1.1.1空間向量及其線性運算學習目標1.感受向量及其運算由平面到空間的推廣過程，了解空間向量的概念；2.掌握空間向量的加、減、數乘運算及其表示，掌握運算律；3.核心素養：數學抽象、數學運算、數學建模.在滑翔過程中,飛行員會受到來自不同方向、大小各異的力，如拉力、風力、重力.國慶節期間，某游客從上海世博園（O）游覽結束后乘車到外灘（A）觀賞黃浦江，然后抵達東方明珠（B）游玩，如圖（2），游客的實際位移是什么？可以用什么數學概念來表示這個過程？OABD圖（2）起點終點空間向量的有關概念定義：既有大小又有方向的量。表示幾何表示法：有向線段符號表示法：AB長度（模）

回憶平面向量的概念與表示法，你能類比平面向量給出空間向量的概念和空間向量的表示嗎？向量的大小，記作平面向量空間向量零向量：單位向量：相反向量：相等向量：共線向量：空間向量的有關概念類比平面向量，思考空間向量的有關概念探究：我們學習了平面向量相關的概念后，學習了平面向量的線性運算，我們能否類比平面向量的線性運算得出空間向量的線性運算？我們一起回憶一下平面向量的線性運算，類比的得出空間向量線性運算問題

平面向量的線性運算有哪些？我們當時是如何探究這些運算？加法，減法，數乘定義法則運算律由于任意兩個空間向量都可以通過平移轉化為同一平面內的向量，這樣任意兩個空間向量的運算就可以轉化為平面向量的運算，由此，我們把平面向量的線性運算推廣到空間，定義空間向量的加法、減法以及數乘運算:1.空間向量加法的三角形法則：2.空間向量加法的平行四邊形法則：3.空間向量減法的三角形法則:(首尾相接首尾連)(共起點)(共起點)ABCDABC基本運算(空間向量線性運算與平面向量的運算是一樣的)4.數乘運算

實數λ與平面向量

的積是一個向量，記作

，其長度和方向規定如下：①

|λ

|＝|λ|||；②若λ>0，λ

與

的方向相同；

若λ<0，λ

與

的方向相反；

若λ＝0，λ

＝.基本運算(空間向量線性運算與平面向量的運算是一樣的)5.空間向量的線性運算律：與平面向量一樣，空間向量的線性運算滿足以下運算律(其中λ，μ∈R):基本運算(空間向量線性運算與平面向量的運算是一樣的)你能證明這些運算律嗎？證明結合律時，與證明平面向量的結合律有什么不同？abcOABCab+abcOABCbc+空間向量ab+c+()ab+c+()(a+b)+c=a+(b+c)向量加法結合律：

由以上證明可以看出，證明空間向量的加法結合律時，由于三個向量可能不同在任何一個平面內，因此證明方法與平面向量有所區別.對于空間向量線性運算的其他運算律，它們都只涉及同一平面內的向量，因此證明方法與平面向量相同.探究：在平行六面體

中（如圖），分別標出表示的向量.探究新知ABC'B'A'DCD'(1)(2)探究：在平行六面體

中（如圖），分別標出表示的向量.從中你能體會向量加法運算的交換律和結合律嗎？一般地，三個不共面的向量的和與這三個向量有什么關系？探究新知ABC'B'A'DCD'可以發現，利用向量的交換律和結合律，可以得到：有限個向量求和，交換相加向量的順序，其和不變.

三個不共面的向量的和等于以這三個向量為鄰邊的平行六面體的體對角線所表示的向量.13類型空間向量的線性運算D14新知探究空間向量的共線向量定理

新知探究方向向量

?

?共面向量

如果直線OA平行于平面α或在平面α內，那么稱向量a平行于平面α.

平行于同一個平面的向量，叫做共面向量aaaαOAl問題探究任意兩個空間向量都可以通過平移，移到同一平面內，任意三個向量是否共面呢？ab.Oαcp可能共面，也可能不共面問題探究什么情況下空間中的三個向量是共面的呢？平面向量基本定理：

若向量a，b是平面α內兩個不共線的向量，

則α內任意一個向量p，存在唯一的有序實數對(x，y)

，

使得：p＝xa+yb.向量a、b、p什么關系？平面向量基本定理：

若向量a，b是平面α內兩個不共線的向量，

則α內任意一個向量p，存在唯一的有序實數對(x，y)

，

使得：p＝xa+yb.空間向量共面的充要條件空間向量共面的充要條件：兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對

(x，y)，使得：p＝xa+yb.空間向量共面的推論①空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在有序實數對(x,y)，使②P、A、B、C四點共面的充要條件是對空間任意一點O，OACBP

OABCDEFGH

OABCDEFGH1.對于空間任意一點O，下列命題正確的是：(A)若，則P、A、B共線(B)若，則P是AB的中點(C)若，則P、A、B不共線(D)若，則P、A、B共線2.已知點M在平面ABC內,并且對空間任意一點O,

,則x的值為()鞏固練習3.下列說明正確的是：(A)在平面內共線的向量在空間不一定共線(B)在空間共線的向量在平面內不一定共線(C)在平面內共線的向量在空間一定不共線(D)在空間共線的向量在平面內一定共線4.下列說法正確的是：(A)平面內的任意兩個向量都共線(B)空間的任意三個向量都不共面(C)空間的任意兩個向量都共面(D)空間的任意三個向量都共面鞏固練習ABMCGD(2)原式5.在空間四邊形ABCD中,點M、G分別是BC、CD邊的中點,化簡鞏固練習ABCDDCBA6.在立方體AC1中,點E是面A’C’的中心,求下列各式中的x,y.E答案:(1)x=1(2)x=y=1/2鞏固練習8.已知正方體，點E是上底面的中心，求下列各式中x、y、z的值：ABCDA1B1C1D1MN9.平行六面體，M分成的比為，N分成的比為2，設