄰邊所在直線為旋轉軸，將矩形旋轉一周，所得到的兩個圓柱可能是不同的圓柱；③用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺.其中正確說法的序號是.

解析①錯誤，若以直角梯形的不垂直于底邊的腰為軸旋轉一周形成的旋轉體不是圓臺，是圓錐和圓臺的組合體.②正確，若矩形的兩鄰邊長不相等，則其旋轉形成的曲面或圓面的半徑也不一樣，故所得圓柱也不同.③錯誤，當此平面與圓錐的底面平行時，才能截得一個圓錐和一個圓臺，否則不能得到.答案②通性通法簡單旋轉體結構特征問題的解題策略（1）準確掌握圓柱、圓錐、圓臺和球的生成過程及其特征是解決此類概念問題的關鍵；（2）解題時要注意明確兩點：①明確由哪個平面圖形旋轉而成；②明確旋轉軸是哪條直線.給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；③在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的；其中正確的命題是（）A.①②④B.②③④C.①③D.②④解析：D由于圓柱母線所在的直線互相平行且與旋轉軸平行，而在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線與旋轉軸不一定平行，故①錯誤，④正確；由圓錐的母線的定義知②正確；在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線不一定是母線，且圓臺所有母線的延長線交于一點，故③錯誤.故選D.題型二簡單組合體的結構特征【例2】如圖①②所示的圖形繞虛線旋轉一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡單幾何體組成的？解旋轉后的圖形如圖所示.其中圖①是由一個圓柱O1O2和兩個圓臺O2O3，O3O4組成的；圖②是由一個圓錐O9O8，一個圓柱O7O8及一個圓臺O5O7中挖去圓錐O6O5組成的.通性通法關于平面圖形繞固定軸旋轉后得到的幾何體的組成問題，可采用如下方法解決：1.如圖是由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對接形成的軸對稱平面圖形.若將它繞軸l旋轉180°后形成一個組合體，則下面說法不正確的是（）A.該組合體可以分割成圓臺、圓柱、圓錐和兩個球體B.該組合體仍然關于軸l對稱C.該組合體中的圓錐和球只有一個公共點D.該組合體中的球和半球只有一個公共點解析：A該組合體中有一個球和一個半球，故A錯誤.2.描述下列幾何體的結構特征.解：圖①所示的幾何體是由兩個圓臺拼接而成的組合體；圖②所示的幾何體是由一個圓臺挖去一個圓錐得到的組合體；圖③所示的幾何體是在一個圓柱中間挖去一個三棱柱后得到的組合體.題型三旋轉體的相關計算【例3】已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，軸截面的面積為392cm2，母線與軸的夾角為45°，求這個圓臺的高、母線長和底面半徑.解法一：圓臺的軸截面如圖所示，根據題意可設圓臺的上、下底面半徑分別為xcm和3xcm，即A'O'＝xcm，AO＝3xcm（O'，O分別為上、下底面圓心，連接O'O），過點A'作AB的垂線，垂足為D.在Rt△AA'D中，∠AA'D＝45°，AD＝AO－A'O'＝2x（cm），所以A'D＝AD＝2xcm，又S軸截面＝12×（A'B'＋AB）×A'D＝12×（2x＋6x）×2x＝392，所以綜上可知，圓臺的高OO'＝14cm，母線長AA'＝2OO'＝142（cm），上、下底面的半徑分別為7cm和21cm.法二：圓臺的軸截面如圖，根據題意可設圓臺的上、下底面半徑分別為xcm和3xcm，延長AA'，BB'交OO'的延長線于點S（O'，O分別為上、下底面圓心，連接O'O）.在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，所以SO＝AO＝3xcm，又SO'＝A'O'＝xcm，所以OO'＝2xcm.又S軸截面＝12×（2x＋6x）×2x＝392，所以x綜上可知，圓臺的高OO'＝14cm，母線長AA'＝2OO'＝142（cm），上、下底面的半徑分別為7cm和21cm.通性通法圓柱、圓錐、圓臺基本量的計算問題的求解策略（1）解決圓柱基本量的計算問題，要抓住它的底面半徑、高（母線）與軸截面矩形之間的關系，注意在軸截面矩形中一邊長為圓柱的高，另一邊長為圓柱的底面直徑；（2）解決圓錐基本量的計算問題，要從圓錐的軸截面入手，往往利用軸截面中的直角三角形建立底面半徑r、高h、母線長l三者之間的關系l2＝h2＋r2；（3）解決圓臺基本量的計算問題，一般從圓臺的軸截面（等腰梯形）入手，利用軸截面可以分割為兩個全等的直角三角形和一個矩形，結合題目條件求解.另外，也可以將其兩腰延長轉化為等腰三角形，從而可以利用平行線分線段成比例、三角形相似等知識來解決.軸截面為正三角形的圓錐稱為等邊圓錐.已知某等邊圓錐的軸截面面積為3，求該圓錐的底面半徑、高和母線長.解：如圖所示，作出等邊圓錐的軸截面SAB，設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l，則在軸截面SAB中，有OB＝r，SO＝h，SB＝l，且∠SBO＝60°.在Rt△SOB中，h＝3r，l＝2r，所以S△SAB＝12×AB×SO＝rh＝3r2根據題意得3r2＝3，解得r＝1，所以l＝2r＝2，h＝3r＝3.故該圓錐的底面半徑為1，高為3，母線長為2.用模擬法探究兩點間的最短路徑——空間幾何體的展開與拼接爸爸出差前，留給小華一道題：如圖是某地區的交通網.其中小圈代表城鎮，小圈間的連線代表道路，請你選擇一條從A到B的最短路線.爸爸還特意交給小華一個“錦囊”，囑咐他不到萬不得已不要拆開.小華是個要強的孩子，題目未解出來，他不會去看“錦囊”！小華絞盡腦汁，想了一天還是沒有眉目.吃過晚飯，他信步走進小樹林，東瞅瞅，西瞧瞧，看到一張碩大的蜘蛛網，突然，一只小蟲撞到網上，小蟲奮力掙扎，于是便不斷地拉緊連到網中心的最短的那根絲，蜘蛛沿著那根絲，迅速出擊，抓住了小蟲.小華若有所悟，口里直嚷嚷：“有了！有了！”他想，只要用一種伸縮性很小的細線按交通網形狀和各條道路的長短比例編織一副真正的“交通網”，要求A、B兩地的最短路線.只需把網上相當于A、B兩地的網結各自向外拉，則由A到B的最短路線所通過的道路一定位于被拉緊的細線上.小華高興地打開“錦囊”，妙極了，他和爸爸的解法完全一樣.爸爸的解法后面還有幾行字：“這種解法叫作模擬法，它是科學研究的一種重要方法，自然界中簡單的現象往往蘊藏著深刻的道理，放開你的眼界打破學科的界限，努力去探索吧！”1.如圖，圓錐的軸截面是等邊三角形，圓錐的底面半徑為2cm，假如點B有一只螞蟻只能沿圓錐的表面爬行，它要想吃到母線AC的中點P處的食物，求它爬行的最短路程.提示：圓錐的底面半徑為2cm，故底面圓的周長為4πcm，圓錐的軸截面是等邊三角形，可知圓錐的母線長為4cm，設圓錐側面展開后扇形的圓心角為α，根據圓錐底面圓的周長等于展開后扇形的弧長得4π＝4α，解得α＝π，如圖，故∠CAB'＝π2，螞蟻沿表面爬行到P處的最短路程為B'P＝AP2＋AB'2＝2.如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長為a，底面邊長為b，一只螞蟻從點A出發沿每個側面爬到A1，路線為A→M→N→A1，求螞蟻爬行的最短路程.提示：正三棱柱的側面展開圖是如圖所示的矩形，矩形的長為3b，寬為a，則其對角線AA1的長為最短路程.因此螞蟻爬行的最短路程為a2在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M為AA1的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱的側面經過棱CC1到M的最短路線長為29，則PC的長為.

解析：正三棱柱ABC-A1B1C1沿BB1側面展開，如圖所示，設PC＝x，由題意得AM＝2，AP1＝3＋x，MP1＝29，在Rt△MAP1中，AM2＋AP12＝MP12，即22＋（3＋x）2＝（29）2，解得x＝2答案：21.下列空間圖形中是旋轉體的是（）①圓柱；②六棱錐；③正方體；④球；⑤四面體.A.①和⑤B.①C.③和④D.①和④解析：D①圓柱是旋轉體；②六棱錐是多面體；③正方體是多面體；④球是旋轉體；⑤四面體是多面體.2.下列命題，正確的個數是（）①圓柱的軸截面是過母線的截面中最大的一個；②用任意一個平面去截球體得到的截面一定是一個圓面；③用任意一個平面去截圓錐得到的截面一定是一個圓面.A.0B.1C.2D.3解析：C由圓柱與球的結構特征可知①②正確.3.如果圓錐的側面展開圖是直徑為a的半圓面，那么此圓錐的軸