11.2正弦定理1.在△ABC中，若a＝bsinA，則△ABC一定是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形解析：B由題意有asinA＝b＝bsinB，則sinB＝1，即角B為直角，故△ABC2.在△ABC中，若a＝2，b＝23，A＝30°，則B＝（）A.60°B.60°或120°C.30°D.30°或150°解析：B由正弦定理，可知asinA＝∴sinB＝bsinAa＝2∵B∈（0°，180°），b＞a，∴B＝60°或120°.故選B.3.在△ABC中，根據下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A.b＝7，c＝3，C＝30°B.b＝5，c＝4，B＝45°C.a＝6，b＝33，B＝60°D.a＝20，b＝30，A＝30°解析：D對于A，因為b＝7，c＝3，C＝30°，所以由正弦定理可得sinB＝bsinCc＝7×123＝76＞1，無解；對于B，b＝5，c＝4，B＝45°，所以由正弦定理可得sinC＝csinBb＝4×225＝225＜1，且c＜b，有一解；對于C，因為a＝6，b＝33，B＝60°，所以由正弦定理可得sinA＝asinBb＝6×3233＝1，A＝90°，此時C＝30°，有一解；對于D，因為a＝20，b＝30，A＝4.（多選）在△ABC中，若3a＝2bsinA，則B＝（）A.π3B.C.2π3解析：AC由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，故3·2RsinA＝2·2RsinBsinA，所以sinB＝32，因此B＝π3或B＝5.（多選）已知△ABC中，BC＝1，AC＝3，A＝30°，則△ABC的面積S的值可以為（）A.34B.1C.32解析：AC由題意知，在△ABC中，a＝BC＝1，b＝AC＝3，A＝30°，由正弦定理，得asinA＝bsinB?sin因為b＞a，所以B＞A＝30°，所以B＝60°或B＝120°，當B＝60°時，C＝90°，S△ABC＝12absinC＝3當B＝120°時，C＝30°，S△ABC＝12absinC＝34.故選A6.在△ABC中，若B＝30°，b＝2，則asinA＝解析：asinA＝bsinB答案：47.在△ABC中，A＝π3，b＝4，a＝23，則B＝，△ABC的面積等于.解析：在△ABC中，由正弦定理，得sinB＝bsinAa＝4×sinπ323＝1.∴c＝b2－a2＝∴S△ABC＝12×2×23＝23答案：π228.△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA＝45，cosC＝513，a＝1，則b＝，c＝解析：∵cosA＝45，∴sinA＝1－cos2A＝35，cosC＝513，sinC＝1－cos2C＝1213，∴sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC＝35×513＋45×1213＝6365.在△ABC中由正弦定理得bsinB＝csinC＝asinA＝135＝答案：21139.已知一個三角形的兩個內角分別是45°，60°，它們所夾邊的長是1，求最小邊長.解：設△ABC中，A＝45°，B＝60°，則C＝180°－（A＋B）＝75°.因為C＞B＞A，所以最小邊為a.又因為c＝1，由正弦定理，得a＝csinAsinC＝1×所以最小邊長為3－1.10.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A＝2B.（1）求證：a＝2bcosB；（2）若b＝2，c＝4，求B的值.解：（1）證明：因為A＝2B，所以由正弦定理asinA＝bsinB，得asin2B＝bsinB，（2）由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA，因為b＝2，c＝4，A＝2B，所以16cos2B＝4＋16－16cos2B，所以cos2B＝34因為A＋B＝2B＋B＜π，所以B＜π3，所以cosB＝32，所以B＝11.已知a，b，c分別為△ABC的三個內角A，B，C的對邊，C＝π4，c＝2，a＝x，若滿足條件的三角形有兩個，則x的取值范圍是（A.（22，1）B.（2，2C.（1，2）D.（1，2）解析：B在△ABC中，根據正弦定理asinA＝csinC，即xsinA＝2sinπ4，所以sinA＝12x，由題意可得，當A∈π4，3π4且A≠π2時，滿足條件的△ABC有兩個，所以22＜12x＜112.（多選）下列命題中，正確的是（）A.在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinBB.在銳角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立C.在△ABC中，若acosA＝bcosB，則△ABC必是等腰直角三角形D.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，則△ABC必是等邊三角形解析：ABD對于A，在△ABC中，由正弦定理可得asinA＝bsinB，所以A＞B?a＞b?sinA＞sinB，故A正確；對于B，在銳角△ABC中，A，B∈0，π2，且A＋B＞π2，則π2＞A＞π2－B＞0，所以sinA＞sinπ2－B＝cosB，故B正確；對于C，在△ABC中，由acosA＝bcosB，利用正弦定理可得sin2A＝sin2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝π2－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C錯誤；對于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accosB，所以ac＝a2＋c2－ac，即（a－c）2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以13.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sinA＋sinB＝54sinC，且△ABC的周長為9，△ABC的面積為3sinC，則c＝，cosC＝.解析：△ABC中，角A，B，C，所對邊分別是a，b，c，已知sinA＋sinB＝54sinC，則a＋b＝5且△ABC的周長為9，則c＋5c4＝解得c＝4.若△ABC的面積等于3sinC，則12absinC＝3sinC整理得ab＝6，由于a＋b＝5c4＝故a＋b=5，所以cosC＝a2＋b2答案：4－114.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC.（1）求角A的大小；（2）若a＝7，b＋c＝4，求bc的值.解：（1）根據正弦定理及2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC，得2sinBcosA＝sinCcosA＋sinAcosC＝sin（A＋C）＝sinB.∵sinB≠0，∴cosA＝12∵0＜A＜π，∴A＝π3（2）根據余弦定理，得7＝a2＝b2＋c2－2bccosπ3＝（b＋c）2－3bc∵b＋c＝4，∴bc＝3.15.已知函數f（x）＝sin12x＋π6.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c且滿足2a－cb＝cosC解析：由2a－cb得2sinA－sin即2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC，即2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC＝sinA，所以cosB＝12，即B＝π所以A∈0，所以12A＋π6∈所以f（A）∈12答案：116.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知A＝π4，b2－a2＝12c（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面積為3，求b的值.解：（1）由b2－a2＝12c2sin2B－12＝12sin2所以－cos2B＝sin2C.①又