./試題一考核課程：《高等代數》〔上考核類型：考試考核形式：閉卷學生院系：年級：試卷：題號一二三四五六七總分得分得分得分一、判斷題〔在括號里打"√"或"×",每小題2分,共20分若整系數多項式在有理數域可約,則一定有有理根．〔若、均為不可約多項式,且,則存在非零常數,使得．〔對任一排列施行偶數次對換后,排列的奇偶性不變．〔若矩陣的所有級的子式全為零,則的秩為．〔若行列式中所有元素都是整數,且有一行中元素全為偶數,則行列式的值一定是偶數．〔若向量組〔線性相關,則存在某個向量是其余向量的線性組合．〔若兩個向量組等價,則它們所包含的向量的個數相同．〔若矩陣、滿足,且,則．〔稱為對稱矩陣是指．若與都是對稱矩陣,則也是對稱矩陣．〔10．設級方陣、、滿足,為單位矩陣,則．〔得分得分二、填空題：〔每小題2分,共20分設,則與的最大公因式為．設,用除所得的余式是函數值．多項式、互素的充要條件是存在多項式、使得．4．一個級矩陣的行〔或列向量組線性無關,則的秩為．5．線性方程組有解的充分必要條件是．6．設矩陣可逆,且,則的伴隨矩陣的逆矩陣為．7．設、為階方陣,則的充要條件是．8．設、都是可逆矩陣,若,則．9．若,則向量組必線性．10．一個齊次線性方程組中共有個線性方程、個未知量,其系數矩陣的秩為,若它有非零解,則它的基礎解系所含解的個數為．得分得分三、計算題〔每小題5分,共20分1．求多項式與的最大公因式．2．〔級3．設,給出可逆的充分必要條件,并在可逆時求其逆．4．求向量組、、的一個極大線性無關組,并將其余向量表為該極大線性無關組的線性組合．得分得分四、設向量組線性無關,而向量組線性相關,證明：可以由線性表出,且表示法唯一．〔本大題10分得分五、設是一個秩為的矩陣,證明：存在一個秩為的得分矩陣,使．〔本大題10分得分六、〔10分設,．得分〔1計算及；〔2證明：可逆的充分必要條件是；〔3證明：當時,不可逆．〔本大題10分得分七、設線性方程組為得分討論為何值時,下面線性方程組有唯一解？無解？有無窮多解？并在有無窮多解時求其通解〔要求用導出組的基礎解系及它的特解形式表示其通解．〔本大題10分試題一參考答案及評分標準課程名稱：高等代數〔下執筆人：胡付高一、判斷題〔每小題2分,共20分〔1×；〔2√；〔3√；〔4×；〔5√；〔6√；〔7×；〔8×；〔9×；〔10√．二、填空題〔每小題2分,共20分〔1；〔2；〔3；〔4；〔5系數矩陣與增廣矩陣的秩相等；〔6；〔7；〔8；〔9相關；〔10三、計算題〔每小題5分,共20分1．．注：本題一般用輾轉相除法求出最大公因式,如果分解因式,得到最大公因式,也給滿分．2．解：原式．3．解：因為,所以可逆的充分必要條件是．…〔2分的伴隨矩陣…〔4分故…〔5分注：本題在得到可逆時,求其逆矩陣可以采用初等變換法．院系負責人簽字4．由,可知為向量組的一個極大線性無關組,…〔3分且有．…〔5分注：本題也可以先說明其秩為2,故任意兩個向量都是極大線性無關組〔容易看出任意兩個向量線性無關,或其它方法均可．四、證明〔1由線性相關,存在不全為零的數,使…〔2分又由線性無關,得〔否則,線性相關,矛盾,于是有；…〔5分〔2設,,則,即,…〔8分由于線性無關,故,即〔．…〔10分五、證明考慮齊次線性方程組,因為秩,故存在基礎解系,作矩陣,則,…〔6分由于的個列向量線性無關,故有秩．…〔10分注：本題的另一證法是：由秩,存在可逆矩陣使,即,取,則．〔的取法不唯一．六、〔1,．…〔4分〔2由于,故可逆的充分必要條件是,即．…〔7分〔3當時,由于,故不可逆．…〔10分注：對〔3直接證明的,只要方確,也給滿分．七、解由于系數行列式…〔2分〔1由克萊姆法則知,當且時,方程組有唯一解；…〔4分〔2當時,,方程組無解；…〔6分〔3當時,方程組有無窮多解：…〔8分．…〔10分注：直接作初等變換,然后討論方程組解的情況亦可,根據相應步驟給分．試題二一、判斷題：〔在括號里打"√"或"×",每小題2分,共20分1．任一排列施行一次對換后,其逆序數必增加1或減少1．〔×2．．〔×3．若行列式中所有元素都是整數,則行列式的值一定是整數．〔√4．若矩陣的秩是,則的所有級的子式全不等于零．〔×5．若矩陣經過初等變換化為矩陣,則．〔×6．若一組向量的和為零向量,則它們必線性相關．〔√7．任一線性方程組有解它的導出組有解．〔×8．若兩個向量組等價,則它們所包含的向量的個數相同．〔×9．若向量組〔線性相關,則每個向量都是其余向量的線性組合．〔×10．一個非齊次線性方程組的兩個解〔向量之差一定是它的導出組的解．〔√二、填空題〔每小題2分,共20分1．排列的逆序數為．2．五級行列式中的一項在中的符號為負．3．級行列式按第列展開公式是．4．已知非零向量組、、兩兩線性相關,則該向量組的秩為1．5．線性方程組有解的充分必要條件是系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩．6．若矩陣中有一個級子式不為零,則秩．7．一個齊次線性方程組中共有個線性方程、個未知量,其系數矩陣的秩為,若它有非零解,則它的基礎解系所含解的個數等于．8．一個非齊次線性方程組記為〔Ⅰ,它的導出組記為〔Ⅱ,則〔Ⅰ的一個解與〔Ⅱ的一個解的差是〔Ⅰ的解．9．一個級矩陣的行〔或列向量組線性相關,則的行列式等于0．10．兩個向量組等價是指它們可以相互線性表出．三、計算下列行列式〔每小題5分,共20分．〔1解原式．注：其它方法計算出結果的給滿分,方確而計算錯誤的,酌情給分．〔2解將所有列加到第1列上,則第1列與第4列成比例,故原式．注：本題也可以從第4行提取公因子,然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行,把第4行化為元素全為零,故原式．〔3；解將所有列全加到第1列并提起公因子,得原式．〔4〔解將所有行減去第1行,化為爪形行列式,得原式．注：本題也可以用加邊法化為爪形行列式計算．四、設線性方程組為：,試討論下列問題：〔1當取什么值時,線性方程組有唯一解？〔2當取什么值時,線性方程組無解？〔3當取什么值時,線性方程組有無窮多解？并在有無窮多解時求其解．〔要求用導出組的基礎解系及它的特解形式表示其通解〔共15分解線性方程組的系數行列式為〔1當,即且時,線性方程組有唯一解；〔2當時,線性方程組無解；〔3當時線性方程組有無窮多解,且其通解為．五、〔1設向量線性無關,證明：向量線性無關；〔2證明：對任意4個向量,向量組都線性相關．〔共15分證明〔1設,即,由于線性無關,故有解之得,故也線性無關．…………〔8〔2由得,線性相關．六、設向量組線性無關,而線性相關,但不能由線性表出,證明：可以由線性表出,且表示法唯一．〔10分證明〔1先證可以由線性表出：因為線性相關,所以存在不全為零的數,使得．由于不能由線性表出,故必有,下證．用反證法：若,則,由于不全為零,故不全為零,與線性無關的假設矛盾,于是,得到．〔2次證表示法唯一：設,,則,即,由于線性無關,故,即〔,于是表示法唯一．七、〔附加題證明或否定下面命題：若三個向量兩兩線性無關,則線性無關．并說明在三維矢量空間中的幾何意義．〔10分解本結論的幾何描述是：三個矢量〔向量兩兩不共線,則它們不共面．很明顯該結論是錯誤的,例如某平面上存在彼此不共線的三個矢量,但它們共面.注否定上述結論時,也可構造反例,如等,或構造三個二維向量,使它們兩兩線性無關．試題四題號一二三四五六七八總分得分一、判斷題〔每小題2分,共20分集合｛︱為整數｝是一個數域；〔設在數域上,則一定有；〔若整系數多項式無有理根,則在有理數域上一定不可約；〔設是級矩陣,是任意常數,則或；〔設是一個4級排列,則與的奇偶性相同；〔設方程個數與未知量的個數相等的非齊次線性方程組的系數行列式等于0,則該線性方程組無解；〔任意等價向量組中所含向量的個數相等；〔任何齊次線性方程組都存在基礎解系；〔設都是維列向量,則；〔10．設都是級對稱矩陣,且,則與在復數域上合同．〔二、填空題：〔每小題2分,共14分1．設是多項式的三個根,則．2．四階行列式中,項的符號為．3．設矩陣可逆,且,則．4．設、為階方陣,則的充要條件是．5．設為矩陣,則齊次線性方程組有非零解的充要條件是：秩〔A．6．設是互異常數,則線性方程組的解向量中分量．7．二次型是正定的充分必要條件是與滿足．三、計算〔每小題6分,共12分1．〔級2．設,給出可逆的充分必要條件,并在可逆時求其逆．得分得分四、〔共10分化二次型為標準形,寫出所作的非退化的線性替換．并回答下列問題：〔1該二次型的正、負慣性指數及符號差是多少？〔2該二次型在復數域、實數域上的規形分別是什么？得分五、〔14分當為何值時,下面線性方程組有解？并求解．得分得分六、〔10分設向量可以由線性表出,但不能由線性表出．證明：〔1可由向量組得分線性表出；〔2不能由線性表出．得分七、〔10分設是一個秩為的矩陣,證明：存在一個秩為的矩陣,使．得分得分八、〔10分證明：如果,,則．得分參考答案及評分標準〔試題四一．判斷題〔每小題2分1．×；2．√；3．×；4．×；5．√；6．×；7．×；8．×；9．√；10．√．二．填空題〔每小題2分,共14分1．；2．負號；3．；4．；5．；6．；7．．三．計算〔每小題6分,共12分原式………〔2分………〔4分………〔6分2．因為,所以可逆的充分必要條件是,………〔3分且………〔6分四．,令,則………〔2分再令,則………〔4分且所作的非退化的線性替換為．………〔6分〔1該二次型的正、負慣性指數及符號差分別是2,1,1．………〔8分〔2該二次型在復數域、實數域上的規形分別是與………〔10分五．解………〔2分〔1當且時,方程組有唯一解………〔4分,,,；………〔7分〔2當時,方程組無解；………〔9分〔3當時,方程組有無窮多解：………〔11分………〔14分六．證明〔1因為可以由線性表出,所以存在不全為零的數,使,………〔2分若,則可以由線性表出,矛盾．故,………〔4分從而有．………〔5分〔2〔反證法若可由線性表出,又由于可以由線性表出,得可以由線性表出,矛盾．故不能由線性表出．……〔10分七．證明考慮齊次線性方程組,因為秩,故存在基礎解系,作矩陣,則,且秩．………〔10分注1在構造矩陣時,的后面列未必一定要取零向量,事實上,只要說明中每列都是線性方程組的解,且中含個線性無關的列向量即可．注2本題的另一證法是：由秩,存在可逆矩陣使,即,取,則八．證明由及,存在多項式〔,使,,………〔4分兩式相乘得,………〔8分所以有．………〔10分試題六班級：班級：姓名：學號：…………密……封………………線…………題號一二三四五六七八九十總分得分得分得分一、填空題〔每小題一、填空題〔每小題2分,共20分1．如果,,,則．2．兩個有限維線性空間、同構的充分必要條件是．3．用表示維線性空間的所有線性變換構成的線性空間,則．4．若,且,則的特征值為．5．設歐氏空間的正交變換A在一組標準正交基下的矩陣是,則．6．設是一個維歐氏空間,是中非零向量,,則．7．矩陣的最小多項式為．8．已知線性變換A在基下的矩陣為,則A在基下的矩陣為．9．在中,線性變換D<>,則D在基下的矩陣為．10．設6級矩陣的不變因子是,則的若爾當標準形是．二、選擇題〔每小題3分,共15分得分二、選擇題〔每小題3分,共15分得分1．下列集合構成的子空間的是〔．；．；．．2．維線性空間的線性變換A可以對角化的充要條件是〔．A有個互不相同的特征向量；．A有個互不相同的特征根；．A有個線性無關的特征向量．3．對子空間,為直和的充要條件是〔．；．；．,．4．下列類型的矩陣一定相似于對角矩陣〔．正交矩陣；．特征值皆為實數的矩陣；．主對角元兩兩互異的上三角矩陣．5．的充要條件是〔三、〔共15分設為的基,且線性變換A在此基下的矩陣為〔1求A的特征值與特征向量；〔2是否可以對角化？如果可以,求正交矩陣使得為對角形．．、三、〔共15分設為的基,且線性變換A在此基下的矩陣為〔1求A的特征值與特征向量；〔2是否可以對角化？如果可以,求正交矩陣使得為對角形．得分得分四、〔10分設表示數域四、〔10分設表示數域上次數小于的多項式及零多項式作成的線性空間．〔1證明：是的一組基；〔2求上述的一組基到基的過渡矩陣．得分五、五、〔12分設A,且A2A．證明〔1A的特征值為０或１；〔2AA-1．得分得分六、〔8分設是歐氏空間六、〔8分設是歐氏空間的兩兩正交的非零向量組,證明它們線性無關．得分七、〔10分設是一個固定的七、〔10分設是一個固定的級矩陣,證明：〔1是的一個子空間；〔2當為主對角元兩兩互異的對角矩陣時,寫出的維數及一組基．得分八、〔10分設八、〔10分設是歐氏空間的一組向量,記,證明：〔1如果使,,那么；〔2記,,那么．得分得分試題六參考答案及評分標準一、填空題〔每小題2分,共20分〔1；〔2；〔3；〔4或；〔5；〔6；〔7；〔8；〔9；〔10．二、選擇題〔每小題3分,共15分〔1；〔2；〔3；〔4；〔5．三、〔1解,因此A的特征值為與．…〔4分對,可求出的一個線性無關的特征向量為,故得A的所有特征向量為,這里不為零．…〔6分對,求出的兩個線性無關的特征向量,,故A的所有特征向量為,或,這里、不全為零．…〔8分院系負責人簽字〔2由于有三個線性無關的特征向量,故可以對角化．…〔3分取,則…〔7分注：也可以指出是實對稱陣,故可以對角化．另外注意正交矩陣的取法不唯一．四、〔1證明〔方法1由于,只需證明線性無關：設,令,得,又對等式兩邊求導后令,得,再求二階導數,…,求階導數,分別得到,于是是的一組基；…〔5分〔方法2已知是的一組基,求出中的矩陣,只需說明可逆,便得結論；〔方法3由數學分析中的泰勒定理可知,對于,都有又已知,故是的一組基．〔2所求過渡矩陣為．…〔10分五、證明〔1設A〔,則由A2A推出A２,從而,即得,于是或１；…〔6分〔2對,由AA,注意到AA,因此AA-1,于是AA-1,即得AA-1；…〔3分設AA-1,則,A,且A,推出A２,即得A,于是AA-1,故AA-1．…〔6分六、證明設,由于,,故由,得,…〔5分而,所以,于是,．因此線性無關．…〔8分七、證明〔1因為,所以．…〔1分設,由,得．…〔3分又設,,由,得,因此是的一個子空間；…〔5分〔2當為主對角元兩兩互異的對角矩陣時,與可換的矩陣也一定是對角矩陣,即是由所有對角矩陣作成的子空間,因此的一組基可取為,故．…〔10分八、證明〔1若,則有,于是,則；…〔5分〔2設,則,從而,即,,因此有．…〔2分設,則,對,設,則,于是有,即．故．…〔5分試題八〔共12分敘述下列概念或命題：〔1線性相關；〔2極大線性無關組；〔3行列式按一行〔列展開定理.答：〔1向量組稱為線性相關,如果有數域中不全為零的數,使.注對如下定義也視為正確：如果向量組〔中有一個向量可由其余的向量線性表出,那么向量組稱為線性相關的.〔2一向量組的一個部分組稱為一個極大線性無關組,如果這個部分組本身是線性無關的,并且從這向量組中任意添加一個向量〔如果還有的話,所得的部分向量組都線性相關.注對如下定義也視為正確：向量組的一個部分組稱為一個極大線性無關組,是指：〔ⅰ線性無關；〔ⅱ可由線性表出.〔3行列式等于某一行〔列的元素分別與它們代數余子式的乘積之和.注用公式寫出按行〔或列展開定理亦可.判斷題：〔在括號里打"√"或"×",共20分1．．〔×2．若向量組〔線性相關,則其中每個向量都是其余向量的線性組合．〔×3．在全部〔級排列中,奇排列的個數為．〔√4．若排列為奇排列,則排列為偶排列．〔×5．若矩陣的秩是,則的所有高于級的子式〔如果有的話全為零．〔√6．若一組向量線性相關,則至少有兩個向量的分量成比例．〔×7．當線性方程組無解時,它的導出組也無解．〔×8．對個未知量個方程的線性方程組,當它的系數行列式等于0時,方程組一定無解．〔×9．等價向量組的秩相等．〔√10．齊次線性方程組解的線性組合還是它的解．〔√三、〔共18分計算行列式〔1解原式．注用其它方法計算出結果的給滿分,方確而計算錯誤的,酌情給分．〔2解將所有列加到第1列上,則第1列與第4列成比例,故原式．注本題也可以從第4行提取公因子,然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行,把第4行化為元素全為零,故原式．〔3〔．解原式．注本題也可按最后一列〔或行展開,得遞推式：,答案正確給滿分,有正確的遞推式但結果有誤,給3分．另外對按第一行〔或列展開者類似給分．四、設向量組,,,,．試求向量組的秩及其一個極大線性無關組,并將其余向量用這個極大線性無關組線性表出．〔10分解…………〔5分故向量組的秩為3,是一個極大線性無關組,并且…………〔8分,．…………〔10分注本題關于極大線性無關組答案中,除不能構成極大線性無關組外,任何三個向量都是極大線性無關組,對其它方法求出極大線性無關組,但未得到線性表出式的給5分．五、討論取什么值時下列線性方程組有解,并求解．〔10分解方程組的增廣矩陣為,系數行列式為……〔2分當且時,方程有唯一解,此時…………〔3分,故得解為；…………〔5分〔2當時,增廣矩陣,無解；…………〔7分〔3當時,增廣矩陣,有無窮多組解,通解為〔為自由未知量,或表成．……〔10分注本題也可以對增廣矩陣用初等行變換的方法討論．對唯一解及無窮多組解的表達式未能給出者,各扣2分．六、證明題：〔每小題10分,共30分1．證明：如果向量組線性無關,而線性相關,則向量可以由線性表示,且表示法唯一．〔10分．證明〔1由線性相關,存在不全為零的數,使…………〔2分又由線性無關,得〔否則,線性相關,矛盾…………〔4分于是,；…………〔5分〔2設,,則,即,由于線性無關,故,即〔．…………〔10分2．證明：若向量線性無關,則也線性無關．并說明該結論對4個向量的情形是否成立．證明設,即,…………〔2分由于線性無關,故有解之得,…………〔5分故也線性無關．…………〔6分對4個向量的情形其相應結論不成立,因為,由4個向量線性無關,并不能得到向量線性無關的結論．注1由知,是線性相關的,對該問題未說明原因的,只要結論正確給滿分；注2如果認為對4個向量的情形其相應結論也成立的,必須說明是指如下結論:若4個向量線性無關,則向量也線性無關．該答案也給滿分,但僅說相應結論成立,而未給出任何說明者,不得分．3．設是數域中個互不相同的數,是數域中任一組給定的數．求證：〔1存在唯一的數域上的次數不超過的多項式,使,；〔2特別的,求出使,成立的次的多項式．證明〔1將,,代入,得…………〔2分由于系數行列式,…………〔4分故線性方程組有且僅有唯一解,即存在唯一的數域上的次數不超過的多項式,使,；…………〔5分〔2由克萊姆定理,,,,故使,成立的次的多項式為．…………〔10分注對〔2不用克萊姆定理,而直接觀察出的也給滿分．七、〔附加題證明或否定如下結論：若三個向量兩兩線性無關,則線性無關．并說明在三維幾何空間中的意義．〔10分解本結論的幾何描述是：三個矢量〔向量兩兩不共線,則它們不共面．………〔5分很明顯該結論是錯誤的,例如某平面上存在彼此不共線的三個矢量,但它們共面．………〔10分注否定上述結論時,也可構造反例,如等,或構造三個二維向量,使它們兩兩線性無關．試題十及答案判斷題：〔每小題2分,共30分,在括號里打"√"或"×"零多項式的次數為零．〔×零多項式與的最大公因式為．〔√設且,使得,則為與的一個最大公因式．〔×４．零次多項式能整除任一多項式．〔√5．若,但不整除,則不整除．〔√6．設,但,則．〔×７．若是的導數的重根,則為的重根．〔×８．設,、為數域,如果在中與互素,則在中與也互素．〔√９．若,且,則．〔×10．若在數域上不可約,則在上沒有根．〔×11．設,如果無有理根,則在上不可約．〔×12．若,則或．〔×13．設是不可約多項式,如果,則與有且僅有一個為零次多項式．〔√14．設,且,則．〔√15．次實系數多項式的實根個數的奇偶性與的奇偶性相同．〔√二、填空題：〔每小題2分,共10分１．若,則-3,3,-1．２．若,均為上的不可約多項式,且,則與的關系是．３．若是的重根,則-5．４．用除所得的余數-18．5．已知為的一個根,那么的其余根是1,1-2i．三、計算題：〔8分求的根和標準分解式．解2．〔10分為何值時,有重根．解因為,作輾轉相除法,要使有重根,則必須,,若,則；,由于,當,即時．故當或時,有重根．3．〔12分設,．〔1用輾轉相除法求．〔2求,使．答案〔1；〔2回代得：,故取,,使．四、證明題：〔每小題10分,共30分1．設,證明：〔1在上不可約；〔2至少有一個實根,但不是有理根．證明〔1令,則,取,由Eisenstein判別法知,在上不可約,從而在上不可約；注也可利用反證法證之：若可約,則能分解成兩個次數低的整系數多項式之積,或為1次與4次多項式之積,或為2次與3次多項式之積,都能推出矛盾,這里從略．〔2因為是奇次的,則必有一個實根,此根若是有理根,則在上可約,矛盾．注奇次多項式有實根可由數學分析中連續函數的介值定理證得,或將在實數域上作標準分解,由于實數域上的不可約因式只有一次因式與二次不可約因式,故奇次多項式一定有一次因式,因此必有一個實根．另外,對沒有有理根的結論,可以對其所有可能的有理根進行直接檢驗得知．2．設不全為零,證明．證明設,,由,又為與的最大公因式,故；反之,由,,又為與的最大公因式,故．又、均為首1多項式,從而．3．若整系數多項式有根,這里,則,．證明因為的根,則,為整系數多項式．由,即,,又,故有；由,得,同理可得．注可以由,得,,由于是本原多項式,故為整系數多項式,,,因此有,．試題十一及答案一、判斷題〔在括號里打"√"或"×",每小題2分,共20分１．若向量組與向量組都線性無關,則,也線性無關；〔×2．維線性空間中任何個線性無關的向量都是的一組基；〔√3．對維線性空間中任何非零向量,在中一定存在個向量,使得作成的一組基；〔√4．三個子空間的和為直和的充要條件是；〔×5．把復數域看成實數域上的線性空間,它與是同構的；〔√6．線性空間的兩組基到的過渡矩陣是可逆的；〔√7．的任意兩個子空間的交與并都是的子空間；〔×8．集合作成的子空間；〔×9．實對稱矩陣為半正定的充要條件是它的所有順序主子式都非負；〔×10．設元實二次型的正負慣性指數分別為,則必有．〔√二、填空題〔每小題2分,共20分1．如果,,,則．2．兩個有限維線性空間、同構的充分必要條件是．3．兩個復對稱矩陣合同的充分必要條件是它們的秩相等．4．設實二次型的秩為,負慣性指數為,符號差為,則、、的關系是．5．級實對稱矩陣的所有可能的規型是：.6．設基到基的過渡矩陣是,而基到基的過渡矩陣是,則到的過渡矩陣是．7．已知為線性空間的三個線性無關的向量,則子空間的維數為3．8．若,則．9．設三維線性空間的基到的過渡矩陣為,向量在基下的坐標為,在在基下的坐標為．10．元實二次型正定的充分必要條件是常數滿足．三、簡述下列定義〔共12分1．級矩陣、合同：如果存在可逆矩陣,使得2．子空間的和3．生成子空間4．子空間的直和：中每個向量的分解式〔是唯一的．四、〔10分設可由線性表出,但不能由線性表出,證明：．證明只需證明向量組與等價：易知可由與線性表示,另一方面,由于可由線性表出,故有,且,〔否則可線性表出,矛盾,于是,因而可由線性表出,故向量組與等價,最后不難得到結論．五、〔1討論：取什么值時,二次型是正定的．〔2證明當時,上述二次型是半正定的．〔共14分解〔1二次型可化為,它對應的矩陣是由二次型是正定的它的矩陣的所有順序主子式全大于零,可得到,,,它等價于,即二次型是正定的．〔2當時,二次型可化為,故二次型是半正定的．注對〔2還可以用求二次型標準型的方法得到結論,求得它的正慣性指數為2,負正慣性指數為0．六、設、是兩個固定的級矩陣,證明：〔1是的一個子空間；〔2當是主對角元兩兩互異的對角矩陣時,是什么樣的子空間,并求的維數及一組基〔可以只寫結果,不必說明理由．〔共14分解〔1因為,故,對,即,,得,于是,設,又由,得到,因此的一個子空間；〔2是所有級對角矩陣作成的子空間,它的一組基可取為,．七、設,,,〔1分別寫出生成子空間與的基和維數；〔2求的一組基和維數；〔3求的維數．〔共15分解〔1為的一組基,為的一組基,它們的維數都為2；〔2由,的一組基可取為,故它的維數為3；〔3注意到,由維數公式即得的維數．八、補充題〔共15分,本題得分可以計入總分設表示數域上次數小于的多項式及零多項式作成的線性空間,．〔1驗證是的一個子空間；〔2求的一組基及維數；〔3記,則也是數域上的一個子空間,試證明：．證明〔1因為,所以,設,,則,且,因此,,故,,即是的一個子空間；〔2對,一定可以表成形式〔若,則,即得,注意到都屬于,且線性無關,它們構成了的一組基,；〔3是一個一維子空間,1為它的一組基,由〔式即得,故,又,故．注對〔2式也可以用數學分析中Taylor公式得到〔；對〔3也可以設,則,比較兩端次數得,即,從而,即為直和．試題十二試題十二題號一二三四五六七八九十總分得分一．〔24分計算下列一．〔24分計算下列階行列式：1．；2．〔．3．二．〔10分試討論二．〔10分試討論取什么值時,元二次型是正定的？三．〔10分設．〔1證明：；〔2求．四．〔16分設的線性變換在標準基下的矩陣為．〔1求的特征值和特征向量；〔2求的一組標準正交基,使在此基下的矩陣為對角矩陣．五．〔15分證明：若向量線性無關,則也線性無關．并說明該結論對4個向量的情形是否成立．六．〔15分設六．〔15分設,證明：〔1在上不可約；〔2至少有一個實根,但不是有理根．七．〔10分設是兩個給定的級矩陣,記證明：〔1是線性空間的一個子空間；〔2若,且,則．試題十二評分標準一．1．解將所有列加到第1列上,則第1列與第4列成比例,故原式．…………〔8分注本題也可以從第4行提取公因子,然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行,把第4行化為元素全為零,故原式．2．解原式．…………〔8分注本題也可按最后一列〔或行展開,得遞推式：,答案正確給滿分,有正確的遞推式但結果有誤,給3分．另外對按第一行〔或列展開者類似給分．3．解行列式按第1行展開,然后接著對其中一個階行列式再次展開,得,因此,．…………〔8分注對一般二階線性遞推數列,可考慮特征方程的兩個根,則遞推數列化為,就能求出的通項,更一般的結論參考《組合數學》中方法．二．解〔方法1此二次型對應的矩陣為,當且僅當它的階順序主子式,即時二次型正定。…………〔10分〔方法2配方法：二次型化為,當且僅當時,二次型是正定的。〔方法3,,,當且僅當時,二次型是正定的。三．解〔1當可以直接驗證,對作歸納,用數學歸納法即得〔略；…………〔5分〔2．…………〔5分注由于矩陣的特征多項式,由凱萊-哈密爾頓定理,得到,即,故知時成立；另外注意到,作帶余除法：在上式中分別令,,以及對上式求導并令,得到,解之得,,故．四．解,所以的特征值,．…………〔4分對,齊次線性方程組的基礎解系為,故對應的特征向量,〔；…………〔6分對,齊次線性方程組的基礎解系為,故對應的特征向量為,〔、且不全為0．…………〔8分〔2用施密特方法將標準正交化后即為所求基〔略．…………〔8分五．證明設,即,…………〔3分由于線性無關,故有解之得,…………〔7分故也線性無關．…………〔8分對4個向量的情形其相應結論不成立,因為,由4個向量線性無關,并不能得到向量線性無關的結論．…………〔15分注1由知,是線性相關的,對該問題未說明原因的,只要結論正確給滿分；注2如果認為對4個向量的情形其相應結論也成立的,必須說明是指如下結論:若4個向量線性無關,則向量也線性無關．該答案也給滿分,但僅說相應結論成立,而未給出任何說明者,不得分．六．證明〔1令,則,取,由Eisenstein判別法知,在上不可約,從而在上不可約；…………〔8分注也可利用反證法證之：若可約,則能分解成兩個次數低的整系數多項式之積,或為1次與4次多項式之積,或為2次與3次多項式之積,都能推出矛盾,這里從略．〔2因為是奇次的,則必有一個實根,此根若是有理根,則在上可約,矛盾．…………〔7分注奇次多項式有實根可由數學分析中連續函數的介值定理證得,或將在實數域上作標準分解,由于實數域上的不可約因式只有一次因式與二次不可約因式,故奇次多項式一定有一次因式,因此必有一個實根．另外,對沒有有理根的結論,可以對其所有可能的有理根進行直接檢驗得知．七．證明〔1…………〔1分對,,即,…………〔2分有,,所以,,故是線性空間的一個子空間…………〔5分〔2當時,,由于可逆,故得…………〔5分試題十三題號一二三四五六七八九十總分得分一、填空題：本大題共10個小題,每小題3分,共30分。把答案填在橫線上。設列向量與都是線性空間的一組基,記級矩陣,,則由基到的過渡矩陣是；2．設數域上三維線性空間的線性變換A在基下的矩陣是則A在基下的矩陣是；3．設是維線性空間的子空間,關于子空間的維數公式是4．數域上的一次多項式與互素的充要條件是；5．行列式；6．齊次線性方程組有非零解的充要條件是；7．設線性無關,則常數滿足條件時,向量組線性無關；8．如果級矩陣、及級單位矩陣滿足,則表成矩陣的多項式是；9．若,則分別為；10．設,且可逆．若,則．二、選擇題：本大題共5個小題,每小題3分,共15分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,把所選項前的字母填在題后的括號。1．設4級矩陣與相似,的特征值是1,2,3,4,則的行列式是〔〔A-24；〔B10；〔C24；〔D不能確定2．下列的子集中是的子空間的為〔〔A；〔B；〔C；〔D3．設是線性空間的三個線性無關的向量,記,,,則子空間〔〔A；〔B；〔C空集；〔D零子空間4．設矩陣～,～,則下列命題正確的是〔〔A～；〔B～；〔C～,～；〔D以上結論都不對5．設A是數域上偶數維線性空間上的線性變換,那么A與A具有相同的〔〔A特征值；〔B行列式；〔C特征多項式；〔D在同一基下的矩陣三、設是兩個給定的級矩陣,記證明：〔1是線性空間的一個子空間；〔2若,且,則．〔8分四、試討論取什么值時,元二次型是正定的？〔8分五、設表示實數域上的次數小于3的多項式,再添上零多項式構成的線性空間,而,,是的一組基,線性變換A滿足A,A,A〔1求A在已知基下的矩陣；〔2設,求A．〔8分六、設是一個實二次型,若有實維列向量,使,證明：必存在實維列向量,使．〔7分七、設A是二維列向量空間的線性變換：設,定義A．〔1求值域A的基與維數；〔2求核A的基與維數；〔3求證：AA．〔8分八、設階方陣和滿足,證明：〔1不是的特征值；〔2若相似于對角矩陣,則存在可逆矩陣,使得與都是對角矩陣．〔8分九、設A是維線性空間上的線性變換．若A,,則〔1存在個向量,使AAA線性無關；〔2存在的一個非恒等線性變換B,使得BAA．〔8分試題十四及參考答案一、判斷題〔在括號里打"√"或"×",每小題1.5分,共30分1．維線性空間中任何個向量都線性相關；〔√2．同一組基下的不同線性變換的矩陣一定是相似的；〔×3．任意兩個子空間、的并集仍是子空間；〔×4．子空間、的和為直和〔這里表示空集；〔×5．相似矩陣具有相同的特征值、相同